2009年高考文科数学试题及答案-湖北卷

2009年普通高校招生统一考试（湖北卷）

数学（文史类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合要求的。

1. （09湖北文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=

A. 3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 【答案】B

2. （09湖北文）函数y

1 2x1

(x R,且x )的反函数是 1 2x2

A.y

1 2x11 2x1

(x R,且x ) (x R,且x ) B.y

1 2x21 2x21 x1 x

(x R,且x 1) (x R,且x 1) D.y

2(1 x)2(1 x)

11

”是“cos2 ”的 22

C.y 【答案】D

3.（09湖北文）“sin =

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A

4.（09湖北文） 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人

一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有

A.120种 B.96种 C.60种 D.48种 【答案】C

【解析】5人中选4人则有C5种，周五一人有C4种，周六两人则有C3，周日则有C1种，

故共有C5×C4×C3=60种,故选C

4

1

24

1

2

1

x2y2x2y2

1的准线经过椭圆 2 1（b＞0）的焦点，则5. （09湖北文）已知双曲线224b

b=

A.3 B. C. D.2 【答案】C

a2

【解析】可得双曲线的准线为x 1,

又因为椭圆焦点为(

0)所以有

c

1.即b2=3故

.故C.

6. （09湖北文）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90,∠ACC1=60,∠BCC1=45,侧棱CC1

的长为1，则该三棱柱的高等于 A.C.

21

B.

223

2

D.

3

【答案】A

7. （09湖北文）函数y cos(2x

6

/

) 2的图像F按向量a平移到F/，F的解析式y=f(x),

当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于 A.(

, 2) B.(,2) C.( , 2) D.( ,2)

6666

【答案】D

8. （09湖北文）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4

辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为

A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元 【答案】B

0 x 4

【解析】设甲型货车使用x辆，已型货车y辆.则 0 y 8,求Z=400x+300y最小

20x 10y 100

值.可求出最优解为（4，2）故 min 2200故选B.

9. （09湖北文）设x R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{[

15 1

], 22

5 1

}，2

A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】

B

【解析】可分别求得

， 1.则等比数列性质易得三者构成等比数列

10. （09湖北文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10， ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16， 这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是

A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C

【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项an

2

2

n

(n 1)，同理可得正方形数构成的数列2

n

通项bn n，则由bn n(n N )可排除A、D，又由a

n

(n 1)知an必为2

奇数，故选C.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位

置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。

11. （09湖北文）已知(1 ax) 1 10x bx ... ax,则【答案】40

【解析】因为Tr 1 C5 (ax)∴C5 a 10 C3

r

r

1

1

2

5255

a2 b.解得a 2,b 40

12. （09湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、

0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。

【答案】0.24 0.96

【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人都不达标的概率为（1-0.8）×（1-0.6）

×（1-0.5）=0.04，所以，三人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96

13. （09湖北文）设集合A=(x∣log2x<1), B=(X∣【答案】 x|0 x 1

X 1

<1), 则A B= . X 2

【解析】易得A= x|0 x 2 B= x| 2 x 1 ∴A∩B= x|0 x 1 . 14. （09湖北文）过原点O作圆x y 6x 8y 20 0的两条切线，设切点分别为P、

Q，则线段PQ的长为 。 【答案】4

【解析】可得圆方程是(x 3) (y 4) 5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定

理得PQ 4

15. （09湖北文）下图是样本容量为200的频率分布直方图。

根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ，数据落在[2，10）内的概率约为 。

【答案】64

【解析】观察直方图易得两个频率为200 0.08 4 64,频率为

0.1 4 0.4 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（09湖北文）（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a 2csinA (Ⅰ)确定角C的大小；

（Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为

2

2

2

2

33

2

,求a＋b的值。

本小题主要考查正弦定理和余弦定理等基础知识及解三角形的方法，考查基本运算能力。（满分12分）

2csinA及正弦定理得，

asinA

csinCQsinA 0, sinC

Q ABC是锐角三角形， C

（Ⅱ）解法1

：Qc

3

C

3

.由面积公式得

1 absin 即ab 6　　　　　　　　① 23由余弦定理得

a2 b2 2abcos

3

2

7,即a2 b2 ab 7　　　②

由②变形得(a b) 3ab 7 ③ 将①代入③得(a b) 25，故a b 5

解法2：前同解法1，联立①、②得

2

a2 b2 ab 7 a2 b2=13

ab 6 ab 6

消去b并整理得a 13a 36 0解得a 4或a 9 所以

4

2

2

2

a 2 a 3

或 故a b 5 b 3 b 2

17. （09湖北文）（本小题满分12分）

围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元)。 （Ⅰ）将y表示为x的函数：

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

17. 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用平均不等式求最值和运用数学知识解

决实际问题的能力。（满分12分） 解：（Ⅰ）如图，设矩形的另一边长为am，

则y-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=

2

2

360

, x

3602

所以y=225x+ 360(x 0)

x

3602

(Ⅱ

) x 0, 225x 10800

x

36023602

时，等号成立. y 225x 360 10440.当且仅当225x=xx

即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 18.（09湖北文）（本小题满分12分）

如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD AD a，点E是SD上的点，且

DE a(0 1)

(Ⅰ)求证：对任意的 （0、1]，都有AC BE； (Ⅱ)若二面角D AE D的大小为60，求 的值。

18. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置

关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）

（Ⅰ）证法1：连接BD，由底面ABCD是正方形可得AC BD。

SD 平面ABCD， BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得AC BE

(Ⅱ)

解法1： SD 平面ABCD，CD 平面ABCD， SD CD.

