【精选】高中数学(人教A版)必修一模块综合检测 Word版含解析

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模块综合检测

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)

1．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( )

A ．[0,1]

B ．(0,1]

C ．[0,1)

D ．(－∞，1]

2．如下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是

( )

A.C ．指数函数模型 D ．对数函数模型

3．函数y ＝x －1＋lg(2－x )的定义域是( )

A ．(1,2)

B ．[1,4]

C ．[1,2)

D ．(1,2]

4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )

A ．y ＝1x

B ．y ＝e －x

C ．y ＝－x 2＋1

D ．y ＝lg|x |

5．(2016·开封高一检测)已知a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3，则a ，b ，c 之间的大小关系是( )

A ．a ＜c ＜b

B ．a ＜b ＜c

C ．b ＜c ＜a

D ．b ＜a ＜c

6．设f (x )＝?????

2e x －1(x ＜2)，log 3(2x －1)(x ≥2)，则f (f (2))等于( ) A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

7．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f lg 12

等于( ) A ．－1 B ．0

C ．1

D ．2

8．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元，则税率p %为( )

A ．10%

B ．12%

C ．25%

D ．40%

9．函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间( )

A ．(5,6)

B ．(3,4)

C ．(2,3)

D ．(1,2)

10．已知f (x )＝a x －

2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )

11．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a ＜b ＜c

B ．a ＜c ＜b

C ．c ＜a ＜b

D ．c ＜b ＜a

12．已知偶函数y ＝f (x )在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，下列判断：

①f (5)＝0；

②f (x )在[1,2]上是减函数；

③f (x )的图象关于直线x ＝1对称；

④f (x )在x ＝0处取得最大值；

⑤f (x )没有最小值．

其中判断正确的序号是( )

A ．②③④

B ．②④⑤

C ．①③⑤

D ．①②④

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝________.

14．计算：lg 12－lg 58＋lg 252

－log 89×log 278＝________. 15．国家规定个人稿费纳税方式为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税．某人出版一本书共纳税420元，这个人的稿费为________元．

16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12

的解集是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题10分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}．

(1)分别求A ∩B ，(?R B )∪A ；

(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ?A ，求实数a 的取值范围．

18．(本小题12分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1.

(1)求f (x )的定义域；

(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明．

19．(本小题12分)某市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．

(1)设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)，试求f (x )和g (x )；

(2)选择哪家比较合算？为什么？

20．(本小题12分)(2016·信阳高一模拟)已知函数f (x )＝lg (1－x )＋lg(1＋x )＋x 4－2x 2.

(1)判断函数f (x )的奇偶性；

(2)设1－x 2＝t ，把f (x )表示为关于t 的函数g (t )并求其值域．

21．(本小题12分)设函数f (x )＝ax －1x ＋1

，其中a ∈R . (1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间[0,3]，求f (x )的最大值和最小值；

(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数．

22．(本小题12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋a 2x ＋1

是奇函数． (1)求a 值；

(2)判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；

(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求实数k 的取值范围．

答案

1．解析：选A 由M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝(0,1]，得M ∪N ＝{0,1}∪(0,1]＝[0,1]．

2．解析：选A 随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．

3．解析：选C 由题意得?????

x －1≥0，2－x >0，解得1≤x <2. 4．解析：选C 根据偶函数的定义，可得C ，D 是偶函数，其中C 在区间(0，＋∞)上单调递减，D 在区间(0，＋∞)上单调递增，故选C.

5．解析：选D ∵a ＝0.32∈(0,1)，b ＝log 20.3＜0，c ＝20.3＞1.∴c ＞a ＞b .

6．解析：选C ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1，∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－

1＝2. 7．解析：选D f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)

＋2＝ln 1＋2＝2，由上式关系知f (lg 2)＋f ???

?lg 12＝f (lg2)＋f (－lg 2)＝2. 8．解析：选C 利润300万元，纳税300·p %万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1 000×2%＝180(万元)，纳税180·p %万元，共纳税300·p %＋180·p %＝120(万元)，∴p %＝25%.

9．解析：选B 当x ＝3时，f (3)＝log 33－8＋2×3＝－1＜0，当x ＝4时，f (4)＝log 34－8＋2×4＝log 34＞0, 即f (3)·f (4)＜0.又∵函数f (x )＝log 3x －8＋2x 为连续函数，故函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间(3,4)，故选B.

10．解析：选B 据题意由f (4)g (－4)＝a 2×log a 4<0，得00时，y ＝log a |x |＝log a x 是减函数．

11．解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴2|－x －m |－1＝2|x －m |－1，∴|－x －m |＝|x －m |，∴(－x －m )2＝(x －m )2，∴mx ＝0，∴m ＝0，∴f (x )＝2|x |－1，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，并且a ＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)，c ＝f (0)，∵0＜log 23＜log 25，∴c ＜a ＜b .

