线性代数部分讲义

第一章 行列式一、知识结构网络图?概念 不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项） ??经转置行列式的值不变 ???某行有公因数k,可把k提到行列式外 ????性质?某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和 ?两行互换行列式变号 ??????某行的k倍加至另一行，行列式的值不变 ?n???A??aijAij (按i行展开)??j?1 代数余子式 ?展开式?n??A??aijAij (按j行展开)??i?1?????三角化法???数字型?公式法 ???递推法??行???计算 ???列??用行列式性质 ??抽象型?用矩阵性质 式?????用特征值 A??? ??i?????Ax?0有非零解??反证法 ????证A?0?r?A??n ??0是A的特征值?????A??A ???Ax?0有非零解 ??伴随矩阵求逆法 ?????线性相关（无关）判定?应用? 可逆的证明 ????克莱姆法则 ?????特征值计算 ?点评：（1）二、三阶行列式aca1b1c1bd?ad?bca3b3?a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2c3a2b2c2这样的计算方法对4阶及4阶以上行列式不适用.(2)对行列式的性质3要理解正确,例如a1?b1c1d1a2?b2c2d2a3?b3c3d3a1?c1d1a2c2d2a3d3b1d1b2c2d2b3c3d3c3?c1对于n阶矩阵A??aij?,B??bij?,有A?B??aij?bij?,由于行列式A?B中每一行都是两个数的和,所以若用性质3把行列式A?B拆开,则A?B应当是2个n阶行列式之和,不要错误的认为A?B?A?B.n

二 重要定理 定理1.1 n阶行列式a11 D?a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即 D?ak1Ak1?ak2Ak2???aknAkn?k?1,2,?,n?. ?1.3? 公式?1.3?称为行列式按第k行的展开公式. 定理1.2 n阶行列式D等于它的任意一列的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即 D?a1kA1k＋a2kA2k＋?＋ankAnk ?k?1,2,?,n?. ?1.4? 公式?1.4?称为行列式按第k列的展开公式. 定理1.3 设n阶行列式a11 D?a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann 元素aij的代数余子式为Aij,当i?k ?i,k?1,2,?,n?时，有 ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn?0 ?1.5? 当j?k?j,k?1,2,?,n?时，有 a1jA1k?a2jA2k???anjAnk?0 ?1.6???注?? 在n阶行列式a11 D?a21?an1a12a22?an2???a1na2n?ann 中划去元素aij所在的第i行、第j列，由剩下的元素按原来的排法，构成一个n-1阶的行列式a11? ai?1,1ai?1,1?an1????a1j?1?ai?1,j?1ai?1,j?1?an,j?1i＋ja1j?1?ai?1,j?1ai?1,j?1?an,j?1?a1n?ai?1,nai?1,n?ann??

?称其为aij的余子式，记为Mij.而称?－1?即 Aij? ?－1?i＋jMij为aij的代数余子式，记为Aij,Mij ?1.2? 三 主要公式?1?上?下?三角行列式的值等于主对角线元素的乘积a11 a12a22???a1na2n?ann?a11a21?an1a22?an2???ann?a11a22?ann, ?1.7??2?关于副对角线的行列式a11 a21?an1 ??-1?a12a22?0n?n?1?2??a1,n-1a2,n-1?0an10?0?00?an1??0a2,n-1?an,n-1a1na2n?ann??a1na2,n-1?anl. ?1.8??3?两个特殊的拉普拉斯展开式a11? an10?0a11??an1c11? cn1b11?bm1???1??a11mn?a1n?ann0?c11?cn1b11?bm1b11??bm1a11?an10?0a1n?ann?c1m?cnmb1m?bmmb1m?a11??an1c11?cm1?a1n?annc1n?cmn0?0b11?bm1?0?????????0b1m?bmm??0a1n?annc1m?cnmb1m?bmm?????. ?1.9?????bmma1n?ann0?0??0b11?bm1b1m??bmm ?1.10?????0?0b1m?bmma11?an1c11?cm1????a1n?annc1n?cmm?????b11??bm10??an1??4?范德蒙行列式1x1 x1?x1n-121x2x2?x2n-12???1xnxn?xn2???x1?j?i?ni?xj? ?1.11??n-1?5?特征多项式 设A??aij?是3阶矩阵，则A的特征多项式 ??-A????a11?a22?a33???s2??A ?1.12?32其中 s2?a11a21a12a22?a11a31a13a33?a22a32a23a33

