最全教师版整理全面《高中数学知识点归纳总结》
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教师版2015高中数学必修+选修知识点归纳
引言
1.课程容:
必修课程由5个模块组成:
必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数)
必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3:算法初步、统计、概率。
必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。
必修5:解三角形、数列、不等式。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。
此外,基础容还增加了向量、算法、概率、统计等容。
选修课程有4个系列:
系列1:由2个模块组成。
选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图
系列2:由3个模块组成。
选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充
与复数
选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案
例。
系列3:由6个专题组成。
选修3—1:数学史选讲。
选修3—2:信息安全与密码。
选修3—3:球面上的几何。
选修3—4:对称与群。
选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。
选修3—6:三等分角与数域扩充。
系列4:由10个专题组成。
选修4—1:几何证明选讲。
选修4—2:矩阵与变换。
选修4—3:数列与差分。
选修4—4:坐标系与参数方程。
选修4—5:不等式选讲。
选修4—6:初等数论初步。
选修4—7:优选法与试验设计初步。
选修4—8:统筹法与图论初步。
选修4—9:风险与决策。
选修4—10:开关电路与布尔代数。
2.重难点及考点:
重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数
难点:函数、圆锥曲线
高考相关考点:
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充
要条件
⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最
值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指
数函数、对数与对数函数、函数的应用
⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列
求和、数列的应用
⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、
倍、半公式、求值、化简、证明、三角函
数的图象与性质、三角函数的应用
⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、数量积
及其应用
⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式的证明、
不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位置关系、
线性规划、圆、直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥
曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线与平面、
平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项式定理
及其应用
⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、抽样、正
态分布
⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数:复数的概念与运算
必修1数学知识点
第一章:集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体
叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。
2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集
合相等。
3、常见集合:正整数集合:*
N或
+
N,整数集合:Z,有理数集合:Q,实数集合:R.
4、集合的表示方法:列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意
一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合
B的子集。记作B
A?.
2、如果集合B
A?,但存在元素B
x∈,且A
x?,则称集合A是集合B的真子集.记作:AB.
3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作:?.并规
定:空集合是任何集合的子集.
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4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n
2个子
集,21n
-个真子集.
§1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的
集合,称为集合A 与B 的并集.记作:B A . 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组
成的集合,称为A 与B 的交集.记作:B A . 3、全集、补集?{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念
1、 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应
关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数,记作:()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法:
(1)定义法:设2121],,[x x b a x x <∈、那么
],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断
格式:解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <,则:
()()21x f x f -=…
(2)导数法:设函数)(x f y =在某个区间可导,若
0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;
若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性
1、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域任意一个x ,
都有()()x f x f =-,那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.
2、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域任意一个x ,
都有()()x f x f -=-,那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识:函数与导数
1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义:
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在
))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方
程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数
①'
C 0=;②1
'
)(-=n n nx
x ; ③
x x cos )(sin '=; ④x x sin )(cos '-=;
⑤a a a x
x ln )('
=; ⑥x
x e e ='
)(; ⑦
a
x x a ln 1)(log '=
;⑧x x 1)(ln '
=
3、导数的运算法则 (1)'
v . (2)'
'
'
()uv u v uv =+.
(3)''
'2
()(0)u u v uv v v v
-=≠. 4、复合函数求导法则
复合函数(())y f g x =的导数和函数
(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=?,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义:
极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f <)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极大值;
极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f >)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极小值. (2)判别方法:
①如果在0x 附近的左侧)('x f >0,右侧)('x f <0,
0②如果在0x 附近的左侧)('x f <0,右侧)('x f >0,
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那么)(0x f 是极小值. 6、求函数的最值
(1)求()y f x =在(,)a b 的极值(极大或者极小值) (2)将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。
注:极值是在局部对函数值进行比较(局部性质);最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。
第二章:基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地,如果a x n
=,那么x 叫做a 的n 次方根。
其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时,a a n n =;
当n 为偶数时,a a n n
=. 3、 我们规定: ⑴m n m
n
a a
=
()
1,,,0*
>∈>m N
n m a ;
⑵()01
>=
-n a
a
n n
; 4、 运算性质:
⑴()Q s r a a
a a s
r s
r
∈>=+,,0;
⑵()
()Q s r a a a rs s
r
∈>=,,0;
⑶()()Q r b a b a ab r
r r
∈>>=,0,0.
§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象:()1,0≠>=a a a y x
2、性质:
§2.2.1、对数与对数运算
1、指数与对数互化式:log x
a a N x N =?=;
2、对数恒等式:log a N
a
N =.
3、基本性质:01log =a ,1log =a a .
4、运算性质:当0,0,1,0>>≠>N M a a 时: ⑴()N M MN a a a log log log +=; ⑵N M N M a a a log log log -=??
?
??; ⑶M n M a n
a log log =.
5、换底公式:a
b
b c c a log log log =
()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .
6、重要公式:log log n m
a a m
b b n
= 7、倒数关系:a
b b a log 1
log =
()1,0,1,0≠>≠>b b a a .
§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象:()1,0log ≠>=a a x y a
2、性质:
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象:
第三章:函数的应用
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§3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程()0=x f 有实根
?函数()x f y =的图象与x 轴有交点 ?函数()x f y =有零点. 2、 零点存在性定理:
如果函数()x f y =在区间[]b a , 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0
()x f y =在区间()b a ,有零点,即存在()b a c ,∈,使
得()0=c f ,这个c 也就是方程()0=x f 的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函数拟合,最后检验.
