6年级奥数-不定方程

龍腾教育 非淡泊无以明志，非宁静无以致远！ 龍腾学科教师辅导讲义

讲义编号 LTJYsxsrl005

学员编号：LTJY001 年 级：六年级 课时数：3 学员姓名: 王窈瑾 辅导科目：数学 学科教师：孙仁龙 学科组长签名及日期 课 题 授课时间：2015.01.15 教学目标 重点、难点 2015.01.14 教务长签名及日期 一次不定方程（组）的整数解问题 备课时间：2015.01.02 1.理解不定方程（组）的含义 2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法 重点：不定方程定理的理解 难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用 不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出考点及考试要求 现. 教学内容 【写在前面】 不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】 求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】 不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理： 设a、b、c、d为整数，则不定方程ax?by?c有： 定理1 若(a,b)?d,且d不能整除c，则不定方程ax?by?c没有整数解； x?x0?bt,定理2 若(x0,y0)是不定方程ax?by?c且的一组整数解（称为特解），则?（t为整数）是方程的全部??y?y0?at整数解（称为通解）. （其中(a,b)?d,且d能整除c）. 1

龍腾教育 非淡泊无以明志，非宁静无以致远！ 定理3 若(x0,y0)是不定方程ax?by?1，(a,b)?1的特解，则(cx0,cy0)是方程ax?by?c的一个特解. （其中(a,b)?d,且d能整除c）. 求整系数不定方程ax?by?c的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解； （4） 有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法： （1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式. 【学法指导】 【例1】求下列不定方程的整数解（1）2x?6y?8 ； （2）5x?10y?13. 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解. ?x?1,【解答】（1）原方程变形为：x?3y?4， 观察得到?是x?3y?4的一组整数解（特解）， y?1??x?1?3t,根据定理2 ，?(t是整数)是原方程的所有整数解. ?y?1?t（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13， ∴根据定理1，原方程的无整数解. 【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的. 【实践】求下列不定方程的整数解（1）7x?14y?211 ； （2）5x?14y?11. 2

龍腾教育 非淡泊无以明志，非宁静无以致远！ 【例2】求方程7x?19y?213的所有正整数解. 【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x ,再将含y的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解. 【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解. 由原方程可得x?213?19y210?14y?3?5y3?5y， ??30?2y?777 由此可观察出一组特解为x0=25，y0=2. ∴方程的通解为??x?25?19t,(t是整数). ?y?2?7t?25t??,?25?19t?0,??19 ∴?25?t?2 ∴t??1,0 其中? ∴?1972?2?7t?0?t???7?x?6,代入通解可得原方程的正整数解为??y?9.?x?25, 或??y?2.【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来. 【实践】求方程31?47y?265的正整数解. 【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满. 【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可. 【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程 54x?36y?378，即3x?2y?21. ?x?1?2t,?x?1,又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知?是一个特解，通解为?(t是整数) ?y?9?9t?y?9 3

龍腾教育 非淡泊无以明志，非宁静无以致远！ ?1?2t?0,?x?1,?x?3,?x?5,?x?7,由题意可知? 解得t?0,1,2,3. 相应地? ????9?9t?0?y?9.?y?6.?y?3.?y?0.答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车. 【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解. 【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？ 【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31]. 【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347. 〈方法一〉 〈方法二〉 x?5?x?5?12t 特解：??12|(347?31x) 通解：(t是整数) ?12y?347?31x??y?16y?16?31t???347?31x(mod12) ?1?x?12?1?5?12t?12 ?11?7x(mod12)?x?12t?5(t是整数) ?????1?y?31?1?16?31t?31?解得t?0?x?5??是符合题意解.?y?16?1?x?12?1?12t?5?12?t?0?x?5把x?5代入原方程得：y?16答：此人的生日为5月16日. 【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的数的和. 【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n满足8m?9n?mn?6，则m的最大值为 . 【分析】把m用含有n的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m的最大值. 【解答】∵8m?9n?mn?6，∴8m?mn?6?9n，(8?n)m?6?9n 4

