2004研究生数学二真题及详解

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考硕数学（二）真题

一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）

（1）设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? .

n??nx2?13??x?t?3t?1（2）设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值

3??y?t?3t?1范围为____..

（3）

?1??dxxx?12?_____..

?z?z??______. ?x?y（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则3（5）微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足y?x?16的特解为_______. 5?210???（6）设矩阵A??120?, 矩阵B满足ABA??2BA??E, 其中A?为A的伴随矩

?001???阵, E是单位矩阵, 则B?______-.

二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把x?0时的无穷小量????0xcostdt, ???0tantdt, ???2x2x0sint3dt排

列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

（A）?,?,?. （B）?,?,?.

（C）?,?,?. （D）?,?,?. （8）设f(x)?x(1?x), 则

（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点.

（9）limlnn(1?)(1?)n??1n22n2n(1?)2等于

n21（A）（C）2?12ln2xdx. （B）2?lnxdx.

22?1ln(1?x)dx. （D）?1ln2(1?x)dx ??

（10）设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得

（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减小. （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).

（D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0). （11）微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为

（A）y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx). （B）y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). （C）y??ax2?bx?c?Asinx.

（D）y??ax2?bx?c?Acosx （12）设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x?y?2y, 则

1?x2??

?22???f(xy)dxdy等于

D（A）

??1dx??1?x?0dy?0?212f(xy)dy. f(xy)dx.

（B）2（C）（D）

2y?y2?0d??2sin?02sin?0f(r2sin?cos?)dr.

f(r2sin?cos?)rdr

?0?d????

（13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为

?010??010?????（A）?100?. （B）?101?.

?101??001??????010??011?????（C）?100?. （D）?100?.

?011??001?????（14）设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有

（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.

三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

（15）（本题满分10分）

1求极限lim3x?0x

??2?cosx?x?????1?.

3??????（16）（本题满分10分）

设函数f(x)在（??,??）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都满足f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.

(Ⅰ)写出f(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导.

（17）（本题满分11分）设f(x)?

（18）（本题满分12分）

?xx??2sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以?为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域.

ex?e?x曲线y?与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x2轴旋转一周得一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).

(Ⅰ)求

S(t)S(t)的值; (Ⅱ)计算极限lim.

t???V(t)F(t)22（19）（本题满分12分）设e?a?b?e2, 证明lnb?lna?4(b?a). e2

（20）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为

700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

注 kg表示千克,km/h表示千米/小时.

（21）（本题满分10分）设z?f(x2?y2,exy),其中f具有连续二阶偏导数,求

?z?z?2z. ,,?x?y?x?y

（22）（本题满分9分）设有齐次线性方程组

?(1?a)x1?x2?x3?x4?0,?2x?(2?a)x?2x?2x?0,?1234 ?3x?3x?(3?a)x?3x?0,234?1??4x1?4x2?4x3?(4?a)x4?0,试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.

（23）（本题满分9分）

?12?3???设矩阵??14?3?的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角

?1a5???化.

全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一. 填空题

（1）0 .

【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得出f(x)的表达式, 再讨论f(x)的间断点.

【详解】显然当x?0时,f(x)?0;

1(1?)x(n?1)xn?x?1, 当x?0时, f(x)?lim?lim2n??nx2?1n??1xx2x?n?0,x?0?所以 f(x)??1,

,x?0??x因为 limf(x)?limx?01???f(0) x?0x故 x?0为f(x)的间断点.

（2）（??，1）（或（-?，1]）.

?x?x(t)【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ?

y?y(t)?d2yd2yy??(t)x?(t)?x??(t)y?(t)定义的求出二阶导数,再由 2?0 确定x的取值范围. ?23dxdx(x?(t))dydy3t2?3t2?12dt【详解】 , ??2?2?1?2dxdx3t?3t?1t?1dtd2yd?dy?dt?2??14t??1??? , ????dx2dt?dx?dx?t2?1?3(t2?1)3(t2?1)3d2y?0 ? t?0. 令 2dx3又 x?t?3t?1 单调增, 在 t?0时, x?(??,1)。(

t?0时，x?1?x?(??,1]时，

曲线凸.)

（3

?2.

【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值. 【详解1】

?1?1.

??sect?tant?x?sect?2dt??2dt?.

0sect?tant02xx2?1dxdxxx?12??【详解2】

??x?1t?101t11?1(?2)dt??dt?arcsint0?.

02t11?t2?1t2（4）

2【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 【详解1】在 z?e2x?3z?2y 的两边分别对x,y求偏导,z为x,y的函数.