四. 方阵行列式?1?若A是n阶矩阵，则kA?kA; ?1.12?AB?AB; ?1.13?n?1n?2?若A,B都是n阶矩阵，则?3?若A是n阶矩阵，则A*?A; ?1.14??1?4?若A是n可逆阶矩阵，则A-1?A ?1.15??5?若A是n阶矩阵，?i?i?1,2,?,n?是A的特征值，n则A???i?1i; ?1.16??6?若A?B,则A?B. ?1.17? 五. 克莱姆法则若线性方程组?a11x1?a12x2???a1nxn?b?1 ?a21x1?a22x2???a2nxn?b?2?? ? ? ??an1x1?an2x2???annxn?bn的系数行列式a11a12?a1n D=a21a22?a2n?0an1an2?ann则方程组有惟一解 xD1n1=D,x2=D2D,?,xn=DD 其中a11?a1j-1b1a1j+1?n D=?ba21?a2j-1b2a2j+1?jiAij=i?1????an1?anj-1bnanj+1? 推论 若齐次线性方程组?a11x1?a12x2???a?1nxn?0 ?a21x1?a22x2???a2nxn?0??? ? ? ???an1x1?an2x2???annxn?0的系数行列式不为0，则方程组只有零解. ?1.18?a1na2n?ann

数字型行列式a111.已知a21a31a12a22a32a13a23?3,则a33a11 a12a132a31?5a212a32?5a222a33?5a233a213a22?? ?3a23 ?A?18; ?B??18; ?C?-9; ?D?27. x?22.记行列式2x?23x?34x数为 ?A?1; ?B?2; ?C?3; ?D?4. ? ? a13.四阶行列式00b40a2b300b2a30b100a4的值等于x?12x?13x?24x?3x?22x?24x?55x?7x?32x?33x?54x?3为f?x?,则方程f?x??0的根的个 ?A?a1a2a3a4-b1b2b3b4 ?B? a1a2a3a4?b1b2b3b4 ?C??a1a2-b1b2??a3a4-b3b4 ? ?D??a2a3-b2b3??a1a4-b1b4 ? ? ? 14.计算11aa1?x5.?x00a16.a2a3a417.1111200-1x00103011a1a2x?x00-1x01004?______. 1a11a30x?x00-1x?________.a111a400x?_______.?_______.

含参数行列式11.若5001 23426001x3437x413x614835116x?11?0,则??____.?0,则x?____.?0,则x?____.??32.若1?1??51?2??32?k?0,则??____.??33.若k?4??1?2??3 抽象行列式1.?,?,?1,?2,?3均为4维列向量，已知A?? ?1 ?2 ?3?5,B?? ?1 ?2 ?3?-1,则A?B? ?A?4 ?B?6 ?c?32 ?D?48 ? ? 2.已知 ?1,?2,?3,?,?均4维列向量，若4阶行列式?1 ?2 ?3 ?＝a,??? ?1 ?2 ?3＝b,那么4阶行列式2? ?1 ?2 ?3? ?A?2a?b ?B?2b?a ?C??2a?2b ?D??2a?2b ? ?3.设A,B均为n阶矩阵,A?2,B??3,则 AB?AB?1?4.设A?0???2234-1**?112AB*T?____.?____?1?1*?*5,A是A的伴随矩阵，则A?____.?22??

第二章 矩 阵?概念----m?n个数排成的m行n列的表格 ?A?B,kA??运算--AB?方阵的幂?TA???b1j??????????????????b2j???? ????c?i ? iai1 ai2 ? ain?? ???ij????????????????????????bnj??????jj????设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B使得 ???定义? AB?BA?E?单位矩阵???????成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵.?????用定义 ???行?逆矩阵???A?E?????E?A?1? ??????1*??求法?用伴随A?1?A ?A??????1?1?1?1?A00A???0?A0B???????用分块?,????????1??1???0BB0?0BA0???????????矩阵?????计算 初等变换法 定义法 ?秩? 性质 rAB?minrA,rB;如A可逆，则rAB?rB ????????????????????A11A21?An1??????A12A22?An2???,AA*?A*A?AE ?伴随矩阵--A?????????????A1nA2n?Ann??????T?对称矩阵--A?A ? a?a ?ijji??T?反对称矩阵--A??A ? aii?0,aij??aji ??特殊矩阵?正交矩阵--AAT?ATA?E ? A-1?AT ?????1??????a-1n1????a1??a1?????1????n?对角矩阵??????,???,a???? 12212?????a2?n?????an?a3???????1????????a??3??????1?用非零常数k乘矩阵的某一行?列?;??初等变换??2?互换矩阵某两行?列?的位置; ???3把某行列的k倍加至另一行列;?????????

