第3章 一元函数微分学

32 第三章 一元函数微分学

§3.1 基本概念与主要结果

例1 设)(x f 定义在()+∞,0上且在1=x 处可导, 对任意0,>y x 有()()()y xf x yf xy f +=, 证明 )(x f 在()+∞,0上处处可导, 并求)('x f 与)(x f .

证明 令1==y x ，得)1(f =2)1(f ,)1(f =0, 当0>x 时有

()()=-+h x f h x f ()=-????????? ??+h x f x h x f 1.1()()()=--??? ??++??? ??+h xf x f x h xf x f x h 111()+x

x f ()x

h

f x h f 11-??? ??+,于是)('x f ()()=-+=←h x f h x f x 0lim ()()1'f x x f +. 下面解微分方程

()1'f x y dx dy += （1）.令x y u =，即ux y =，有u dx du x dx dy +=，代入（1）式化简得()x

f dx du 1'=，即()Cx x x f u +=ln 1'.令1=x ,得0=C ,故()()x x f x f ln 1'=,()()).ln 1(1''x f x f +=

例2 设)(x f 在[]b a ,上可导, ()()0==b f a f , 导数)('a f 与)('b f 存在且)('a f .0)('>b f . 证明 存在()b a c ,∈使得()0=c f .

证明 不妨设0)('>a f ,0)('>b f ,由于()()=--+←a

x a f x f a x lim 0)('>a f ,存在01>δ,当()11,δ+∈a a x 时， ()()011>--a

x a f x f 由01>-a x 得()()01=>a f x f . 又由()()=---←b x b f x f b x lim 0)('>b f ,存在02>δ,当()b b x ,22δ-∈时, ()()022>--b x b f x f ,从而()()02=

例3设)(x f 在(,)-∞+∞上二阶导数连续，且0)0(=f ，定义函数()()?????≠==0,0,0')(x x

x f x f x g ,

证明 )(x g 在(,)-∞+∞上有一阶连续的导函数.

证明 显然当0≠x 时, )(x g 是连续的,又 ()()()()()0'0

0lim lim lim 000f x f x f x x f x g x x x =--==←←→()0g =,故)(x g 在(,)-∞+∞上连续. 由导数的定义,

()()()=--=←00lim 0'0x g x g g x ()()=-←x

f x x f x 0'lim 0()()=-←200'lim x xf x f x ()()().20''20''lim 0f x f x f x =-←

33

因此)(x g 在0=x 处可导,从而)(x g 在(,)-∞+∞上处处可导.

当0≠x 时, ()=x g ',

()()2

'x

x f x xf -, 由于()=→x g x 'lim 0()()20'lim x

x f x xf x -→()x x xf x 2''lim 0→=()2''lim 0x f x →=()20''f =()0'g =. 因此)('x g 在0=x 处连续, 从而)('x g 在(,)-∞+∞上处处连续.

例4 设)(x f 在[]b a ,上可导，证明)('x f 具有介值性即[]b a x x ,,21∈?（不妨设21x x <）及介 于)('1x f 与)('2x f 之间的任意值μ，存在()21,x x ∈ξ使得μξ=)('f .

证明 不妨设()21')('x f x f <<μ，令()x x f x F μ-=)(.则)(x F 在[]b a ,上连续且()μ-=)(''x f x F .由连续函数的最值定理,)(x F 在[]b a ,上有最小值, 设最小值点为ξ.由于

()0)(''11<-=μx f x F ,故存在],[21x x x ∈使

()()

01

1<--x x x F x F ,从而()()()ξF x F x F ≥>1,即

ξ≠1x ,类似可证ξ≠2x .由Fermat 定理(极值的必要条件), 0)('=ξF ,即μξ=)('f . 注 此结论称为达布定理, 也称为导数的介值性定理.

推论 若)(x f 在()b a ,内处处可导, 则)('x f 不能有第一类间断点,即具有第一类间断点的函

数不存在原函数.

证明 因)(x f 在()b a ,内处处可导, 所以对任意()b a x ,0∈,当0x x >时, )(x f 在],[0x x 上满足拉格朗日中值定理的条件, 故存在()x x ,0∈ξ, 使得

()()

()ξ'0

0f x x x f x f =--.又x x <<ξ0,

故+→0x x 时有+→0x ξ,于是有()()()()=--==+

→+0

00'0lim

'x x x f x f x f x f m

x x ()()0''lim 00+=+

→x f f x ξξ,这说明)('x f 在0x 处有右极限时必有()=0'x f ()()0''lim 00

+=+

→x f f x ξξ,同理可证若)('x f 在0

x 处有左极限时有()=0'x f ()()0''lim 00

-=-

→x f f x ξξ.所以在()b a ,内任意一点0x 处除非至少有一

侧)('x f 无极限（这时0x 为)('x f 的第二类间断点），否则)('x f 在此处连续即.

