2013中考压轴题选讲专题4：三角形四边形存在性问题（排版+答案）

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2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编

专题4：三角形四边形存在性问题

授课教师：黄立宗

典型例题

例题1：（2012黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)求A、B两点的坐标。

(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．

(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

2

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例题2：（2012湖北鄂州）已知：如图一，抛物线y?ax2?bx?c与x轴正半轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，直线y?x?2经过A、C两点，且AB=2. （1）求抛物线的解析式；

（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线 段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P 运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设s?t 为何值时，s有最小值，并求出最小值。

（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由。

ED?OPED?OP，当

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例题3：（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物 线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段 AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1） 中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求 点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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巩固练习：

1、（2012福建三明12分）已知直线y=2x?5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=?x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图①，当点M与点A重合时，求：

①抛物线的解析式；（4分）

②点N的坐标和线段MN的长；（4分）

（2）抛物线y=?x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在， 直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

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2、（2012黑龙江牡丹江10分）如图，OA、OB的长分别是关于x的方程x－12x＋32=0的两根，且OA>OB．请解答下列问题：

（1）求直线AB的解析式； （2）若P为AB上一点，且

APPB?132

；，求过点P的反比例函数的解析式；

（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形? 若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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【分析】（1）①由直线y=2x?5与x轴和y轴分别交于点A和点B，求出点A、B的坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式。 ②联立y=2x?5和y=?x2+5x?线段MN的长。

（2）存在两种情况，△OMN与△AOB相似：

情况1，∠OMN=90，过M作MD⊥x轴，垂足为D。 设M（m，2m?5），则OD= m，DM=5?2m。 又OA=

520

254，求出点N的坐标，过N作NC⊥x轴，由勾股定理求出

，OB=5，

ODOB?DMOA 则由△OMD∽△BAO得，，即

m5?5?2m52，解得m=2。

∴M（2，－1）。

情况2，∠ONM=90，若△OMN与△AOB相似，则∠OMN=∠OBN。 ∴OM=OB=5。

设M（m，2m?5），则m2+?2m?5??52解得m=4。

∴M（4，3）。

综上所述，当点M的坐标为（2，－1）或（4，3）时，△OMN与△AOB相似。

2、【答案】解：（1）解x2－12x＋32=0得x1=4，x2=8。

∵OA、OB的长分别是关于x的方程x2－12x＋32=0的两根，且OA>OB， ∴OA=8，OB=4。∴A（－8，0），B（0，4）。 设直线AB的解析式为y=kx+b，则

1?k=??8k+b=0? ?，解得?2。

?b=4?b=4?20

∴直线AB的解析式为y=12x+4。

（2）过点P作PH⊥x轴于点H。 设P（x，y），由AH= x＋8。 ∵

APPB?13，∴

AHHO?13，即

x+8?x?13。

解得 x=－6。

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∵点P在y=12。 x+4上，∴y=1。∴P（－6，1）

kx6x 设过点P的反比例函数的解析式为y= ∴点P的反比例函数的解析式为y=?，则1=

k?6

。∴k=?6。

?x<0?。

， ?59?27??54， ??或???。

37?5??5（3）存在。点Q的坐标为（－2，1）或??58?37【考点】一次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程和二元一次方程组，平行线的性质，等腰梯形的判定和性质。

【分析】（1）求出方程x－12x＋32=0的两根得到A、B两点的坐标，用待定系数法即可求得直线AB的解析式。

（2）求出点P 的坐标，即可求得过点P的反比例函数的解析式。 （3）根据等腰梯形的性质，

当AO是等腰梯形的的底边时，AO的中垂线为x=－4，则点P（－6，1）关于x=－4的对称

点为Q1（－2，1），此时四边形AOQ1P是等腰梯形。

当PO是等腰梯形的的底边时，PO的中点坐标为C（－3，

1??n=01??m=?0），P（－6，1）求得?6。∴PO：y=?x。 1，解得?6??3m+n=?n=02??2

12），PO： y=12x+4 ，由O（0，

过点C与PO垂直的直线CD：y=6x+372，过点A与PO平行的直线AD：y=?16x?43，

11937??x=?y=6x+????372二者联立，?，解得?，∴点D的坐标为

5914?y=??y=?x???74?63?59?59??119?119?， ??， ?，则点A（－8，0）关于点D????的对

74?74??37?37?58?3759??，此时四边形AQ2PO是等腰梯形。 37?称点为Q2?， ? 当AP是等腰梯形的的底边时，AP的中点坐标为

C（－7，

12），AB：y=12x+4。

过点E与AB垂直的直线EF：y=?2x?272，过

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点O与AB平行的直线FO：y=12x，

1191??x=?y=x??27??27??37二者联立，?2，解得?，∴点F的坐标为??， ??，则点O（0，0）关于点

10??5?y=?59?y=?2x?27??74?2?F????275， ?27?27??54， ??的对称点为Q3???，此时四边形APOQ3是等腰梯形。

10?5??5

3、【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，－1)， ∴可设抛物线的表达式为y=a(x?2)2?1。

∵点C(0，3)在y=a(x?2)2?1上，∴3=a(0?2)2?1，解得a?1。 ∴抛物线的表达式为y=(x?2)2?1，即y=x2?4x+3。

（2）令y=0，即x2?4x+3=0，解得x1?1，x2=3。∴A（1，0），B（3，0）。 设BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入得， ??3k+b=0?b=3，解得??k=?1?b=3。∴BC的解析式为y=?x+3。

当x=2时，y=－2＋3=1，∴D（2，1）。 ∴S?ACD?S?ABC?S?ABD?12?2?3?12?2?1?2。

（3）存在。假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似。

∵△BCO是等腰直角三角形，∴以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形。 ∵由EF∥OC得∠DEF=450，

∴以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点。 ①当点F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△BCO。 ∴DF所在直线为y=1。

2??y=x?4x+3 由?，解得x=2?y=1??2 将x=2+2代入y=?x+3，和y=1?2，∴E（2+2，1?2）；

将x=2?2代入y=?x+3，和y=?1+2，∴E（2?2，?1+2）。 ②当点D为直角顶点时，DF⊥ED，此时△EFD∽△BCO。

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∵点D在对称轴上，∴DA=DB。

∵∠CBA=450，∴∠DAB=450，∴∠ADB=900。 ∴AD⊥BC。∴点F在直线AD上。

设AD的解析式为y=mx+n，将A（1，0），D（2，1）代入得， ??m+n=0?2m+n=1，解得??m=1?n=?1。∴AD的解析式为y=x?1。

?y=x2?4x+3? 由?，解得x=1或x=4。

y=x?1?? 将x=1代入y=?x+3，和y=2，∴E（1，2）； 将x=4代入y=?x+3，和y=?1，∴E（4，－1）。

综上所述，点E的坐标为（2+2，1?2）或（2?2，?1+2）或（1，2）或（4，－1）。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线图上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）设抛物线的顶点式表达式，用待定系数法即可求得抛物线的表达式。 （2）求出A、B、D点坐标，由S?ACD?S?ABC?S?ABD即可求得△ACD的面积。 （3）分点F为直角顶点和点D为直角顶点两种情况求解即可。

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