二. 主 要 公 式?1?转置 ?AT?T?A;T ?A?B? ?kA?T?A?B;TTT?kA;T ?AB??BA.TT?2?可逆 ?A?1??1?A?1kA?1 ?kA??1?k?1?0?; ?AB? ?A A?1?1?B?1A;?T??A1A1A;?T??1;?1? A?1?A.?3?伴随 AA?AA?AE; A?AA; A???1???An?1;?1 ?A ?A????1??A??A????1AA;?TT?; r?A???n 如果r?A??n,???1 如果r?A??n?1,?0 如果rA?n?1.????4?秩 r?A??r?AT?; 当k?0时,r(kA)?r(A); r?A?B??r?A??r?B? r(AB)?min?r?A?,r(B)? 若A可逆,则r(AB)?r(B),r(BA)?r(B). 若A是m?n矩阵,B是n?s矩阵,AB?0,则r(A)?r(B)?n(5)分块矩阵?A ??????An???B????1nn?B???若B,C分别是m阶,n阶可逆矩阵,则?B ??00??C??B?1???00??0,?1??C??CB??0??1?0???1?BC??0??1

三 矩阵运算1.已知??（1 2 1），??（1 T12 0），A???，则A?____.TT4?2?2.已知A?1??1?4226??n3，则A?____.?3??TT3. 设?是3维列向量，?是?的转置，若???1? ?1??1??11?11??T?1，则???_____.?1??2003??234，则A?_____,A?_____.?0??01?30??n0，则A?_____.?1??0301??1??0，B?0????02??0?10??0?4.若A?0??0??1?5.设 A?2??0??2?6. 已知A?0??2?则X40??0，若X满足AX?2B?BA?2X，?0???_____.?0?7. 设A?1??0?则B2004?1000???10 B?PAP，其中P为3阶可逆矩阵，??1???2A?_____.2 四 可逆矩阵?2?1. 若A?1???1??01?2. 设A?12??2?2?123???10，则A?_____.?1??2???10，则A?_____.?0???1?2?1?，B?A?3A?2E，则B?_____.3?035?13. 设矩阵A???2

1??1TT4.设???，，0?，，0?是1?n矩阵，A?E???，B?E?a??,其中E是n阶单位矩阵，A2??2的逆矩阵是B，则a?______.?15.若A是n阶矩阵，满足A?3A?2E?0，则?A?E?2?______.?1??26. 设A???0???003?40005?60??0?，E为4阶单位矩阵，且B??E?A??1?E?A?，则0??7???E?B??1?______.7. 设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB?2A?B，?2?B?0??2?0402???10，则（A?E）?______.?2?? 五 矩 阵 的 秩1. 求矩阵A的秩，其中a,b是参数，?1?0 A???2??3??2?2. 设A?6??4?t?______3. 已知n??3?阶矩阵?1?a? A??a????a?的秩为n?1，求a.a1a?aaa1?a????a??a?a????1??3t64??1????2，B?3?2?????0?3???11351?1a11??b?.4??7??34?，若秩r?A?AB??2，则

六 矩 阵 方 程?0?1. x0??1?120?1??2??2?4???0???02061???2,则x?______.?6??2??4??11??12. 已知X?XA?B，其中A??，B????11??3则X?______.?1?3.设矩阵A?0??1?0261??26满足AX?E?A?X，则X?______.?1??4. 已知A，B均3阶矩阵，矩阵X满足 AXA?BXB?BXA?AXB?E 其中E是3阶单位矩阵，则X?______. ?A??A?B22??1 ?B??A?B??1?1?A?B??1 ?C??A?B??1?A?B? ?D?条件不足，不能确定5.若XA?1?1???3A?X，其中A?0???3??10?10?1??0 ， 则X?______.?1??6.若?2E?C?1? B?0??0?B?AT?C?1 ，其中2100??2?1??210?3??1??2 ，C?0????01??

