高数试题AI - 图文

一、判断题：

1. 如果函数y = f (x)在区间I上严格单调增加，那么它的反函数y = f ?1(x)也严格单调增加。 2. 设函数f (x)在x0点的某邻域内有定义，且limf(x)?A，那么必有A = f (x0)。 （ ）

x?x03. 如果曲线y = f(x)在点M0(x0, f(x0))处可以作一条切线，那么f ?( x0)必定存在。 （ ） 4. 任何在区间I上连续的初等函数都存在原函数，且其原函数仍然是初等函数。 （ ） 5. 如果f (x)在[a, b]上连续，那么G(x)??f(t)dt必定在[a, b]上可导，且G?(x)?f(x). （ ）

ax6. 设{xn}是一个数列，且limx2k?a，limx2k?1?a，那么必有limxn?a。 （ ）

k??k??n??7. 如果limx?x0f?(x)f(x)?A(或?)，那么lim?A(或?)。 （ ）

x?x0g(x)g?(x)8. 设函数f (x)在[a, b]上二阶可导，且f ?(x) > 0，f ?(a) = 0，那么必有f (a) < f (b)。（ ）

9. 如果函数f (x)在区间I上连续，那么f (x)在区间I上必定存在无穷多个原函数。（ ） 10. 设函数f (x)在[a, b]上连续，且?f(x)dx?0，那么f (x)在[a, b]上恒等于零。 （ ）

ab二、单项选择题： 11. 下列极限存在的是 A.

1

limexx?0

11 B. limsin C. limcosx D. limarctanx

x?0x??xx??xf(x)=（ ）。

x?0xA. 0 B. 1 C. 不存在 D. 存在但无法确定 13. 设函数y = f (x)在[a, b]上连续，则下列说法错误的是（ ）。

A. f (x)有界 B. f (x)最值存在 C. f (x)可导 D. f (x)可积 12. 设函数f (x)在x = 0处可导，且f (0) = 0，f ?(0) = 1，则lim14. 如果F ?(x) = f (x)，则下列各式不成立的是（ ）。A.

B.

?F?(x0)dx?f(x0)?C；

ddx?； C. ； D. F(x)dx?F(x)?Cf(x)dx?f(x)f(t)dt?f(x) ???adxdx1015. 设二阶可导函数f (x)满足f (0) = 1，f (2) = 3，f ?(2) = 5，那么?xf??(2x)dx?（ ）。 A. ?1 B. 1 C. 2 D. 4

|x?x0|16. 设f (x) =，那么limf(x)?（ ）。

x?x0x?x0A. ?1 B. 0 C. 1 D. 不存在 17. 设f (x) = (x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ? (x ? 10)，那么f ?(1) =（ ）。

A. 0 B. 1 C. ?9！ D. 10！ 18. 下列哪一个函数是f (x) = 2(e2x ? e?2x)的原函数（ ）。

A. ex ? e?x B. ex ? e?x C. (ex ? e?x)2 D. 4(e2x ? e?2x) 19. 若?f(x)dx?x2?C，则?xf(1?x2)dx=（ ）? C。

A. 2(1 ? x2)2 B. ?2(1 ? x2)2 C.

11(1 ? x2)2 D. ?(1 ? x2)2 22 1

20. limx?0?0sintx3x2dt= A. 0 B.

11 C. D. 1

23三、填空题：

x2?ax?b?5，那么a = ，b = 。 21. 已知limx?11?x22. 已知一物体作变速直线运动，它的运动规律为s(t) = e?tsint，那么它的速度v(t)

= ，加速度a(t) = 。

23. 已知一个气球以每分钟0.1m3的均匀速率进行充气，当气球半径R = 5m时，气球的半

径R的增大速率是 ，气球的表面积A的增大速率是 。 24. 设函数f (x)在x0点存在二阶导数，且f ?(x0) = 0，那么当f ?(x0) < 0时f(x)在x0点

取 ；当f ?(x0) > 0时f(x)在x0点取 。

25. 圆x2 + y2 = R2上的任一点的曲率K = ，曲率半径?= 。 26. 在计算不定积分时，如果被积函数含有a2?x2，可以作代换 化去根式；

如果被积函数含有x2?a2，可以作代换 化去根式。 27. （1）????x2sin7x1?x2x2?2?(ax?b)]?0，那么a = ，b = 。（2）已知lim[ dx= 。

x??x?128. 已知(|x|)??x，那么( f (|x|))? = ，(| f (x)|)? = 。 |x|3?d2ydy?x?acost29. 设参数方程?，那么= ，2= 。

3dxdx??y?asint30. 函数f (x)满足条件(1) ，(2) ，那么在区间(a, b)内至少存在一点? ，使得f (b) ? f (a) = f ?(? ) (b ? a)成立。 31. 设F ?(x) = f (x)，那么

dd [?f(x)dx]= ，[F(x)]dx= 。?dxdxdx2d2232. 设f(x)连续，那么 [f(t)dt]= ，[?f(t)dt]= 。

dx?0dx033. 函数y = 3x2 + 4x + 3在区间[1, 4]上的平均值是 。 四、计算题：（每小题5分，计30分）

tgx?xx134. 计算极限： （1）lim； （2）lim(?)。

x?0x?sinxx?1x?1lnx35. 已知函数

1??(1?ax)x?f(x)??e?sinax??bxx?0x?0x?0 在x = 0处连续，求a，b的值。

36. 方程lnx2?y2?arctan37. 计算积分（1）?y确定隐函数y = f (x)，求dy。 xdx； （2）?304?2x3?2x?x2dx1?x?1； （3）????xe0sin2xdx

2

38. 已知

?1?x??f(x)??c?ax?b?1?x?1?x?0

x?00?x?1在x = 0点可导，求a，b，c的值。

x2y2??1相切的直线方程。 39. 求垂直于直线2x + 4y ? 3 = 0且与双曲线2740. 计算积分（1）?31； （2）|x?2|dx； （3） dx?x?11?e?0??arctanx(1?x)232dx

五、解答题：（每小题8分，计24分）

41. 讨论函数f (x) = 2x3 ? 6x2 ? 18x + 7的单调区间、极值、凹凸区间和拐点。

42. 如图所示，直线y = t（0 < t <1）分割出的两个小的曲边三角形的面积分别是S1和S2，

问：当t等于多少时，S(t) = S1(t) + S2(t)取最小值？

O y y y = x2 y = t S1 x =1

43. 如图所示，一上底为2m，下底为4m，高为2m的等腰梯形薄板铅直地沉入水中，上底

平行于水面且在水面下1m处，求薄板一侧所受的水压力F。（ ? = 103kg/m3，g = 9.8m/s2 ） 44. 在曲线y = lnx上求一点使得该点处的曲率半径最小。

x2y245. 求椭圆2?2?1所围成的面积A及此椭圆绕x轴旋转所得的旋转椭球体的体积Vx。

ab

y 0.18m 0.12m

A1

O a x

46. 已知弹簧长0.20m，压缩到0.18m时所用的力为4N，求将弹簧从0.18m压缩到0.12m

所作的功W。 六、证明题：

x347. 证明恒等式（1）arctanx?arccotx?，x?(??,??)；（2）sinx?x?（x > 0）

620.20m ?48. 设f(x)在区间[0, a]上可积，f(x)?x??f(x)dx，证明：?0 2aa0a3f(x)dx?。

3(a?1)a?Ta49. 设f (x)是定义在(??,??)上的周期为T的连续函数，证明：?其中为任意实数。

f(x)dx??f(x)dx，

0T 3

4

判断题

填空题

解答题

；

5

；

证明与应用

6

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