?z?z?e2x?3z(2?3), ?x?x

?z?z?e2x?3z(?3)?2, ?y?y?z2e2x?3z?从而 , ?x1?3e2x?3z

?z2? 2x?3z?y1?3e?z?z1?e2x?3z所以 3??2??2

?x?y1?3e2x?3z【详解2】令 F(x,y,z)?e则

2x?3z?2y?z?0

?F?F?F?e2x?3z?2, ?e2x?3z(?3)?1 ?2, ?x?z?y?F2x?3z2x?3z?ze?22e???x??? ?,

?F?x?(1?3e2x?3z)1?3e2x?3z?z?F?z22???y??? ,

?F?y?(1?3e2x?3z)1?3e2x?3z?z?3e2x?3z?z?z1从而 3??2??2x?3z?x?y1?3e2x?3z?1?3e【详解3】利用全微分公式,得

???2 ?dz?e2x?3z(2dx?3dz)?2dy

?2e2x?3zdx?2dy?3e2x?3zdz (1?3e2x?3z)dz?2e2x?3zdx?2dy

2e2x?3z2dx?dy ?dz?2x?3z2x?3z1?3e1?3e?z2e2x?3z?z2?? 即 , ?x1?3e2x?3z?y1?3e2x?3z 从而 3?z?z??2 ?x?y.

（5）

y?13x?x5【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.

【详解1】原方程变形为先求齐次方程

dy11?y?x2, dx2x2dy1?y?0 的通解: dx2x

dy1?dx y2x1lnx?lnc ?y?cx 2积分得 lny?设y?c(x)x为非齐次方程的通解,代入方程得 c?(x)x?c(x)12x?11c(x)x?x2 2x213从而 c?(x)?x2,

25131积分得 c(x)??x2dx?C?x2?C,

25于是非齐次方程的通解为

1513 y?x(x2?C)?Cx?x

556?C?1, 513故所求通解为 y?x?x.

5dy11?y?x2, 【详解2】原方程变形为

dx2x2 y?x?1由一阶线性方程通解公式得

11dx?1??dx??2 y?e2x??xe2xdx?C?

?2?1lnx2lnx?12?1?2xedx?C??? 2?? ?e5?13???1 ?x??x2dx?C??x?x2?C?

?2??5?6?C?1, 513从而所求的解为 y?x?x.

5 y(1)?（6）

19.

【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值. 【详解1】 ABA?2BA?E ? ????ABA?2B?A?, E(A?2E)BA??E,

? ?A?2EBA?E?1,

B?1111. ???2?010(?1)?(?1)39A?2EA2100A00?1【详解2】由A??AA?1,得 ABA??2BA??E ? ? ?B??ABAA?1?2BAA?1?AA?1

AAB?2AB?A A(A?2E)B?A ?1AA?2E2A3A?2EB?A

?1 9二. 选择题（7）

?B?

【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.

【详解】

x?0lim???lim?x?0???x0x0sint3dt

2costdt1sinx? ?lim?x?0322x cosx2 ?lim?x?0xx?lim?0, ?x?022x32即 ??o(?).

??lim又 limx?0?x?0??x20?tanx?2x2x2?lim?lim?0, 3xx?0?x?0?131xsinx2??0sintdt22xtantdt即 ??o(?).

?、?, 故选（B）. 从而按要求排列的顺序为?、（8）?C?

【分析】求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论x?0两方f?(x), f??(x)的符号.

【详解】 f(x)????x(1?x),?1?x?0,

0?x?1?x(1?x),??1?2x,?1?x?0,

0?x?1?1?2x,?1?x?0,

0?x?1 f?(x)???2,?? f(x)????2,从而?1?x?0时, f(x)凹, 1?x?0时, f(x)凸, 于是(0,0)为拐点.

1时, f(x)?0, 从而x?0为极小值点. 又f(0)?0, x?0、所以, x?0是极值点, (0,0)是曲线y?f(x)的拐点, 故选（C）.

（9）?B?

【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正确的.

【详解】 limlnn(1?)(1?)n??1n22n2n(1?)2

n2nn(1?)?

n?2?n ?limln?(1?)(1?)n????1n ?lim2?12ln(1?)?ln(1?)?n??n?nn?n??(1?)?

n? ?lim2n??i1ln(1?) ?nni?1n ?2?0ln(1?x)dx

?1lntdt

21 1?x?t2 ?2故选（B）.

（10）?C2?1lnxdx

【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数f(x)在x?0附近的局部性质. 【详解】由导数的定义知

f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?0,

x?0由极限的性质, ???0, 使x??时, 有

f(x)?f(0)?0

x即??x?0时, f(x)?f(0)，

0时, f(x)?f(0), ???x?故选（C）.

（11）?A?