又底面ABCD是正方形， CD AD，又SD AD D， CD 平面SAD 过点D在平面SAD内做DF AE于F，连接CF，则CF AE， 故 CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即 CFD=60° 在Rt△ADE中， AD=a, DE= a， AE=a于是，DF

2 1 。

AD DE AE°=

在Rt△CDF中，由co

DF

CD

1

2

得

2 1

2

，即3 3=3 3

(0,1]， 解得 =

2 2

、DC、DS的方向分别作为x、y、z的正方向建立如图所示的(Ⅰ)证法2：以D为原点，DA

空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,0, a)，

AC ( a,a,0),BE ( a, a, a),EA(a,0, a),EC (0,a, a)，

( a,a, a) a2 a2 0 a 0 ∴AC BE ( a,a,0)

即对任意的 （0，1]，都有AC BE

(Ⅱ)解法2：DC (0,a,0)为平面ADE的一个法向量

设平面ACE的一个法向量为n (x,y,z)，

则n EA,n EC

n EA 0 x z 0∴ 即

y z 0 n EC 0

取z 1，得n ( , ,1)

|DC n|

∴cos60 |DC| |n|

由 （0，1]

，解得

19.（09湖北文）（本小题满分12分）

2| |

2

已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6 55,a2 a7 16 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式：

（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝

列{bn}的前n项和Sn

（Ⅰ）解法一：设等差数列 an 的公差为d，则依题设d>0

由a2 a7 16，得2a1 7d 16 ① 由a3 a6 55,得(a1 2d)(a1 5d) 55 ②

由①得2a1 16 7d将其代入②得(16 3d)(16 3d) 220， 即256 9d 220

2

b1b2b3b 2 3 ...n(n为正整数)，求数n2222

d2 4,又d 0, d 2,代入①得a1 1 an 1 (n 1) 2 2n 1

解法二：由等差数列的性质得：a2 a7 a3 a6，∴

2

a3a6 55

a a 16 36

由韦达定理知，a3,a6是方程x 16x 55 0的根， 解方程得x 5或x 11

设公差为d，则由a6 a3 3d，得d ∵d 0，∴a3 5,a6 11,d 故an 2n 1

（Ⅱ）解法一：当n 1时，a1

a6 a3 3

11 5

2,a1 a3 2d 5 4 1 3

b1

，∴b1 2 2

bbb3bn-1bn

当n 2时，an＝1 2 ... n 23n 1

22222bbb3bn-1

an 1＝1 2 ...

222232n 1

bn 1

两式相减得an-an 1＝n，∴bn 2 n

2

因此bn

2,n 1 2,n 2

n 1

当n 1时，S1 b2 2；

b2(1 2n 1)

当n 2时，Sn b1 b2 b3 ... bn 2 2n 2 6

1 2

∵当n 1时上式也成立， ∴当n为正整数时都有Sn 2

解法二：令cn

n 2

6

bn

,则有an c1 c2 cn,an 1 c1 c2 cn 1 n2

两式相减得an 1 an cn 1,由（Ⅰ）得a1 1,an 1 an 2

cn 1 2,cn 2(n 2),即当n 2时，bn 2n 1又当n=1时，b1 2a1 2 2,(n 1) bn n 1

2(n 2)

于是Sn b1 b2 b3 bn 2 2 2 2=2 2 2 2 2

2

3

4

n 1

3

4

n 1

2(2n 1 1)

4 2n 2 6,即Sn 2n 2 6 -4=

2 1

20.（09湖北文）（本小题满分13分）

如图，过抛物线y 2px(p 0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1 （Ⅰ）求证：FM1⊥FN1:

