08级数字信号处理试卷A及参考答案

一、 填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分）

1. 两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积后结果的长度是 70 ，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 6 至 63 为线性卷积结果。

nk2. DFT是利用WN的 对称性 、 可约性 和 周期性 三个固有特性来实现FFT快速运算的。

3. IIR数字滤波器设计指标一般由ωc、ωst、δc和δst 等四项组成。(ΩcΩstδcδst)

4. FIR数字滤波器有 窗函数法 和 频率抽样设计法 两种设计方法，其结构有 横截型(卷积型/

直接型) 、 级联型 和 频率抽样型（线性相位型） 等多种结构。

二、判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正确打√，错误打×） 1. 相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（×）

2. Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（√） 3. 按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（×） 4. 冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（√）

5. 双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（×）

6. 巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。（×） 7. 只有FIR滤波器才能做到线性相位，对于IIR滤波器做不到线性相位。（×）

8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR滤波器实现其阶数一定低于FIR阶数。（√）

综合题（本题满分18分，每小问6分）

若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT，X (k)=？

2) 若G(k)?DFT[g(n)]?W62kX(k)，试确定6点序列g(n)=? 3) 若y(n) =x(n)⑨x(n)，求y(n)=？

5X(k)??x(n)W6nkn?02分?3?2W6k?W62k?2W63k?W64k?2W65k1） ?3?2W6?W6k2k?2W63k?W6?2k?2W6?k2分

?3?4cosk?2k??2cos?2(?1)k330?k?5,5?nk6?[11,2,2,?1,2,2]2）

2k62分g(n)?IDFT[WX(k)]??X(k)Wk?0W2k6??X(k)W6?(n?2)kk?05

?x(n?2)?{3，2，1，2，1，2}5m?02?n?7y1(n)?x(n)*x(n)??x(m)x(n?m)?{9,12,10,16,15,20,14,8,9,4,4}3）

y(n)??x(m)x((n?m))9R9(n)?{13,16,10,16,15,20,14,8,9}m?08

0?n?9

1

四、IIR滤波器设计（本题满分20分，每小问5分）

设计一个数字低通滤波器，要求3dB的截止频率fc=1/π Hz，抽样频率fs=2 Hz。

1. 导出归一化的二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数Han(s)。

2. 试用上述指标设计一个二阶巴特沃思模拟低通滤波器，求其系统函数Ha(s)，并画出其零极

点图。 3. 用双线性变换法将Ha(s)转换为数字系统的系统函数H(z)。 4. 画出此数字滤波器的典范型结构流图。 答：（1）其4个极点分别为：sk??ce12k?1j(?)?22N?e12k?1j(?)?24k?0,1,2,3 2分

?1 3分 2s?2s?1Han(s)?(s?e1j3?4)(s?ej5?4?)(s?12222?j)(s??j)2222（2）?c?2?fc?2rad/s 1分

Ha(s)?Han(零极点图：

ss4 3分 )?Han()?2?c2s?22s?4 1分

H(z)?Ha(s)s?21?z（3）

?1T1?z?11?z?1?Ha(4)?11?z?12?1?2?(1?z)1?2z?z?4(1?z?1)2?22(1?z?1)(1?z?1)?(1?z?1)25?22?6z?1?(5?22)z?2

（4）

b0?b1z?1?b2z?21?2z?1?z?2H(z)???1?21?a1z?1?a2z?25?22?6z?(5?22)za1?65?22a2??5?225?22b0?15?22b1?25?22b2?15?22

五、 FIR滤波器设计（本题满分16分，每小问4分）

1(1?0.9z?1?2.1z?2?0.9z?3?z?4)。 设FIR滤波器的系统函数为H(z)?10求出该滤波器的单位取样响应h(n)。试判断该滤波器是否具有线性相位特点。求出其幅频响应函数和相频响应函数。如果具有线性相位特点，试画出其线性相位型结构，否则画出其卷积型结构图。

2

解：1．?H(z)?n????h(n)z??n

?h(n)?0.1?(n)?0.09?(n?1)?0.21?(n?2)?0.09?(n?3)?0.1?(n?4) （4分） ?{0.10.090.210.090.1}0?n?42．?h(n)?h(N?1?n)，?该滤波器具有线性相位特点 （4分） 3．?H(ej?)?H(z)z?ej??1(1?0.9e?j??2.1e?j2??0.9e?j3??e?j4?) 10ej2??e?j2?ej??e?j??e(0.2??0.18??0.21)22?e?j2?(0.2cos2??0.18cos??0.21)?H(?)ej?(?)

