探究斐波那契数列

探究斐波那契数列

教学目标：

1．通过了解斐波那契数列，激发学生的学习兴趣，体会抽象数学概念的实际意义，更好地理解、掌握数学。

2．通过展示生活中的数学，让学生欣赏数学的外在美和，体会数学的内在美，感受数学的神奇美，欣赏数学的艺术美。

3．指导学生在现代技术条件下如何从网络上选择知识、学习知识进而解决问题。

教学重点：

1． 认识斐波那契数列。2、感受数学美和数学思想。

教学难点：

1． 指导学生克服数学材料文章的抽象符号越多、阅读困难的问题。 2．提高探究内容的的可读性、趣味性。

教学内容分析：

中数学课程提倡把数学探究以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中。《斐波那契数列》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书〃数学〃必修5》第37页的阅读材料，是学生在学习完数列的概念与表示方法后安排的一节课外学习内容。斐波那契数列有广泛的应用价值。如（1）叶子在植物梗予上的排列（2）花朵的花瓣数（3）蜜蜂的繁殖（4）人口年龄结构的预测（5）优选法（6）方程论，它涉及面之广，引起了科学家的密切注意和极大的兴趣，美国专门出版了一份《斐波那契季刊》，登载斐波那契数列在应用上的新发现及相关理论。这些内容有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。

教学方式和手段：

本节课采用高中数学课程倡导的自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。本节课以“数学探究”的学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。

在教学手段上，采用PowerPoint，Excel、几何画板等多媒体技术手段，它为我们提供大量的信息和课程内容，提高了课堂效率、丰富课堂内容。

1

教学过程：

1．1数学在人类历史上的作用。

1．2波那契兔子问题、递推关系式、斐波那契的国籍、生平、著作、介绍斐波那契的图书、杂志。

1．3组的分工。 2．1第一小组汇报

内容：斐波那契数列通项公式、前n项和公式，用几何画板验证，用Excel求解斐波那契。

探究结果：

（1）通项公式为an =

1

1+5n1-5n [( )－( )]

225

（2）Sn=

1

1+5n+2 1-5n+2

[( )－( )] -1

225

（3）可以用Excel计算机求斐波那契数列，发现Sn?an?2?1。

2．2第二小组汇报

探究内容：斐波那契与动植物生长 探究结果：

斐波那契与枝叶生长：波兰数学家史坦因豪在其名著《数学万花筒》中提出一个问题：一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝又可每年长出一条新枝，如此下去，十年后新枝将有多少？这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

斐波那契与蜜蜂繁衍：从蜜蜂的繁殖来看，蜜蜂的生长规律是很有趣的，雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂(即工蜂或蜂后)，末受精的孵化为雄蜂、人们在追溯雄蜂的祖先时，发现一只雄蜂的第n代的祖先数目刚好就是斐波那契数列的第n项Fn．如以*表示雄蜂，×表示雌蜂，就得雄蜂的家属结构图(图2)：雄蜂第六代的排列情况与钢琴的13个半音阶排列也完全吻合。因此音调也与斐波那契数列有关．

2

2．3第三小组汇报

探究内容：斐波那契数列与螺线 探究结果：

蓟，它们的头部几乎呈球状。在图【3－1】里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条。例如带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的斐波那契螺旋，并且顺时针和逆时针螺旋的条数恰是斐波那契数列中相邻的两项，其中顺时针的螺旋有34条，逆时针的螺旋有55条。蒲公英和松塔、蜘蛛网、

水流的旋涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等也是按照斐波那契螺旋排列的。

法国数学物理学家杜阿迪和库因此创立了一门新的学科：植物生长动力学。他们指出：植物的相继原基沿着一条很精密盘绕的螺线（生成螺线）十分稀疏地相间排列，而且相继原基之间的夹角恰是13728?，这个角恰恰是将圆周分成1：0.618…..的两个半径夹角，这样

?原基可以最有效地挤在一起，这是让实粒按两条螺线分布且它们紧密而不会留下空隙地唯一角度。

2．4第四小组汇报

探究内容:斐波那契数列的简单性质 探究结果：

斐波拉契的性质与魔术。

an?2an?a2n?1?(?1)n(n?3)

例如：1=1〃2-1； 2=1〃3+1；3=2〃5-1；5=3〃8+1；8=5〃13-1；13=8〃21+1；；21=13〃34-1；34=21〃55+1

这与平时的拼剪魔术有关，例如：8 ←→ 5〃13（即64=65）

其它性质：（1）anan?1?an?1an?2?a2n?1(n?3)（2）a2n?1?a2n?a2n?1(n?3)

2

2

2

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2．5第五小组汇报

探究内容：斐波那契数列与黄金分割。

探究结果：用斐波拉契数列an?an?1?an?2(n?3),a1?1,a2?1，构造新数列

bn?aan5?1，请写出数列{bn}的前5项，发现规律limn??0.618

n??aan?12n?1 2．6第六小组汇报

探究内容：杨辉三角

3

探究结果：

0122?Cn?C?C???Cn当n为偶数时n?1n?2?2?0（n?1）12F=s 2C?C?C???C当n为奇数时(n?1)?n?1n?22?nn

n2．7第七小组汇报

探究内容：斐波那契与叶序、花瓣数现象

探究结果：叶子的排列，能够用以下的叶序分数来表示，

完成的旋转圈数，樱树的

每一循回的叶数叶序分数为

21135，榆树、郁金香、梨树、柳树的叶序分数为 、、，，还有其它的52381381321，，，所有的叶序分数都是斐波那契数列中交错的两项组成，此外，不213455叶序分数为

少植物叶状虽然不同，但其排布却有相似之处，比如相邻两张叶片在与垂直平面上的投影夹角是13728?，科学家经过计算表明：这个角度对植物叶子通风，采光来讲，都是最佳的。

?3．1师：小结 4练习

4．1、一只蜜蜂从0号蜂房开始爬，只能往比原来的房号大的蜂房爬，最后爬到9号蜂房，问有多少种不同的爬法？（2003年全国希望杯数学邀请赛）

4．2、有一条n级楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，要登上第n级台阶，共有

几种走法？

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