则A?______.第三章n维向量一、知识结构网络图??概念：若存在不全为0的k1?，k1，使k1?1???ks?s＝0???（?，?s）x＝0 有非0解??1，?2，??????充要条件?（r?1，?2，?，?s）?s???线性相关????判定??某?ii可由?1,??i-1,?i?1,?,?s表出??????充分条件?n?1个n维向量??????多数向量能用少数向量表示?????概念:如果k1?1???ks?s＝0,则必有k1?0,?,ks?0????（?，?s）x?0只有零解??1，??判??n维向量???（r?1，?，?s）?s?线性无关?????i,?i不能由其余的表示?????阶梯形向量组 ?定????? ?? ????概念?极大线性无关组??求法?? ????向量组的秩-矩阵的秩定义 在向量组?1，?2，?，?s中,如存在r个向量?i1,?i2,?,?ir,线性无关,再加进任一个向量?j?j?1.2.?,s?就线性相关,则称?i1,?i2,?,?ir是向量组?1，?2，?，?s的一个极大线性无关组.定义 向量组?1，?2，?，?s的极大线性无关组中所含向量的个数r称为这个向量组的秩.二、重要定理定理3 向量组?1，?2，?，?s线性相关?x1???x2 ?齐次线性方程组??1，?2，?，?s????0有非零解???????xs?? ?向量组的秩r??1，?2，?，?s??s.推论1 n个n维向量?1，?2，?，?n线性相关的充分必要条件是行列式?1，?2，?，?n?0.推论2 n?1个n维向量一定线性相关.定理3.2如果向量组?1，?2，?，?s的一个部分组线性相关,那么向量组?1，?2，?，?s亦线性相关;反之,如果?1，?2，?，?s线性无关,那么它的任一部分组都线性无关.定理3.3 设?1，?2，?，?s是m维向量,?1,?2,?,?s是n维向量,令??s???1???2? ?1???,?2???,?,?s???,??1???2???s?其中?1,?2,?,?s,是m?n维向量.如果?1，?2，?，?s线性无关,则?1,?2,?,?s,线性无关;反之,若?1,?2,?,?s线性相关,则?1，?2，?，?s线性相关.

三、线性相关1.下列向量组中，线性无关的是（A）（1，，23，4）(2,3,4,5),(0,0,0,0).(B)(a,b,c,),(b,c,d),(d,e,f),(f,g,h)(C)(a,1,b,0,0),(c,0,d,6,0),(a,0,c.5,6)?1?2.设三阶矩阵A?2???3TTTTTTTTTT，TT210?2?T?2,三维列向量??（a,1,1)，已知A?与?线性相关，则a??4??TTTT3.若?1?（1，，23，1），?2?(1,1,2,?1),?3?(2,6,a,5)?4?(3,4,7,?1)线性相关，则a?___.4.若?1?(1,3,4,-2,),?2?(2,1,3,t),?3?(3,?1,2,0)线性相关,则t?_____.5.已知向量组?1，?2，?3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（A）?1??2，?2??3，?3??1（B）?1??2，?2??3，?1?2?2??3，（C）?1?2?2，2?2?3?3，3?3??1（D）?1??2??3，2?1?3?2?22?3，3?1?5?2?5?36.已知向量组?1，?2，?3线性无关，向量组?1?a?2，?1?2?2??3，a?1??3线性相关，则a=____?2??1??1??0??????????0???1??0??0?7.设?1???,a2???,a3???,a4????0??2??7??0??????a1???a2???a4???a3??其中?1，?2，?3，?4为任意实数，则?A??1，?2，?3必线性相关 ?B??1，?2，?3必线性无关?C??1，?2，?3，?4必线性相关 ?D??1，?2，?3，?4必线性无关8.设有任意两个n维向量组?1,?,?m和?1,?,?m.若存在两组不全为零的数?1,?,?m和k1,?,km,使(?1?k1)?1???(?m?km)?m?(?1?k1)?1??(?m?km)?m?0,则?，?m都线性相关?A??1,?,?m和?1，?，?m都线性无关?B??1,?,?m和?1，

