三角恒等变换1

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龙文个性化辅导讲义

（2010 ~ 2011 学年 第 1 学期）

任教科目： 数 学

授课题目：三角恒等变换 年 级： 高 一 任课教师：谭 老 师

龙文师资培训部编制

主管签名：__________ 教务长签名：__________

日 期：__________ 日 期：__________

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龙文个性化辅导教案

授课教师 授课时间 课 型 谭婷汀 复习 授课对象 授课题目 使用教具 三角恒等变换 讲义、白纸、水笔 教学目标 1、 了解两角差。两角和的正弦、余弦、正切公式，掌握其公式并能利用它解决某些问题 2、 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能进行简单的恒等变换 3、 认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握过程的能力 4、 通过三角恒等变换，加强三角恒等变换与三角函数之间性质的内在联系，使对三角函数性质的研究得到延伸，体现了数学知识的内在美 1、 三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题 2、 三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用，是数形结合的较好体现，是一个考点 3、 在高考命题中，单摆、弹簧振子、圆上一点的运动等周期现象是新的命题背景。 教材，教材全解，高考复习资料 教学重点和难点 参考教材 教学内容 一、知识结构框架： 差角余弦公式和（差）角公式倍角公式 简单三角恒等变换 龙文教育网站：www.longwenedu.com

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二、知识要点回顾：

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴cos??????cos?cos??sin?sin?；⑵cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑶sin??????sin?cos??cos?sin?；⑷sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑸tan??????tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）；

1?tan?tan?tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）．

1?tan?tan?⑹tan??????2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin2??2sin?cos?．?1?sin2??sin2??cos2??2sin?cos??(sin??cos?)2 ⑵cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

?升幂公式1?cos??2cos2

22cos2??11?cos2?，sin2??． ?降幂公式cos2??22 ⑶tan2???,1?cos??2sin2?2tan?． 21?tan?万能公式:αα 2tan1?tan22;cosα? 2 sinα? αα 1?tan21?tan222

半角公式:3、 α1?cosαα1?cosαcos??;sin??2222

α1?cosαsinα1?cosαtan????21?cosα1?cosαsinα （后两个不用判断符号，更加好用） ?

4、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

?y?Asin(?x??)?B形式。?sin???cos???2??2sin?????，其中tan??．

?5、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根

据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

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①2?是?的二倍；4?是2?的二倍；?是

ooooo?2的二倍；

?2是

?4的二倍；

30o??? ； ②15?45?30?60?45?；问：sin? ；cos12122③??(???)??； ④

?4????2?(?4??)；

⑤2??(???)?(???)?(?44（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中

正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，

??)?(???)；等

例如常数“1”的代换变形有： 1?sin2??cos2??tan?cot??sin90o?tan45o （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降

幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂

并非绝对，有时需要升幂，如对无理式1?cos?常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

1?tan?1?tan??_______________； ?______________； 如：

1?tan?1?tan?tan??tan??____________；1?tan?tan??___________； tan??tan??____________；1?tan?tan??___________；

2tan?? ；1?tan2?? ；

tan20o?tan40o?3tan20otan40o? ；

sin??cos?? = ； asin??bcos?? = ；（其中tan?? ；）

1?cos?? ；1?cos?? ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，

无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：sin50o(1?3tan10o)? ；

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三：例题精讲

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

例一：（1）化简：cos?x?27??cos?x?18???sin?x?27??sin?x?18??

（2）cos??45,???????????2,0??,求cos??3????的值

例二：已知cos??cos??35,sin??sin??45，求cos?????的值

例三：在?ABC中，sinA?355,cosB?13，求cosC的值。

例四：已知?3?4?????4,cos??????1213,sin???????35，求sin2?的值

例五：已知cos???1213,??????,32????，求tan???????4??的值。

例六：若sin??13且2????3?，则sin??2?cos2= 。

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例七：若

3?1111???2?，化简??cos2?。 22222例八：求值：（1）sin10?sin50?sin70?（2）sin6?sin42?sin66?sin78?

tan?是方程x2?3x?3?0的两根，试求例九：已知tan?、sin2??????3sin?????cos??????3cos2?????的值

???例十：（1）函数y?cosx?cos?x??的最大值是 。

3??（2）当?

例十一：在?ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tan值

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?2?x??2，函数f?x??sinx?3cosx的最大值、最小值分别是多少？

ACAC?tan?3tantan的2222龙文学校-----您值得信赖的专业个性化辅导学校

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课后练习：

1、 求出下列各式的值，完成填空。

3?tan15?tan62??cot58?（1）1?3tan15?= 。 （2）1?cot28?tan32?= 。 ?（3）1?cot151?cot75?= 。 2、求sin220??cos250??sin20?cos50?的值

sin7??cos15??sin8?3、cos7??sin15??sin8?的值为 。

4、 已知sin??sin???113,cos??cos??2，求cos?????的值。

5、 求sin10?sin30?sin50?sin70?的值。

6、已知?、?都是锐角，且sin??5105sin??10，求???。 龙文教育网站：www.longwenedu.com 7

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