【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式. 【详解】对应齐次方程 y???y?0 的特征方程为 ??1?0, 特征根为 ???i,

对 y???y?x2?1?e0(x2?1) 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为

? y1?ax2?bx?c

2对 y???y?sinx?Im(eix), 因i为特征根, 从而其特解形式可设为

? y2?x(Asinx?Bcosx)

从而 y???y?x2?1?sinx 的特解形式可设为 y?ax?bx?c?x(Asinx?Bcosx)

（12）?D?2?

【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.

【详解】积分区域见图. 在直角坐标系下,

y21?(y?1)22??f(xy)dxdy??0dy??1?(y?1)Df(xy)dx

2??11o1x ???1dx?1?1?x11?1?x22f(xy)dy

故应排除（A）、（B）.

?x?rcos?在极坐标系下, ? ,

y?rsin??

??Df(xy)dxdy??d??0?2sin?0f(r2sin?cos?)rdr,

故应选（D）.

（13）

?D?

【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.

?010??100?????【详解】由题意 B?A?100?, C?B?011?,

?001??001??????010??100??011??????? ?C?A?100??011??A?100??AQ,

?001??001??001????????011???从而 Q??100?,故选（D）.

?001???（14）?A?

【分析】将A写成行矩阵, 可讨论A列向量组的线性相关性.将B写成列矩阵, 可讨论

B行向量组的线性相关性.

【详解】设 A?(aij)l?m,B?(bij)m?n, 记 A??A1A2Am?

?b11b12?bb22Am??21?????b?m1bm2bn1??bn2? ???bmn??AB?0 ? ?A1A2 ??b11A1??bm1Amb1nA1??bmnAm??0 （1）

由于B?0, 所以至少有一 bij?0(1?i?m,1?j?n), 从而由（1）知, b1jA1?b2jA2?于是 A1,A2,?bijAi??bm1Am?0,

,Am线性相关.

?B1???B2?又记 B??,

????B???m??a11a12?a21a22? ?????al1al2?am1??B1??a11B1?a1B2?2?amB1m????am2??B2??a21B1?a2B2?2?amB2m?????0

??????????B????al1B1?alB?alm???aB22lmm???m??则AB?0 ?由于A?0,则至少存在一 aij?0(1?i?l,1?j?m),使 ai1B1?ai2B2?aijBj?从而 B1,B2,故应选（A）. 三. 解答题

（15）【分析】此极限属于

?aimBm?0,

,Bm线性相关,

0型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解. 0【详解1】原式?limx?0e?2?cosx?xln??3???1x3

?2?cosx?ln??3??

?limx?0x2ln（2?cosx）?ln3

x?0x21（??sinx）2?cosx ?lim x?02x11sinx1??? ??lim2x?02?cosxx6 ?lim【详解2】原式?limx?0e?2?cosx?xln??3???1x3

?2?cosx?ln??3??

?lim2x?0xcosx?1）3 ?lim 2x?0xcosx?11?? ?lim

x?03x26ln（1?

（16）【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(Ⅰ)当?2?x?0,即0?x?2?2时,

f(x)?kf(x?2)?k(x?2)[(x?2)2?4]?kx(x?2)(x?4). (Ⅱ)由题设知 f(0)?0.

f(x)?f(0)x(x2?4)?(0)?lim? f??lim???4

x?0x?0x?0x?(0)?lim? f?x?0f(x)?f(0)kx(x?2)(x?4)?lim??8k. x?0x?0x令f??(0)?f??(0), 得k??即当k??1. 21时, f(x)在x?0处可导. 2（17）【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.

【详解】 (Ⅰ) f(x??)?设t?u??, 则有

f(x??)??x??x?3?2sintdt,

?xx??2sin(u??)du??x?x?2sinudu?f(x),

故f(x)是以?为周期的周期函数.

(Ⅱ)因为sinx在(??,??)上连续且周期为?, 故只需在[0,?]上讨论其值域. 因为 f?(x)?sin(x??2)?sinx?cosx?sinx,

令f?(x)?0, 得x1??4, x2?3?, 且 43?445?5? f(?4)???sitnd?t, 2

?3?4f()??3?sintdt??3?sintdt??4sintdt?2?2, ?444?又 f(0)??02sintdt?1, f(?)??3?2?(?sint)dt?1,

?f(x)的最小值是2?2, 最大值是2, 故f(x)的值域是[2?2,2].

（18）【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是t的函数,然后计算它们之间的关系.

【详解】 (Ⅰ)S(t)??0t2?y1?y?2dx

t?ex?e?x?e2x?2?e?2xdx ?2????1?024???ex?e?x? ?2????dx, 02??t2?ex?e?x?2 V(t)???ydx?????dx, 002??tt2 ?S(t)?2. V(t)2x?t(Ⅱ)F(t)??y?et?e?t?????,

?2?t22?ex?e?x?2????dx02S(t)?? lim ?limt???F(t)t???t?t2?e?e????2???et?e?t?2??2?? ?lim ?tt?tt????t???e?ee?e2?????2??2?2

（19）【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.