?C??1??1,?,?m?D??1??1,?,?m??m,?1??1,?,?m??m,线性无关??m,?1??1,?,?m??m,线性相关 四. 向 量 组 的 秩1. 向量组?1?（1，3，6，2），?2??2，1，2，?1?，?3??1，?1，a，?2?的TTT秩为2，则a?______.TTTT2. 向量组?1??1，1，1，1?，?2???1，1，?1，1?，?3???1，1，1，?1?，?4???1，?1，11?的极大线性无关组是______；TTT3. 已知向量组?1??1，1，1，3?，?2??1，3，?5，?1?，?3???2，?6，10，a?，?4??4，1，6，a?10?线性相关，则向量组?1，?2，?3，?4的极大线性无关组是______.4. 设向量组?1，?2，?，?s的秩为r，则（）.T?A?必定r?s；?B?向量组中任意小于r个向量的部分组无关；?C?向量组中任意r个向量线性无关；?D?向量组中任r?1个向量必线性相关.5.设A是m?n矩阵，且其列向量组线性无关，B是n阶矩阵，满足AB?A,则秩r?B?____.?A?等于n ?B?小于n ?C?等于1 ?D?不能确定.6. 设A是m?n矩形，B是n?m矩阵，则（）.?A?当m?B?当m?C?当n?D?当n?n，必有行列式AB?0.?n，必有行列式AB?0.?m，必有行列式AB?0.?m，必有行列式AB?0.7.设A为m?n矩阵，秩r?A??m?n，不正确的命题是（）.?A?A的行向量组线性无关.?B?A中有m个线性无关的列向量.?C?A的列向量组线性相关.?D?A中任m个列向量线性无关.

第四章　　　线形方程组一、知识结构网络图??Ax?b ??有解判定r?A??rA?解的结构?矩??? ?导出组?阵?初等行变换阶梯形? 通解?形...?...?...? 有非0解 r?A??n? 基础解系 ???式???Ax?0 ????方???若?1，?2是Ax?b的解，则?1?a2是Ax?0的解 ?程??解的性质?若?1，?2是Ax?0的解，则k1?1?k2?2是Ax?0的解 组??若?是Ax?b的解，?是Ax?0的解,则???是Ax?b的解?????????特解，通解?解的结构? ?自由变量??????? ?解的结构?对非齐次线性方程组Ax?b,若r?A??rA?r,且已知?1，?2，?，?n-r是导出组Ax?0的基础解系，?0是Ax?b的某个已知解，则Ax?b的通解为 ?0?c1?1?c2?2???cn?r?n?r，其中c1,c2,?，cn?r为任意常数。 如果?1,?2,?，?t是Ax?0的基础解系 ?1??1,?2,?，?t是Ax?0的解； ?2??1,?2,?，?t线性无关 ?3?Ax?0的任何一个解可由?1,?2,?，?t线性表出； ?3'?n?r?A??t点评 ?1?非其次线性方程组Ax?b可能有解?唯一解或无穷多解?亦可能无解,要用秩r?A??rA作有解判定。?????2?n元齐次方程组Ax?0必有零解，问题是除去零解之外是否还有其它的解?即非零解?？判断方法是检查r?A??n?特殊情况可检查行列式A?0?

?3?要搞清楚基础解系这一概念，其实它就是解向量的极大线性无关组，要掌握基础解系的求法?4?要熟悉线性方程组的性质，掌握解的结构，熟练运用初等行变换求通解?特解、导出组基础解系?。

