最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》

教师版2015高中数学必修+选修知识点归纳

引言

1.课程容：

必修课程由5个模块组成：

必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）

必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础容还增加了向量、算法、概率、统计等容。

选修课程有4个系列：

系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图

系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充

与复数

选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案

例。

系列3：由6个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

系列4：由10个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数

难点：函数、圆锥曲线

高考相关考点：

⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充

要条件

⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最

值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指

数函数、对数与对数函数、函数的应用

⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列

求和、数列的应用

⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、

倍、半公式、求值、化简、证明、三角函

数的图象与性质、三角函数的应用

⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积

及其应用

⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、

不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、

线性规划、圆、直线与圆的位置关系

⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥

曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、

平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理

及其应用

⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正

态分布

⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用

⒀复数：复数的概念与运算

必修1数学知识点

第一章：集合与函数概念

§1.1.1、集合

1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体

叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集

合相等。

3、常见集合：正整数集合：*

N或

+

N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R.

4、集合的表示方法：列举法、描述法.

§1.1.2、集合间的基本关系

1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意

一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合

B的子集。记作B

A?.

2、如果集合B

A?，但存在元素B

x∈，且A

x?，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.

3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规

定：空集合是任何集合的子集.

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4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n

2个子

集，21n

-个真子集.

§1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的

集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组

成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念

1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应

关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法

1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：

(1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么

],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数.

步骤：取值—作差—变形—定号—判断

格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：

()()21x f x f -=…

(2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间可导，若

0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；

若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性

1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域任意一个x ，

都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.

2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域任意一个x ，

都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识：函数与导数

1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在

))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方

程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数

①'

C 0=；②1

'

)(-=n n nx

x ； ③

x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；

⑤a a a x

x ln )('

=； ⑥x

x e e ='

)(； ⑦

a

x x a ln 1)(log '=

；⑧x x 1)(ln '

=

3、导数的运算法则 （1）'

v . （2）'

'

'

()uv u v uv =+.

（3）''

'2

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 4、复合函数求导法则

复合函数(())y f g x =的导数和函数

(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.

解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义：

极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；

极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值. (2)判别方法：

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，

0②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，

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那么)(0x f 是极小值. 6、求函数的最值

(1)求()y f x =在(,)a b 的极值（极大或者极小值） (2)将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。

第二章：基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算

1、 一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根。

其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =；

当n 为偶数时，a a n n

=. 3、 我们规定： ⑴m n m

n

a a

=

()

1,,,0*

>∈>m N

n m a ；

⑵()01

>=

-n a

a

n n

； 4、 运算性质：

⑴()Q s r a a

a a s

r s

r

∈>=+,,0；

⑵()

()Q s r a a a rs s

r

∈>=,,0；

⑶()()Q r b a b a ab r

r r

∈>>=,0,0.

§2.1.2、指数函数及其性质

1、记住图象：()1,0≠>=a a a y x

2、性质：

§2.2.1、对数与对数运算

1、指数与对数互化式：log x

a a N x N =?=；

2、对数恒等式：log a N

a

N =.

3、基本性质：01log =a ，1log =a a .

4、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=； ⑵N M N M a a a log log log -=??

?

??； ⑶M n M a n

a log log =.

5、换底公式：a

b

b c c a log log log =

()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .

6、重要公式：log log n m

a a m

b b n

= 7、倒数关系：a

b b a log 1

log =

()1,0,1,0≠>≠>b b a a .

§2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象：()1,0log ≠>=a a x y a

2、性质：

§2.3、幂函数

1、几种幂函数的图象：

第三章：函数的应用

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§3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程()0=x f 有实根

?函数()x f y =的图象与x 轴有交点 ?函数()x f y =有零点. 2、 零点存在性定理：

如果函数()x f y =在区间[]b a , 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0

()x f y =在区间()b a ,有零点，即存在()b a c ,∈，使

得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法.

