2018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：1章末复习提升

数学

1.集合中元素的特性

集合中元素有两大特性——确定性、互异性，确定性是指构成集合的元素要有明确的标准；而互异性是指一个集合中的元素不能有重复，求含有参数的集合元素时利用互异性来进行讨论，从而达到确定集合的目的. 2.空集的特殊性和特殊作用

空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往被忽视而导致漏解. 3.集合的运算

集合的运算有交、并、补三种.在集合运算过程中应力求做到“三化”： (1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？

(2)具体化：具体求出相关集合中函数的x的取值集合、y的取值集合或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式.

(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数

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形结合思想解决问题. 进行集合的运算时应当注意： ①勿忘对空集情形的讨论； ②勿忘集合中元素的互异性；

③对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；

④对于含参数(或待定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍.

题型一 集合间的关系

集合与集合之间的关系有包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.

例1 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}. (1)若B?A，求实数m的取值范围； (2)若x∈Z，求A的非空真子集个数.

解 ∵A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， (1)∵B?A，①B≠? 如图所示

m＋1≥－2，??

∴?2m－1≤5，??2m－1≥m＋1，

?m≥－3，即?m≤3，?m≥2.

②B＝?

∴2≤m≤3.

由m＋1＞2m－1得m＜2. 综上m≤3.

(2)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}. 则A的非空真子集个数为28－2＝254.

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跟踪演练1 下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )

答案 B

解析 由N＝{－1,0}，知N题型二 集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往会因考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对?的讨论，不要遗漏. 例2 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}. (1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围. (2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？ 解 (1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴?RA＝{x|x＜0，或x＞2}. ∵(?RA)∪B＝R.

M，故选B.

??a≤0，∴?∴－1≤a≤0. ??a＋3≥2，

(2)由(1)知(?RA)∪B＝R时， －1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，

∴A?B，这与A∩B＝?矛盾.即这样的a不存在.

跟踪演练2 (1)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(?UA)∩B＝________. (2)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于( ) A.{x∈R|x≤2} C.{x∈R|－2≤x≤2}

B.{x∈R|1≤x≤2} D.{x∈R|－2≤x≤1}

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答案 (1){6,8} (2)D

解析 (1)∵U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，∴?UA＝{6,8}. ∴(?UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}. (2)A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}. ∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1} ＝{x∈R|－2≤x≤1}. 题型三 分类讨论思想的应用

在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想.分类讨论时要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合元素互异性、集合运算中出现A?B，A∩B＝A，A∪B＝B等符号语言时对?的讨论等. 例3 已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2－x＋p＝0}，且B?A，求实数p的范围. 解 (1)当B＝?时，B?A，由Δ＝(－1)2－4p＜0， 1

解得p＞. 4

(2)当B≠?，且B?A时， 方程x2－x＋p＝0存在两个正实根. 由x1＋x2＝1＞0，Δ＝(－1)2－4p≥0， 1

且x1x2＝p＞0，得0＜p≤.

4

由(1)(2)可得p的取值范围为{p|p＞0}.

跟踪演练3 设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求满足条件的x的值.

解 由A∩B＝{9}，得9∈A，所以x2＝9或2x－1＝9. 故x＝±3或x＝5.

当x＝3时，B＝{－2，－2,9}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去. 当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，满足题意.

当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，A∩B＝{9，－4}与已知矛盾，应舍去， 综上所述，满足条件的x值为－3. 题型四 数形结合思想

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集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解.

例4 已知集合A＝{x|x＜－1，或x≥1}，B＝{x|2a＜x＜a＋1，a＜1}，B?A，求实数a的取值范围.

解 ∵a＜1，∴2a＜a＋1，B≠?. 画出数轴分析，如图所示.

由图知，要使B?A，需2a≥1或a＋1≤－1， 1

即a≥或a≤－2.又∵a＜1，

2

1∴实数a的取值范围是{a|a≤－2，或≤a＜1}.

2

跟踪演练4 已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞2}，集合B＝{x|4x＋p＜0}.当B?A时，求实数p的取值范围.

解 集合A，B都是以不等式的形式给出的数集，欲求满足B?A的实数p，可先将集合A在数轴上表示出来，然后再根据集合B中不等式的方向，确定p与集合A中端点－1或2的关系.

∵B＝{x|4x＋p＜0} p??

＝?x|x＜－4?，

?

?

将集合A在数轴上表示出来，如图所示. ∵B?A，

p

∴－≤－1，即p≥4.

4

故实数p的取值范围是{p|p≥4}.

1. 要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系. 2.在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.

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