12．解析：选D ∵f (1－x )＋f (1＋x )＝0，∴y ＝f (x )关于点(1,0)对称，画出满足条件的图形结合图形可知①②④正确，故选D.

13．解析：令x 5＝t ，则x ＝t 15

. ∴f (t )＝15lg t ，∴f (2)＝15

lg 2. 答案：15

lg 2 14．解析：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278

＝lg ????12×85×252－2lg 33lg 2×3lg 23lg 3＝lg 10－23＝1－23＝13

. 答案：13

15．解析：设稿费为x 元，纳税为y 元．由题意可知

y ＝????? 0(0＜x ≤800)，(x －800)·

14%(800＜x ≤4 000)，11.2%·

x (x ＞4 000)， ∵此人纳税为420元，

∴(x －800)×14%＝420，

∴x ＝3 800.

答案：3 800

16．解析：当x >0时，由1－2－x <－12，????12x >32

，显然不成立．当x <0时，－x >0，因为该函数是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝2x －1.由2x －1<－12

，即2x <2－1，得x <－1.又因为f (0)＝0<－12

不成立，所以不等式的解集是(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)

17．解：(1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}，A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．(?R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．

(2)①当a ≤1时，C ＝?，此时C ?A ；

②当a ＞1时，C ?A ，则1＜a ≤3；

综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．

18．解：(1)由题得，使解析式有意义的x 范围是使不等式组?????

x ＋1>0，1－x >0成立的x 范围，解得－1＜x ＜1，所以函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}．

(2)函数f (x )为奇函数，

证明：由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－log a (1＋x )＋log a (1－x )＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－f (x )，

所以函数f (x )为奇函数．

19．解：(1)f (x )＝5x,15≤x ≤40；

g (x )＝?????

90，15≤x ≤30，30＋2x ， 30

即当15≤x <18时，f (x )

当x ＝18时，f (x )＝g (x )；

当18g (x )．

②当30g (x )，

∴当15≤x <18时，选甲家比较合算；

当x ＝18时，两家一样合算；

当18

20．解：(1)根据题意，由?????

1－x >0，1＋x >0，解得，－1＜x ＜1， 所以，函数f (x )的定义域为(－1,1)．

由f (－x )＝lg (1＋x )＋lg (1－x )＋(－x )4－2(－x )2

＝lg (1－x )＋lg (1＋x )＋x 4－2x 2＝f (x )，

所以，函数f (x )是偶函数．

(2)f (x )＝lg (1－x )＋lg (1＋x )＋x 4－2x 2＝lg (1－x 2)＋x 4－2x 2， 设t ＝1－x 2，由x ∈(－1,1)，得t ∈(0,1]．

则g (t )＝lg t ＋(t 2－1)，其中t ∈(0,1]，

因为y ＝lg t 与 y ＝t 2－1在t ∈(0,1]均是增函数， 所以函数g (t )＝lg t ＋(t 2－1)在t ∈(0,1]上为增函数， 所以，函数g (t )的值域为(－∞，0]．

21．解：f (x )＝ax －1x ＋1＝a (x ＋1)－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1

， 设x 1，x 2∈R ，

则f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)

. (1)当a ＝1时，f (x )＝1－2x ＋1

， 设0≤x 1

则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)

， 又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，

∴f (x 1)－f (x 2)<0，

∴f (x 1)

∴f (x )在[0,3]上是增函数，

∴f (x )max ＝f (3)＝1－24＝12

， f (x )min ＝f (0)＝1－21＝－1.

(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0.

若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数，

只要f (x 1)－f (x 2)<0，

而f (x 1)－f (x 2)＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)

， ∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0，

即f (x 1)

∴当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．

22．解：(1)由题设，需f (0)＝

－1＋a 2＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＝1－2x

1＋2x

， 经验证，f (x )为奇函数，∴a ＝1.

(2)f (x )在定义域R 上是减函数．

证明：任取 x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，

f (x 2)－f (x 1)＝1－2x 21＋2x 2－1－2x 11＋2x 1＝2(2x 1－2x 2)(1＋2x 1)(1＋2x 2)

. ∵x 1＜x 2，

∴0<2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0，

又(1＋2x 1)(1＋2x 2)>0，

∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)，

∴该函数在定义域R 上是减函数．

(3)由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0，得f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )， ∵f (x )是奇函数，

∴f (t 2－2t )＜f (k －2t 2)，

由(2)知，f (x )是减函数，

∴原问题转化为t 2－2t ＞k －2t 2，

即3t 2－2t －k ＞0对任意t ∈R 恒成立，

∴Δ＝4＋12k ＜0，解得k <－13

， 所以实数k 的取值范围是?

???－∞，－13.

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