矩阵的秩的可加性性质分析

矩阵的秩的可加性性质分析

2 1年第5 00期

金色年华

数学教

矩阵的秩的可加性性质分析陈宇

(商丘医学高等专科学校临床医学系，河南商丘 4 60 ) 7 10

【 -c摘￣]章给出了矩阵的秩具有可加性的一个充分条件， s获得了矩阵论中的若干定理与命题的简单证法，而刻画了一类矩阵的进秩特征。

【关键词】矩阵的秩；幂等阵；对合阵

矩阵的秩是线性代数中一个基本而深刻的概念，是矩阵最重

要的数字特征之一。它最早是由Sl sr 16年引进的”。随 y et于 81 v e后，y etr Foe i s SI s与 rbnn建立了矩阵秩的一些重要的不等式， v e u并且用矩阵秩的某些特征来刻画一些重要矩阵，如幂等矩阵、对合矩阵等。为叙述方便，我们以命题的形式表示如下。 命题 1 sl s r y et不等式 ) A、都是 I c v e (设 B 1阶矩阵，则rA ) (+rB) ( B≥rA) (一n

对(:行等换： (一]:A鳓 D:j初变 ):一 -J+ 进一 (。 B即 rA≥rA) rB)。 ( B) (+ (一n

命题 2 n阶矩阵是 A幂等阵 ( A) 即A=的充要条件为 rA) (+r(—=n E A)。

证明 () 1必要性由 A= A可得 A-=, A( E)O￣A 0即 A—=根据引理 ( )(+rE A)。又因 r ) (— )【一A E】 ()n 1rA) (—=n (+r E≥r (— ) E= A A A=r即证 r ) (— )n (+r A= A E

命题 2阶矩阵 A是幂等阵( nn即A=A)的充要条件为rA+rE—A) () (=n

() 2充分性只要证∈, 均有 AX A = X即可，由已知 n舭 )=+r— )那么A=的解空间 V与(— )=的解空间V, ( A, E X0, E AX 0满足0 = R,从而 《 R

命题 3t阶矩阵 A是对合阵( A= ) n 即 E的充要条件为rE—A) ( (+rE+A) :n

命题 4若矩阵A、可以对角化， A与 B正交， B且则rA+B=rA) ( ( ) (+rB)

存在唯一分解 x x+ 其中X。,: = x。∈V, EV。 X所以 AX=A (+ )置+ 2 2 = : + ) O (五) (=+ l l: X1 A 2 ( 4 ) A+X:五 -:.

命题 5

A、都是 F设 B I阶方阵，是 n E阶单位方阵，则rA ( B—E≤rA—E+rB— ) ( ) ( E)

综上所述A= A。

命题 6设 A、 C次为m xn n, t B、依 ,×ss的矩阵， x则rA C) ( B+rB ) rB ( B≥rA ) ( C一 ( )

命题 3n 阶矩阵 A是对合阵 ( )充要条件为 rE—即A=的 E (A) (+rE+A)。=n

命题 7’ A、均为 m x矩阵， D均为 n矩阵， 设 C n B、×s则rA ( B—C≤rA—C+ ( D) ( ) rB—D )

证明 ( )要性由 A:可得 A-=, A E(— )0根 1必 E,￣E O即(+ ) A=。 E

据弓理( )(+ )r— ) I 1r A+( E≤n E A又因为 r+ )I— ) r E= ( A+t E≥ ( )n E A 2即证 rE—+ ( ( A) rE+A=n )。

命题 8若 A是三幂等阵( A= )则即 A,rA:rA—A ) rA+A ) () (+( 一

、

引理与预备知识

() 2充分性只要证

∈R,均有 AX= X即可， E由已知 rE— (

+rE+A) 1=1说明的解空间 v与 f+ )= E Ax o的解空间 v, 2满定义： t z A为同阶矩阵，, )∑,,设A,… A若 (: ()则称矩∑4 . 4 A) (阵A,: A…A具有秩可加性。 矩阵的性质：初等变换不改变矩阵的秩。

足 0: ,从而其中 X∈V, 2 V。 l l∈ 2 X

∈最存在唯一性分解 X X+( ,= )。 2

分矩的的质 r )(,块阵秩性： :r+) )引理 I若 A、 B分别是 mxn n的矩阵，, rA) (≤ ,×l且则 (+rB)引理 2 rA+B≤rA) rB)rA￣mi{(,(} ( ) (+ (,( B)< n rA)rB)。

所以 AX A ( X AX+ 2X+ 2E X+ 2。 = X+ 2= 1A= lX= ( lX ) J即证 A=。 E

命题 4若矩阵 A、以对角化， A与 B正交， rA+B: B可且则 ( )rA) r B。 (+ ( )

证明若 A为非奇异阵， B B=由A= A O得 B 0结论显然成立；=,

引理 3若空间 v与空间 v满足￥=R,从而V∈R : X 存在唯一分解 X X。其中X∈V,

=+, x。 1 EV。 X 引理 4若 A的零化多项式无重根， A可以对角化。则

若 A为奇异阵，不妨设 0<rA)<n因为 A可对角化，以 3 (=r,所可逆阵P,使A P=

五 . . .0●

.!

