第五节 可降阶的高阶微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程y( n)

f ( x ) 型的方程

y f ( x, y ) 型的方程y f ( y, y ) 型的方程

小结1

一、 y

( n)

f ( x ) 型的方程

特点 左端 是未知函数 y 的n 阶导数,右端是自变量x的一个已知函数, 且不含未知函数 y 及其 导数 y . 两边积分 再积分y ( n 1) f ( x )dx C1

y ( n 2 ) [ f ( x )dx C1 ]dx C 2 …… 接连积分n次, 得到含有n个任意常数的通解.

3x y e cos x 例 求解方程

解 将方程积分三次, 得 1 3x y e sin x C1 3 1 3x y e cos x C1 x C 2 9 1 3x y e sin x C1 x 2 C 2 x C 3 27 最后得到的就是方程的通解.3

二、 y f ( x, y ) 型的方程dp p . 将p作为新的 解法 设 y p, y dx 则方程变为 p f ( x , p ) 未知函数，如果其通解为 p p( x, C1 ),则由 y p( x, C1 ) 再积分一次, 可求出原方程的通解

特点 方程缺y.

y p( x , C1 )dx C 24

3 x 2 y y 1 x 3 例 解方程

解 因方程中不含未知函数y, 令 y p, y p ,

y x 0 1, y x 0 4

p 1 x p C1 (1 x 3 ) 由初始条件 y x 0 43 y 4 ( 1 x ) 知C1=4, 所以

3 x2 p 代入原方程, 得 p 3 1 x dp 3 x2 3 d x ln p ln( 1 x ) ln C1 3

3 x 2 y y 1 x 3

y x 0 1, y x 0 44 dy 4(1 x 3 )dx y x 4 x C2

再由初始条件 y x 0 1, 知C2 = 1

故所求解为

y x 4x 14

三、y f ( y, y ) 型的方程特点 方程缺自变量x dy p p( y ) p( y( x )) p 解法 设 y dx 2 d p dp d y d p d y 则 y 2 p , 方程变成 d x dy d x dy dx dp p f ( y , p). dy 设它的通解为 y p ( y, C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为 ( y , C1 )7

属y f ( y, y )型 1 y 2 例 求方程 y 的通解. 2y 解 设 y p, 则 y p dp , 代入原方程 dy 2 dp 1 p p 可分离变量方程 dy 2y 2 pdp dy 2 ln( 1 p ) ln y ln C1 2 y 1 p 1 p2 C1 y p C1 y 1dy 即 C1 y 1 dx

可分离变量方程

dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx

2 C1 y 1 x C 2 C1

属y f ( y, y )型例 求方程 yy y 2 0 的通解.

d p 解 设 y p, 则 y p , 代入原方程 dy dp y p p 2 0, 即 p( y dp p) 0 dy dy dp dy 由 y p 0, 可得 p C1 y, C1 y dy dx 原方程通解为 y C 2e C1 x

2002年考研数学一, 3分 微分方程 yy y 2 0 满足条件 y x 0 1, 1 2 或 y x 1 y

x 1 y x 0 的特解是 2 解 d ( yy ) 0 故 有 yy C1 dx 1 1 1 y y 由y x 0 1, y x 0 C1 即 2 2 2 2 y x 可分离变量方程 C2 2 2 1 由y x 0 1 C 2 y 2 x 1 211

四、小结三种类型的可降阶的高阶微分方程解法:

通过代换将其化成较低阶的方程来求解.

思考题

1996年考研数学一, 7分

对x 0, 过曲线 y f ( x )上点 ( x, f ( x ))处 1 x 的切线在 y轴上的截距等于 f ( t )dt , x 0 求f ( x )的一般表达式 .解 过曲线 y = f (x)上点( x, f (x))处的切线方程为Y f ( x ) f ( x )( X x )

令X 0, 得切线在 y轴上的截距

1 x Y f ( x ) xf ( x ) f ( t )dt x 0 x f (t )dt x[ f ( x ) xf ( x )] 积分方程013

0

x

f ( t )dt x[ f ( x ) xf ( x )]

积分方程

两边对x求导, 即 xf ( x ) f ( x ) 0

属于y f ( x, y )型可降阶的方程令f ( x ) p( x )且f ( x ) p ( x )代入上式,得 xp ( x ) p( x ) 0 可分离变量方程

xp ( x ) p( x ) 0 可分离变量方程 1 1 分离变量并积分 dp dx p x C1 得 ln p ln x lnC1 ln x C1 C1 即p , 即f ( x ) , 再积分,得 x x C1 f ( x )dx x dx ,

f ( x) C1 ln x C2 即为所求.

作 业习题7-5(323页)1.(4)(7)(8) 2.(3)

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