?j2?幅频响应为H(?)?0.2cos2??0.18cos??0.21 2分 相频响应为 ?(?)??2? 2分 4．其线性相位型结构如右图所示。 4分

综合题（本题满分18分，每小问6分）

设x(n)=[3，2，0，0，-1，0，0，2]，

1. 试计算x(n)的8点离散付立叶变换X(k)=DFT[x(n)]。

2. 画出基2频率抽选8点FFT（输入自然位序，输出倒位序）的流图。

3. 将离散时间序列x(n)=[3，2，0，0，-1，0，0，2]填写到画好的流图中，并利用流图求k=4时

DFT的值X(4)。

IIR滤波器设计（本题满分20分，每小问5分）

设低通滤波器通带3dB截止频率为Ωc=2rad/s，抽样频率为Ωs=2πrad/s。 1、请写出二阶巴特沃兹低通滤波器的幅度平方函数表达式 |Ha(jΩ)|2 。

2、由幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2可求出，其4个极点分别为：?2?j2, ?2?j2，试求稳定的二阶巴特沃兹低通滤波器系统函数Ha(s) 。

3、试用双线性变换法将Ha(s)转换为相应的数字滤波器H(z)。 4、比较冲激响应不变法和双线性变换法的优缺点。

FIR滤波器设计（本题满分16分，每小问4分）

设FIR滤波器的系统函数为H(z)?1(0.9?0.85z?1?0.85z?3?0.9z?4) 2 3

1．求出该滤波器的单位取样响应h(n)。 2．试判断该滤波器是否具有线性相位特点。 3．求出其幅频响应函数和相频响应函数。

4．如果具有线性相位特点，试画出其线性相位型结构，否则画出其卷积型结构图。

一、 填空题（本题满分30分，共含6道小题，每空2分）

1?2z?1?3z?21. 一稳定LTI系统的H(z)?, H(z)的收敛域为 0.5<|z|<2 ，该系(1?2z?1)(1?z?1?0.25z?2)统是否为因果系统 否（双边序列） 。

1?z?12. 已知一个滤波器的H(z)?, 试判断滤波器的类型(低通，高通，带通，带阻) 高通 。?11?0.9z如不改变其幅频特性只改变相位，可以级联一个 全通 系统。

3. IIR数字滤波器有 冲击响应不变法 、阶跃响应不变法 和 双线性变换法 三种设计方法，其结

构有 直接I型 、 直接II型 、 级联型 和 并联型 等多种结构。 4. 设计切比雪夫滤波器就是根据设计指标计算 N 和 ε 。

5. FIR滤波器的窗函数设计法中，滤波器的过渡带宽度与窗函数的 形状和长度 有关，阻带衰减与窗函数的 形状 有关。

二、判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正确打√，错误打×） 1. 周期分别为N1,N2的两个离散序列，在进行周期卷积后，其结果也是周期序列。（√） 2. Chirp-Z变换的频率采样点不必在单位圆上。（√）

3. 考虑到DFT的栅漏效应，采集数据时采集数据的点数越多（即N值越大）越好。（×）

4. 若全通系统的极点在单位圆内，其零点一定在单位圆外与极点关于单位圆成镜像对称。（√） 5. 冲激响应不变法不能设计数字高通滤波器。（√）

6. 切比雪夫数字滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。（√） 7. 具有递归结构特点的滤波器不一定是IIR滤波器。（√）

8. 线性相位系统对各个频率分量的延迟是相同的。（√） 三、 综合题（本题满分18分，每小问6分）

1）

X(k)??x(n)W8nk?3?2W8k?W84k?2W87kn?07?3?2W8k?W84k?2W8?k?3?4cosk??(?1)k40?k?7,?[6,4?22?22j,2?4j,4?22?22j,?2,4?22?22j,2?4j,4?22?22j]2） 3）

4

X(4)?[((x(0)?x(4))?(x(2)?x(6)))?((x(1)?x(5))?(x(3)?x(7)))]W80?x(0)?x(4)?x(2)?x(6)?(x(1)?x(5)?x(3)?x(7))?3?1?2?2??2四、 IIR滤波器设计（本题满分20分，每小问5分）

11162??41) Ha(j?)?

?2N?4??161?()1?()?c22) Ha(s)?2?c

3）

(s?2?j2)(s?2?j2)?11?zH(z)?Ha(s)s?21?z?1?Ha(2)?1?11?zT1?z?44 ?22(s?2)?2s?22s?44)冲激响应不变法采用时域模仿逼近，时域抽样必定产生频域的周期延拓，产生频率响应的混叠失真。

双线性变换法，先将s域平面压缩到一个中介平面s1，然后再将s1映射到Z平面。利用单值映射避免混叠失真，但是采用双线性变换法，使得除了零频率附近，Ω与ω之间产生严重的非线性（畸变）。

4(1?z?1)21?2z?1?z?2???12?1?1?124(1?z)?42(1?z)(1?z)?4(1?z)2?2?(2?2)z?2

五、 FIR滤波器设计（本题满分16分，每小问4分）

解：1．?H(z)?n????h(n)z??n，

?h(n)?0.45?(n)?0.425?(n?1)?0.425?(n?3)?0.45?(n?4) 4分

2．?h(n)??h(N?1?n)，?该滤波器具有线性相位特点 4分 3．?H(e)?H(z)ej??j?1(0.9?0.85e?j??0.85e?j3??0.9e?j4?) 2??j2?ej2??e?j2?ej??e?j?2?e(0.9??0.85?)2j2j

?2?j2??e(0.9sin2??0.85sin?)?H(?)ej?(?)幅频响应为H(?)?0.9sin2??0.85sin? 2分

相频响应为?(?)?

?2?2? 2分

5．其线性相位型结构如右图所示。 4分

5

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