二、主要结果与命题证明命题 l s vsr ( l t不等式 ) A、都是 n yee设 B阶矩阵， rA ) 则 ( B≥r(+rB)。 A) (一nJ ^、

.

五

韵

0 ., .

证明由分块矩阵的性质，: l+(秩的{ (), )嚣O

则 A为 r 阶可逆阵。因为 A= A 0 B B=。所以( P ( P= p A )PB )( P ( P: () P B ) P A ) O 1

矩阵的秩的可加性性质分析

对

作同

一

=

㈩

式

三、等式等号成立的探讨不命题 1设 A B、分别为 i n n 矩阵， rA )rA+ n×和 r Xf l则 ( B=( )r( )n B一的充分条件为：,

(撇]] = 。

) = (嚣因为^可逆，fi且=0马=,= . f) i A, 0岛 0

[=: ,) (.:

证明

由

[r

; ) ] )=]= ) 一(一 (;r一：):A=。 (]

尸尸=

( )c,尸 c: .==; r c )且 尸 r.

叉因为,

i (=rP A尸=r^) .叉因为￣r A) ( ) (

(一；

,:… ():,^: (+r ) . ( ) r ) (一

,+B(0:]] p=];￡ -+= I p[r+口， c=

所以

( )^,=+。 = r, r+. c cc c

命题 8若 A是三幂等阵 ( A= )则 rA) (即 A, (=rA—A ) :+r( A+A ) 。证因=所/=]是的化项，的 t项无报 为，以 ( X 它零多式它零f式重， ) -多由哑4可对化从 -A A均对化 知以角 .而一 S+可角 .又为因

命题 5设 A、是 n阶方阵， B都 E是 n阶单位方阵， rA 则 ( B—E) (≤rA—E) (+r B—E)。证因 明为

0

(一 (+= (—: ) ) A A)0 A圈一+。交由题4 A与A A正 .命得

故

…, (因此

。咄 州蛐所以

r— ,+: (一

++。=(= ( ( A) ( ) dA )( ) r, n+ ]丝)

r一 r一 r一 ( (+( .船

, r— r+ . ( ( A) ( )= A+

命题 6设 A、 c依次为 i Xn n,×t B、 n, ss的矩阵， r B ) X则 ( C≥ Ar B+(C-() ( )r )r。 A B B证举设置，焉分别为，￡阶单位矩阵， 剥由于

【考文献】参…杨子胥.高等代数习题解f山东山东科技出版社， MJ第三版， 0 2 0[朱凤娟. l s r 2 1 S v t不等式的 4 yee种证明方法U滨州学院学报， 0。 (】 2 51) 0 23[北京大学数学系. 3 l高等代数[ . M】北京：高等教育出版社，第二版， 8 . 1 8 9 【钱吉林. 4 1高等代数题解精粹【 . M】武汉：中央民族大学出版社，第三版，2 0 . 0 2

二]=且 是可逆牌故

r+c(]]: c,==] cr, r: t ( ( ,=r B (￣+ A ra c t ( B+r C一 () ( S ) rA ) ( ) r B . B

[吴朋年几个矩阵秩不等式的逻辑推导池州师专学报，062 () 5] 20,03. 【严坤妹一类矩阵的秩福建商业高等专科学校学报，0 51() 6] 20,54. 【]-关于矩阵秩的一个不等式的注记[. 7:炜 6『黄山学报， 0,()】 2 573. 0 [胡明矩阵秩的不等式景德镇高专学报，991() 8】 19, 2. 4

【姜景莲.阵秩的不等式的分块证明法U. 9】矩 1南平师专学报， 9, ( . 1 91 4 9 8)[0M ik . n It d c o o Lna ler[] Oxod Oxod 1] r y L A nr u t n t ierAgba s o i M fr: frUn v￣i P e s1 5 1 6 i e W r s, 9 5.3 .

命题 7设 A、均为 m X的矩阵，、均为 n的矩阵， C N BD s X则( AB—C≤rA—C) ( D) (+r B—D)证明根据分块矩阵的乘法可知

( C一。 )—一]日]=0 -]0[ (。 ( 主 C BD由此易知

( ( )【o BD J A - D A A一 一 C∞、—

≥r AB—C ( D)

r 一CD) rn— ) ( (惦 ( +r B—D)。

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