二. Ax?0?1?1.设A?2???1?01237?11432??3，则Ax?0的基础解系中所含解向量的个数为（）.?0???A?1 ?B?2 ?C?3 ?4?4 ?x1?2x2?3x3?4x4?0??2x1?3x2?4x3?5x4?02. 齐次方程组?，3x?4x?5x?6x?0234?1?4x?5x?6x?7x?0234?1的基础解系是（）. ?A???3，0，1，0?，?2，?3，0，1?TTT ?B?k1?1，?2，1，0??k2?2，?3，0，1? ?C??2，?3，0，1?TT31???1，?，0，?22??TT ?D???3，4，1，?2?,?3,?5,1,1?T1??3. 已知向量?1??1，?1，1，0?，?2??0，1，?，2?，?3???2，0，1，?2?，?4??1，?1，0，0?，2???5??0，?2，1，?2?，则齐次线性方程组?x1?x2?x4?0， ??2x3?x4?0的基础解系是（）. ?A??1，?2； ?B??2，?5； ?C??3，?4； ?D??3，?4，?5.4. 齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充分必要条件是（）. ?A?系数矩阵A的行向量组线性无关； ?B?系数矩阵A的列向量组线性无关； ?C?系数矩阵A的行向量组线性相关； ?D?系数矩阵A的列向量组线性相关.T5. 要使?1?（1，0，2），?2??0，1，?1?都是线性方程组Ax?0的解，则系数矩阵A为（）.T ?A???2?211?； ?B???001?1???1； C????1??21?2?02?? ?D?4?；??4???01?21?1???2 ?1??6. 齐次线性方程组??x1?x2?x3?0，? ?x1??x2?x3?0，?x?x?x?023?1只有零解，则?（）.

7. 已知?1，?2，?3，是齐次方程组Ax?0的基础解系，那么基础解系还可以是（）. ?A?k1?1?k2?2?k3?3； ?B??1??2，?2??3，?3??1； ?C??1??2，?2??3； ?C??1，?1??2??3，?3??2. 三. Ax?b?1?1.已知方程组2???123a??x1??1??????a?2x2?3无解，则a?（）.??????2????x3????0???1 ?D??3或1.1?A?3 ?B??1 ?C?3或2. 线性方程组Ax?b经初等行变换其增广矩阵化为（）.?1? ????0a?332a?226a?3?????1??a?1??2??a?1?若方程组无解，则a?（）.?A??1 ?B?1 ?C?2 ?D?33. 设A是m?n矩阵，非齐次线性方程组Ax?b有解的充分条件是（）.?A?秩r?A???C?秩r?A??m ?B?A的行向量组线性相关.n ?D?A的列向量组线性相关.4. 对于n元方程组，正确的命题是（）.?A?如Ax?B?Ax?C?Ax?0只有零解，则Ax?b有惟一解；?0有非零解，则Ax?b有无穷多解；?b有惟一解的充要条件是A?0；?b有两个不同的解，则Ax?0有无穷多解.?D?如Ax5.设线性方程组Ax?b有n个未知量，m个方程，且r?A??r，则此方程组（）.?A?r?C?m?m时，有解； ?B?r?n时，有惟一解；?n时，有惟一解； ?D?r?n时，有无穷多解.?x1?2x2?x3?x4?3?6. 方程组?x2?2x3?x4?3的通解______.?2x3?x4?1?7. 方程 x1?2x2?3x3?4x4?5 的通解______.

四 . 解的结构、解的性质1. 4元方程组AX?b中，r?A??3，三个解为X1，X2，X3，若X1??1，1，1，1?，X2?X3??2，3，4，5?，则方程组通解为______.2. 已知?1，?2是Ax?b的两个不同的解，?1，?2是相应齐次方程组Ax?0的基础解系，k1，k2是任意常数，则Ax?b的通解是（）. ?A?k1?1?k2??1??2?? ?C?k1?1?k2??1??2??TT?1??22； ?B?k1?1?k2??1??2??； ?D?k1?1?k2??1??2???1??22；.?1??22?1??223.已知?1???9，1211?，?2??1，?5，13，0?，?3???7，?9，24，11?是TTT?a1x1?a2x2?a3x3?a4x4?d1?方程组?3x1?b2x2?2x3?b4x4?d2 的解，则通解是_______.?9x?4x?x?cx?d123443? 五. 关于AB?0?1??11. 如果矩阵A???2???2?1?2.已知A?2???32t623113??2?，B是3阶非零矩阵，且AB?0，则t?______.t???1?3??6，B是3阶矩阵且秩r?B??2.若AB?0，则t?_______.?9????x1?x2??2x3?0?3. 齐次方程组?x1??x2?x3?0系数矩阵为A，若有三阶非0矩阵B，?x?x??x?023?1使AB?0，则（）. ?A????2，B?0 ?B????2，B?0 ?C???1，B?0 ?D???1，B?0

评注 关于AB?0，应当有两个重要的思路. ?1?B的列向量是方程组Ax?0的解. ?2?秩r?A??r?B??n.

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