【详证1】设?(x)?lnx?4x, 则 2elnx4??(x)?2?2

xe1?lnx ???(x)?22,

x2所以当x?e时, ???(x)?0, 故??(x)单调减小, 从而当e?x?e时, ??(x)???(e)?即当e?x?e时, ?(x)单调增加.

因此, 当e?a?b?e时, ?(b)??(a), 即 lnb?222244??0, e2e2442b?lna?a 22ee422故 lnb?lna?2(b?a).

e422【详证2】设?(x)?lnx?lna?2(x?a), 则

elnx4??(x)?2?2

xe1?lnx ???(x)?22,

x2?x?e时, ???(x)?0???(x)2, 从而当e?x?e时,

2 ??(x)???(e)?44?2?0, 2ee?e?x?e2时, ?(x)单调增加.

?e?a?b?e2时, ?(x)??(a)?0。令x?b有?(b)?0

即 lnb?lna?

【详证3】证对函数lnx在[a,b]上应用拉格朗日定理, 得 lnb?lna?222224(b?a). 2e2ln??(b?a), a???b.

设?(t)?lnt1?lnt, 则??(t)?, tt2当t?e时, ??(t)?0, 所以?(t)单调减小, 从而?(?)??(e2), 即

lne22 ?2?2,

?eeln?故 lnb?lna?224(b?a) 2e（20）【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.

【详解1】由题设,飞机的质量m?9000kg,着陆时的水平速度v0?700km/h.从飞机接触跑道开始记时,设t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t).

根据牛顿第二定律,得

dv??kv. dtdvdvdxdv???v, 又

dtdxdtdxm ?dx??dv,

km积分得 x(t)??v?C,

km由于v(0)?v0,x(0)?0, 故得C?v0, 从而

km x(t)?(v0?v(t)).

k m当v(t)?0时, x(t)?mv09000?700??1.05(km). k6.0?106所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.

【详解2】根据牛顿第二定律,得

dv??kv. dtdvk??dt, 所以 vm m两边积分得 v?Ce?ktm,

代入初始条件 vt?0?v0, 得C?v0,

k?tm ?v(t)?v0e故飞机滑行的最长距离为 x?

?????0ktmv0?mv(t)dt??ek?0mv0?1.05(km). k【详解3】根据牛顿第二定律,得

d2xdx m2??k,

dtdtd2xkdx??0, dt2mdt其特征方程为 r?解得r1?0, r2??2kr?0, mk， mk?tm故 x?C1?C2e，

dx由x(0)?0, v(0)?dtt?0ktkC2?m??em?v0，得C1??C2?t?0mv0， kk?tmv0?x(t)?(1?em).

k当t???时,

x(t)?mv09000?700??1.05(km). 6k6.0?10所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.

（21）【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算. 【详解】

?z?2xf1??yexyf2?, ?x

?z??2yf1??xexyf2?, ?y?2zxy??(2y?)???2x[ff11??1?2xe?]?x?yxye??2fxy?ye???? ]xxy?exy[2ff2yf1?(?2y)?22?xe???2(x2?y2)exyf12????xye2xyf22???exy(1?xy)f2?. ??4xyf11（22）【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.

【详解1】对方程组的系数矩阵A作初等行变换, 有

?1?a?2 ??3??4?12?a34123?a41?1a11?1?????2??a2a00????B ???3?a30a0?????a4??4a?00a???当a?0时, r(A)?1?4, 故方程组有非零解, 其同解方程组为 x1?x2?x3?x4?0. 由此得基础解系为

?1?(?1,1,0,0)T, ?2?(?1,0,1,0)T, ?3?(?1,0,0,1)T, 于是所求方程组的通解为

x?k1?1?k2?2?k3?3, 其中k1,k2,k3为任意常数. 当a?0时,

?1?a??2 B????3???4?110010101??a?10??0??2????30?????41???010000100??0? 0??1??当a??10时, r(A)?3?4, 故方程组也有非零解, 其同解方程组为

??2x1?x2?0,? ??3x1?x3?0,

??4x?x?0,?14由此得基础解系为

??(1,2,3,4), 所以所求方程组的通解为

x?k?, 其中k为任意常数.

【详解2】方程组的系数行列式

T111??1?a??22?a22??(a?10)a3. A???333?a3????4?444?a??当A?0, 即a?0或a??10时, 方程组有非零解. 当a?0时, 对系数矩阵A作初等行变换, 有

?1?2A???3??4?故方程组的同解方程组为