§3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例

1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.

必修2数学知识点

第一章：空间几何体 1、空间几何体的结构

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面

⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面

⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 ⑷体积公式：

h S V ?=柱体；h S V ?=

3

1

锥体； ()

h S S S S V 下下上上台体+?+=

3

1

⑸球的表面积和体积：

323

4

4R V R S ππ==球球，.

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面，那么这条直线在此平面。

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。

7、线面位置关系：直线在平面、直线和平面平行、直线和平面相交。

8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行：

⑴判定：平面外一条直线与此平面的一条直线平行， 则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的

任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。 10、面面平行：

⑴判定：一个平面的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行）。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。 11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面的任意一条直

线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，

则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二

面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这

两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。 ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面垂直于交线

的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。

第三章：直线与方程

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1、倾斜角与斜率：1

21

2tan x x y y --==α

2、直线方程：

⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y +=

⑶两点式：

121

121

y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：

1x y

a b

+= ⑸一般式：0=++C By Ax

3、对于直线：

222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：

⑴??

?≠=?2

12

121//b b k k l l ；

⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；

⑶1l 和2l 重合???==?21

2

1b b k k ；

⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线：

:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：

⑴???≠=?1

2211

22121//C B C B B A B A l l ；

⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?；

⑶1l 和2l 重合???==?122

11

221C B C B B A B A ；

⑷0212121=+?⊥B B A A l l .

5、两点间距离公式：

()()21221221y y x x P P -+-=

6、点到直线距离公式：

2

2

00B

A C

By Ax d +++=

7、两平行线间的距离公式：

1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，

则2

2

21B

A C C d +-=

第四章：圆与方程 1、圆的方程：

⑴标准方程：()()2

2

2

r b y a x =-+-

其中圆心为(,)a b ，半径为r .

⑵一般方程：02

2

=++++F Ey Dx y x .

其中圆心为(,)22

D

E

-

-

，半径为r =

2、直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ;

0=???=相切r d ;

0>???<相交r d .

弦长公式：

222d r l -=

=3、两圆位置关系：21O O = ⑴外离：r R d +>； ⑵外切：r R d +=；

⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷切：r R d -=； ⑸含：r R d -<.

3、空间中两点间距离公式：

()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=

必修3数学知识点

第一章：算法

1、算法三种语言：

自然语言、流程图、程序语言； 2、流程图中的图框：

起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等

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所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 ③进位制

十进制数化为k 进制数—除k 取余法 k 进制数化为十进制数 第二章：统计 1、抽样方法：

①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显）

注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，

每个个体被抽到的机会（概率）均为N n

。

2、总体分布的估计： ⑴一表二图：

①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计：

⑴平均数：n

x x x x x n

++++= 321；

取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ，则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21 方差：2

1

2)(1

∑=-=

n

i i

x x

n

s ；

标准差：2

1

)(1∑=-=

n

i i

x x

n

s

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。

⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：a bx y +=∧

（最小二乘法）

1

221n

i i i n

i

i x y nx y b x nx a y bx

==?

-?

?=??-??=-??∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。

第三章：概率

1、随机事件及其概率： ⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；

⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=

A P n

m

A P . 2、古典概型：

⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果； ⑵古典概型的特点：

①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n 个，事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率n

m

A P =

)(. 3、几何概型：

⑴几何概型的特点：

①所有的基本事件是无限个； ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式：的测度

的测度

D d A P =

)(；

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。

4、互斥事件：

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；

⑵如果事件n A A A ,,,21 任意两个都是互斥事件，则称事件n A A A ,,,21 彼此互斥。

⑶如果事件A ，B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A ，B 发生的概率的和，

即：)()()(B P A P B A P +=+

⑷如果事件n A A A ,,,21 彼此互斥，则有： )()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。 ①事件A 的对立事件记作A

)(1)(,1)()(A P A P A P A P -==+

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。

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