2021年吉林省高考理科数学压轴题总复习

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2021年吉林省高考理科数学压轴题总复习

1．已知F 为椭圆C ：

x 2a +

y 2b =1（a ＞b ＞0）的右焦点，过点F 且垂直于x 轴的直线被椭

圆C 截得的弦长等于3，椭圆的离心率为12

． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过点P （?1

2

，0）且斜率存在的直线交椭圆C 于A ，B 两点，x 轴为∠AQB 的平分线．椭圆的左顶点为M ，右顶点为N ，椭圆中心为O ，求证：1

|MP|

?

1|QM|

=

1

|ON|

．

【解答】解：（1）设点F （c ，0），由题易得2b 2a

=3，又c a

=1

2

，

所以a 2

＝4c 2

，即a 2

＝4（a 2

﹣b 2

），即b 2

=34a 2

，代入2b 2a

=3， 解得a ＝2，b =√3， 故椭圆C 的方程为

x 24

+

y 23

=1；

（2）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （t ，0）， 设直线AB 的方程为x ＝my ?1

2

（m ≠0），

联立方程{x 24+y 2

3=1x =my ?1

2

，消去x 可得：4（4+3m 2）y 2﹣12my ﹣45＝0，

所以y 1+y 2=3m 4+3m 2，y 1y 2

=?45

4(4+3m 2)

， 因为x 轴为∠AQB 的平分线，所以k AQ +k BQ ＝0， 又因为k AQ

=y

1x 1

?t ，k

BQ

=y

2x 2

?t ，

所以k

AQ

+k BQ

=y 1x 1?t ?y 2x 2?t =2my 1y 2?(t+12)(y 1+y 2)(x 1?t)(x 2?t)=0，

所以2my 1y 2﹣（t +1

2)(y 1+y 2)（y 1+y 2）＝0，即

?45m 2(4+3m 2)

?(t +12

)×

3m 4+3m 2

=0，

整理可得（t +8）m ＝0，因为m ≠0，所以t ＝﹣8，

因为Q （﹣8，0），M （﹣2，0），P （?1

2，0），N （2，0），O （0，0）， 所以|MP |=3

2，|QM |＝6，|ON |＝2， 所以1|MP|?1|QM|=23

?

16

=12

，

1|ON|

=1

2

，

所以

1|MP|

?

1|QM|

=

1

|ON|

．

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2．已知函数f(x)=mx?n x

?lnx(m ，n ∈R)． （Ⅰ）若函数f （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x ﹣y ＝0平行，求实数n 的值； （Ⅱ）若n ＝1时，函数f （x ）恰有两个零点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），证明：x 1+x 2＞2．

【解答】解：（Ⅰ）因为f′(x)=

n x 2?1x ，且切线与直线x ﹣y ＝0平行， 可得f '（1）＝n ﹣1＝1，

所以n ＝2；

（Ⅱ）证明：当n ＝1时，f （x ）＝m ?1x ?lnx ，

由题意知{m ?1x 1?lnx 1=0①m ?1x 2

?lnx 2=0②， ②─①得：lnx 2?lnx 1=x 2?x

1x 1x 2， 即ln x 2

x 1=x 2x 1?1x 2，③

令t =x 2x 1

，则x 2＝tx 1，且t ＞1， 又因为x 1+x 2＝x 1+tx 1＝（1+t ）x 1，由③知：lnt =t?1tx 1

， 所以x 1=t?1tlnt (t ＞1)，

要证x 1+x 2＞2，

只需证(1+t)t?1tlnt ＞2，

即证t 2?1t

＞2lnt ， 即t ?1t ?2lnt ＞0，

令?(t)=t ?1t ?2lnt(t ＞1)，则?′(t)=(t?1)2

t 2＞0， 所以h （t ）在（1，+∞）上单调递增且h （1）＝0，

所以当t ∈（1，+∞）时，h （t ）＞0，

即x 1+x 2＞2．

3．已知函数f （x ）＝（x ﹣1）（x 2+2）e x ﹣2x ．

（1）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；

（2）证明：f （x ）＞﹣x 2﹣4．

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