1，求一切这样三位3龍腾教育 非淡泊无以明志，非宁静无以致远！ 由题意可得，n≠8，∴m?6?9n9n?69n?72?6666， ???9?8?nn?8n?8n?8∵m,n为正整数， ∴ 当n=9时，m有最大值为75. 【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法. 【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 . 【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？ 【分析】分析：用x,y,z来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组： 1??5x?3y?z?1003???x?y?z?100 如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程. 【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z. ?x?y?z?100?1?5x?3y?z?100?3??x?4，〈方法一〉特解：??y?18.?x?0???y?0(1)(2) (2)×3－(1)得：14x+8y=200，即7x+4y=100. ?x?4?4t通解：(t是整数) ??y?18?7t?t??1?解得?18t??7?相应地,原方程有三组解：x?4?t?0,1,2. ???y?18?z?78??x?8??y?11?z?81??x?12 ??y?4?z?84??4?4t?0???18?7t?0〈方法二〉 ?x?3令7x?4y?1,其特解为? ?y??5下面的方法同〈方法一〉?x?300??是7x?4y?100的特解.y??500??x?300?4t通解：（t为整数）. ?y??500?7t?〈方法三〉 4y?100?7x(3)?4|(100?7x)，?100?7x(mod4)，即:0?3x(mod4)，?x?4?4t(t是整数).下面方法同〈一〉把x?4?4t代入(3)得：y?18?7t ?x?4?4t??(t是整数).?y?18?7t【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解. 【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21） 5

龍腾教育 非淡泊无以明志，非宁静无以致远！ 【例7】求方程2x?3y?7z?23的整数解. 【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解. 2x?3y?t,(1) 对于方程（1）x=-t,y=t是一个特解， 【解答】设2x?3y?t，则原方程可看作???t?7z?23.(2)x??t-3u,(3)从而（1）的整数解是?(u是整数) ??y?t?2u.(4)z?3?v,(5)又t=2,z=3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是?(v是整数) ?t?2?7v.(6)??x??2?7v?3u,将（6）代入（3）、（4）消去t得到原方程的所有整数解为：?y?2?7v?2u,(u、v是整数) ??z?3?v.?【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程39x?24y?9z?78的整数解. 【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？ 【分析】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，由题意得28a?30b?31c?365. 要求a?b?c，可以运用放缩法从确定a?b?c的取值范围入手. 【解答】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，则28a?30b?31c?365. ∵28(a?b?c)?28a?30b?31c?365?31(a?b?c)，∴365?a?b?c?365. 3128∵a?b?c是整数，∴a?b?c=12或13.但当a?b?c=13时，得2b?3c?1，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学. 【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法. 【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ￥302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay ￥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag? 6

龍腾教育 非淡泊无以明志，非宁静无以致远！ 【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21. （1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？ （2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？ 【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x个，黄球有y个，蓝球有个，则x?2y?3(10?x?y)?21， （10?x?y） 整理，得y?9?2x，因为x、y均为正整数，可知x的最大值为4.即红球最多不超过4个. （2）由（1）知蓝球的个数是z?10?x?y?10?x?(9?2x)?x?1， ?x?0,又∵?y?0,??z?0,??x?0,???9?2x?0,?x?1?0.?9解得0?x?. ∴x?1,2,3,4. 2因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）. 【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数. 【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数. 【例10】设非负整数n，满足方程x?y?2z?n的非负整数（x,y,z）的组数记为an. （1）求a3的值；（2）求a2001的值. 【分析】审清题中an的n与方程x?y?2z?n是同一个非负整数，a3的含义是方程x?y?2z?3的非负整数解的（x,y,z）的组数. 7

龍腾教育 非淡泊无以明志，非宁静无以致远！ 【解答】（1）当n=3时，原方程为x?y?2z?3，由于x?0,y?0,得0?z?1. 当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=(0,1),(1,0) 有2组； 当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，a3=6. （2）当n=2001时，原方程为x?y?2z?2001，由于x?0,y?0,得0?z?1000. 当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组； 当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…； 当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组. 综上，a2001=2+4+6+…+2002=1003002. 【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题. 【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 C A.20001999 B.19992000 C.2001000 D.2001999 【总结反思】 以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围. 【题海拾贝】 1.（2000年希望杯竞赛题）若a、b均为正整数，且2a>b，2a+b=10，则b的值为（ ） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、4 2. 若正整数x,y满足2004a=15y，则 x+y的最小值为 . ab的分子都加上b，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和. 3. 如果三个既约真分数2，,346 4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？ 5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h，在平地上的速度是63km/h，上坡的速度是56km/h.汽车从A地到B地用了4h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离. 8

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