必修2数学知识点
第一章:空间几何体 1、空间几何体的结构
⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积;l r S ??=π2侧面
⑵圆锥侧面积:l r S ??=π侧面
⑶圆台侧面积:l R l r S ??+??=ππ侧面 ⑷体积公式:
h S V ?=柱体;h S V ?=
3
1
锥体; ()
h S S S S V 下下上上台体+?+=
3
1
⑸球的表面积和体积:
323
4
4R V R S ππ==球球,.
第二章:点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面,那么这条直线在此平面。
2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系:平行、相交、异面。
7、线面位置关系:直线在平面、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行:
⑴判定:平面外一条直线与此平面的一条直线平行, 则该直线与此平面平行(简称线线平行,则线面平行)。 ⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的
任一平面与此平面的交线与该直线平行(简称线面平行,则线线平行)。 10、面面平行:
⑴判定:一个平面的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简称线面平行,则面面平行)。 ⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(简称面面平行,则线线平行)。 11、线面垂直:
⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面的任意一条直
线,那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定:一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直,
则该直线与此平面垂直(简称线线垂直,则线面垂直)。
⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二
面角,就说这两个平面互相垂直。
⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这
两个平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直)。 ⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面垂直于交线
的直线垂直于另一个平面。(简称面面垂直,则线面垂直)。
第三章:直线与方程
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1、倾斜角与斜率:1
21
2tan x x y y --==α
2、直线方程:
⑴点斜式:()00x x k y y -=- ⑵斜截式:b kx y +=
⑶两点式:
121
121
y y y y x x x x --=-- ⑷截距式:
1x y
a b
+= ⑸一般式:0=++C By Ax
3、对于直线:
222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有:
⑴??
?≠=?2
12
121//b b k k l l ;
⑵1l 和2l 相交12k k ?≠;
⑶1l 和2l 重合???==?21
2
1b b k k ;
⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线:
:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有:
⑴???≠=?1
2211
22121//C B C B B A B A l l ;
⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?;
⑶1l 和2l 重合???==?122
11
221C B C B B A B A ;
⑷0212121=+?⊥B B A A l l .
5、两点间距离公式:
()()21221221y y x x P P -+-=
6、点到直线距离公式:
2
2
00B
A C
By Ax d +++=
7、两平行线间的距离公式:
1l :01=++C By Ax 与2l :02=++C By Ax 平行,
则2
2
21B
A C C d +-=
第四章:圆与方程 1、圆的方程:
⑴标准方程:()()2
2
2
r b y a x =-+-
其中圆心为(,)a b ,半径为r .
⑵一般方程:02
2
=++++F Ey Dx y x .
其中圆心为(,)22
D
E
-
-
,半径为r =
2、直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
0??>相离r d ;
0=???=相切r d ;
0>???<相交r d .
弦长公式:
222d r l -=
=3、两圆位置关系:21O O = ⑴外离:r R d +>; ⑵外切:r R d +=;
⑶相交:r R d r R +<<-; ⑷切:r R d -=; ⑸含:r R d -<.
3、空间中两点间距离公式:
()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=
必修3数学知识点
第一章:算法
1、算法三种语言:
自然语言、流程图、程序语言; 2、流程图中的图框:
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等
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所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 ③进位制
十进制数化为k 进制数—除k 取余法 k 进制数化为十进制数 第二章:统计 1、抽样方法:
①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显)
注意:在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本,
每个个体被抽到的机会(概率)均为N n
。
2、总体分布的估计: ⑴一表二图:
①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ⑵茎叶图:
①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据的分布,以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大书写,相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计:
⑴平均数:n
x x x x x n
++++= 321;
取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ,则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211;
注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差:一组样本数据n x x x ,,,21 方差:2
1
2)(1
∑=-=
n
i i
x x
n
s ;
标准差:2
1
)(1∑=-=
n
i i
x x
n
s
注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系
③线性回归方程:a bx y +=∧
(最小二乘法)
1
221n
i i i n
i
i x y nx y b x nx a y bx
==?
-?
?=??-??=-??∑∑ 注意:线性回归直线经过定点),(y x 。
第三章:概率
1、随机事件及其概率: ⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母表示;
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点; ⑶随机事件A 的概率:1)(0,)(≤≤=
A P n
m
A P . 2、古典概型:
⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵古典概型的特点:
①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事件共有n 个,事件A 包含了其中的m 个基本事件,则事件A 发生的概率n
m
A P =
)(. 3、几何概型:
⑴几何概型的特点:
①所有的基本事件是无限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式:的测度
的测度
D d A P =
)(;
其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件:
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件;
⑵如果事件n A A A ,,,21 任意两个都是互斥事件,则称事件n A A A ,,,21 彼此互斥。
⑶如果事件A ,B 互斥,那么事件A+B 发生的概率,等于事件A ,B 发生的概率的和,
即:)()()(B P A P B A P +=+
⑷如果事件n A A A ,,,21 彼此互斥,则有: )()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称这两个事件为对立事件。 ①事件A 的对立事件记作A
)(1)(,1)()(A P A P A P A P -==+
②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事件。
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