（Ⅱ）记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为

2

4S1S3是否成立，并证明你S1、S2、S3，试判断S2

2

的结论。

本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几

何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分13分）

（Ⅰ）证法1：由抛物线的定义得

MF MM1,NF NN1,

MFM1 MM1F, NFN1 NN1F 2分

如图，设准线l与x轴的交点为F1

QMM1//NN1//FF1

F1FM1 MM1F, F1FN1 NN1F

而 F1FM1 MFM1 F1FN1 N1FN 180 即2 F1FM1 2 F1FN1 180

F1FM1 F1FN1 900

故FM1 FN1 证法2：依题意，焦点为F(

pp,0),准线l的方程为x 22

p

，则有 2

（x1,y1),N（x2,y2),直线MN的方程为x my 设点M,N的坐标分别为M

M1(

pp

,y1),N1( ,y2),FM1 ( p,y1),FN1 ( p,y2) 22

p x my 由 2 得y2 2mpy p2 0 y2 2px

于是，y1 y2 2mp，y1y2 p

2

FM1 FN1 p2 y1y2 p2 p2 0，故FM1 FN1

（Ⅱ）S2 4S1S3成立，证明如下：

证法1：设M(x1,y1),N(x2,y2)，则由抛物线的定义得

2

pp

,|NN1| |NF| x2 ，于是 22

11p

S1 |MM1| |F1M1| (x1 )|y1|

22211

S2 |M1N1| |FF1| p|y1 y2|

2211p

S3 |NN1| |F1N1| (x2 )|y2|

222

11p1p2

S2 4S1S3 (p|y1 y2|)2 4 (x1 )|y1| (x2 )|y2|

22222|MM1| |MF| x1

12pp22

p[(y1 y2) 4y1y2] [x1x2 (x1 x2) ]|y1y2|

424

p

x my 1 y1 y2 2mp 12将 与 代入上式化简可得 2

x my p, y1y2 p22 2p2(m2p2 p2) p2(m2p2 p2)，此式恒成立。

故S2 4S1S3成立。

证法2：如图，设直线MN的倾角为 ，|MF| r1,|NF| r2

则由抛物线的定义得|MM1| |MF| r1,|NN1| |NF| r2

2

MM1//NN1//FF1,

FMM1 , FNN1

于是S1

1211

r1sin ,S3 r22sin( ) r22sin 222

在 FMM1和 FNN1中，由余弦定理可得

|FM1|2 2r12 2r12cos 2r12(1 cos ),|FN1|2 2r22 2r22cos 2r22(1 cos )

1

|FM1| |FN1| 2

112

S2 |FM1|2 |FN1|2 4r12 r22 (1 cos )(1 cos ) r12r22sin2 4S1S3

44

由（I）的结论，得S2

即S2 4S1S3，得证。

21.（09湖北文）（本小题满分14分）

已知关于x的函数f(x)

2

1

x3 bx2 cx bc,其导函数为f'(x).令g(x) |f'(x)|,3

记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.

(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-

4

，试确定b、c的值； 3

（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2；

（Ⅲ）若M k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

21．（09湖北文）本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数

学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想（满分14分） （Ⅰ）解： f'(x) x 2bx c，由f(x)在x 1处有极值

2

4 3

f'(1) 1 2b c 0 可得 14

f(1) b c bc 33 b 1 b 1

,或 解得

c 3c 1

若b 1,c 1，则f'(x) x 2x 1 (x 1) 0，此时f(x)没有极值； 若b 1,c 3，则f'(x) x 2x 3 (x 1)(x 1) 当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：

22

2

当x 1时，f(x)有极大值 ，故b 1，c 3即为所求。

3

（Ⅱ）证法1：g(x) |f'(x)| | (x b) b c|

当|b| 1时，函数y f'(x)的对称轴x b位于区间[ 1.1]之外。

2

2

f'(x)在[ 1,1]上的最值在两端点处取得

故M应是g( 1)和g(1)中较大的一个

2M g(1) g( 1) | 1 2b c| | 1 2b c| |4b| 4,即M 2

证法2（反证法）：因为|b| 1，所以函数y f'(x)的对称轴x b位于区间[ 1,1]之外，

f'(x)在[ 1,1]上的最值在两端点处取得。

故M应是g( 1)和g(1)中较大的一个 假设M 2，则

g( 1) | 1 2b c| 2g(1) | 1 2b c| 2

将上述两式相加得：

4 | 1 2b c| | 1 2b c| 4|b| 4，导致矛盾， M 2

（Ⅲ）解法1：g(x) |f'(x)| | (x b) b c|

（1）当|b| 1时，由（Ⅱ）可知M 2；

（2）当|b| 1时，函数y f'(x）的对称轴x b位于区间[ 1,1]内， 此时M max g( 1),g(1),g(b)

由f'(1) f'( 1) 4b,有f'(b) f'( 1) b( 1) 0

①若 1 b 0,则f'(1) f'( 1) f'(b), g( 1) max g(1),g(b) ， 于是

2

22

1111

M max |f'(1)|,|f'(b)| (|f'(1)| f'(b)|) |f'(1) f'(b)| (b 1)2

2222

②若0 b 1，则f'( 1) f'(1) f'(b), g(1) max g( 1),g(b) 于是

1111

M max |f'( 1)|,|f'(b)| (|f'( 1)| |f'(b)|) |f'( 1) f'(b)| (b 1)2

2222

综上，对任意的b、c都有M 而当b 0,c

1

2

1112

时，g(x) x 在区间[ 1,1]上的最大值M

222

故M k对任意的b、c恒成立的k的最大值为解法2：g(x) |f'(x)| | (x b) b c|

（1）当|b| 1时，由（Ⅱ）可知M 2；

2

2

1

。 2

（2）当|b| 1时，函数y f'(x)的对称轴x b位于区间[ 1,1]内， 此时M max g( 1),g(1),g(b)

4M g( 1) g(1) 2g(b) | 1 2b c| | 1 2b c| 2|b2 c| | 1 2b c ( 1 2b c) 2(b2 c)| |2b2 2| 2，即M

下同解法1

1 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bc21.html