立体几何（几何法）—线面角

立体几何（几何法）—线面角

例1（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面

PABCD，AC?22，PA?2，E是PC上的一点，PE?2EC。

（Ⅰ）证明：PC?平面BED；

（Ⅱ）设二面角A?PB?C为90，求PD与平面PBC所成角的大小。

【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所

C?EBAD以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22， PA＝2，PE＝2EC，故

23

PC＝23，EC＝3，FC＝2， PCAC

从而FC＝6，EC＝6.

PCAC

因为FC＝EC，∠FCE＝∠PCA，所以 △FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝PA2＋AD2＝22.

设D到平面PBC的距离为d.

因为AD∥BC，且AD?平面PBC，BC?平面PBC，故AD∥平面PBC，AD两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝2.

d1

设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝PD＝2. 所以PD与平面PBC所成的角为30°.

方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.

?422?设C(22，0,0)，D(2，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E?，0，3?，B(2，

?3?－b,0)．

22?→?22?→＝(22，→＝?→·→?，b，?，于是PC0，－2)，BEDE＝?，－b，?，从而PCBE

3?3??3?3＝0，

→·→＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.

PCDE又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE. →＝(0,0,2)，AB→＝(2，－b,0)． (2)AP

→＝0，·→＝0，

设＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则·APAB即2z＝0且2x－by＝0， 令x＝b，则＝(b，2，0)．

设＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则 →＝0，·→＝0， ·PCBE

2p2

即22p－2r＝0且3＋bq＋3r＝0，

2??2

令p＝1，则r＝2，q＝－b，＝?1，－，2?.

b??

2

因为面PAB⊥面PBC，故·＝0，即b－b＝0，故b＝2，于是＝(1，－1，2)，→＝(－2，－2，2)， DP

→1n·DP→〉＝cos〈，DP＝2， →|n||DP|→〉＝60°〈，DP.

→〉互余， 因为PD与平面PBC所成的角和〈，DP

故PD与平面PBC所成的角为30°.

例2（2012高考天津文科17）（本小题满分13分）

如图1－4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝23，PD＝CD＝2.

(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值； (2)证明平面PDC⊥平面ABCD；

(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

图1－4

【答案】解：(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，

所以AD＝BC且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．

PD

在Rt△PDA中，tan∠PAD＝AD＝2.

所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.

(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD?平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.

(3)在平面PDC内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB. 由于平面PDC⊥平面ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，

故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角．

在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝23，可得∠PCD＝30°. 在Rt△PEC中，PE＝PCsin30°＝3.

由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC. 在Rt△PCB中，PB＝PC2＋BC2＝13. PE39在Rt△PEB中，sin∠PBE＝PB＝13. 39

所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为13. 例3（2012高考浙江文20）（本题满分15分）如图1－5，在侧棱垂直底面的四棱

柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．

(1)证明：(i)EF∥A1D1； (ii)BA1⊥平面B1C1EF；

(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．

图1－5

【答案】解：(1)证明：(ⅰ)因为C1B1∥A1D1，C1B1?平面A1D1DA，所以C1B1∥平面A1D1DA，

又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF， 所以C1B1∥EF， 所以A1D1∥EF.

(ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1， 所以BB1⊥B1C1. 又因为B1C1⊥B1A1， 所以B1C1⊥平面ABB1A1， 所以B1C1⊥BA1.

2

在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝2，

即∠A1B1F＝∠AA1B， 故BA1⊥B1F，

所以BA1⊥平面B1C1EF.

(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.

由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角． 在矩形AA1B1B中，AB＝2，AA1＝2，得BH＝在直角△BHC1中，BC1＝25，BH＝BH30

sin∠BC1H＝BC＝15，

1

30

所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是15.

4. 6

4

，得 6

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