()=-0'0x f ()=0'x f ()0'0+x f .

例5 设)(x f 在()b a ,内可导且()0'+a f ()x f a

x 'lim +→=存在.

证明 (1) ()0+a f ()x f a

x +

→=lim 存在； (2) 若补充定义()a f ()x f a

x +

→=lim ,则右导数()a f '+存在且()=+a f '()0'+a f . 证明 (1) 设()0'+a f ()l x f a

x ==+→'lim , 由极限的局部有界性, 存在01>δ,当()

1,δ+∈a a x

34

时，()1'<-l x f ,由此得()l x f +<1'.0>?ε, ??

??

??????+=?l 1,min 1εδδ,当()

δ+∈a a x x ,,21时,由拉格朗日中值定理, ()()()()εδξ<+<-=-l x x f x f x f 1'2121其中ξ介于21,x x 之间.由柯西收敛准则, ()0+a f ()x f a

x +

→=lim 存在. (2) 补充定义()a f ()x f a

x +→=l i m ,当()b a x ,∈时,由拉格朗日中值定理,

()()()()a x f a f x f -=-ξ',其中ξ介于x a ,之间,当+→a x 时有+→a ξ且

()()()=--=+

→+a

x a f x f a f a

x lim '()()0''lim +=+

→a f f a ξξ. 推论 若)(x f 在()b a ,内可导且()0'+a f ,()a f '+都存在, 则()=+a f '()0'+a f .

例6 设)(x f 在[]b a ,上连续, ()()b f a f =,且在()b a ,内有连续的右导数

)('x f +()()h

x f h x f x -+=+

←0lim ()b x a <<，试证存在()b a ,∈ξ使()0'=+ξf . 证明 （1）若≡)(x f 常数,则0)('≡+x f ,结论显然.

(2)若)(x f 不恒为常数,则只需证()b a ,,∈?βα分别有()0'≤+αf ，()0'≥+βf 则由

)('x f +的连续性，便知结论成立.事实上,由)(x f 在[]b a ,上连续,故在[]b a ,上必有最大最小值,而()()b f a f =,因此最值至少有一个在内部达到.设()b a ,∈α为)(x f 的最大值点（内部为

最小值点类似讨论）,于是()α'+f ()()0lim ≤--=+←α

αεx f x f x .任取一点()α,a c ∈,因)(x f 在[]α,c 上连续,)(x f 在[]α,c 上必有一点αβ<达到了最小值,于是()β'+f ()()0lim ≥--=+←βββx f x f x ,故我们的目的达到了.

35

§3.2 微分中值定理及其应用

例1 设)(x f 在[]b a ,上可导,()()0==b f a f , 导数)('a f 与)('b f 存在且)('a f .0)('>b f . 证明方程()0'=x f 在()b a ,内至少有两个根.

证明 由§3.1中例2的结论知存在()b a c ,∈使得()0=c f .在[]c a ,,[]b c ,上分别使用罗尔定理，()c a ,1∈?ξ与()b c ,2∈ξ使得()()0''21==ξξf f ,从而结论得证.

例2 设)(x f 在[]b a ,上非负且三阶可导, 方程()0=x f 在()b a ,内有两个不同的实根 证明存在()b a ,∈ξ使得()0'''=ξf .

证明 设函数)(x f 在()b a ,内两个不同的实根为21x x <且()()021==x f x f .由罗尔定理, ()21,x x c ∈?使得()0'=c f (1).又()0≥x f ,从而21,x x 为f (x )的极小值点,由Fermat 定理,

()()0''21==x f x f (2).对)('x f 在[]c x ,1,[]2,x c 上用罗尔定理,则()c x x ,13∈?,()

24,x c x ∈?使得()()0''''43==x f x f .再对)(''x f 在[]43,x x 上用罗尔定理,存在()()b a x x ,,43?∈ξ使

()0'''=ξf .

例3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导, 过点()()a f a A ,与点()()b f b B ,的直线与曲线()x f y =于 点()()c f c C ,，其中b c a <<.

证明存在()b a ,∈ξ,使得()0''=ξf .

证明 由条件对)(x f 在[]c a ,,[]b c ,上分别使用拉格朗日中值定理，()c a ,1∈?ξ与()b c ,2∈ξ使

得()()()AC k c

a c f a f f =--=

1'ξ,()()()CB k b c b f c f f =--=2'ξ,由于C B A ,,三点共线,故对)

('x f 在[]b a ,上应用罗尔定理, 存在一点()()b a ,,21?∈ξξξ,使()0''=ξf .

例4 设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()0==b f a f . 试证对任意的()+∞∞-∈,α,存在()b a ,∈ξ,使得()()ξαξf f ='.

注 由()()ξαξf f =',可得()()0'=-ξαξf f ，即ξ为()()0'=-x f x f α的零点.又

()[]=-'x

e x

f α()x

e

x f α-'()x e x f αα--,令()()x e x f x F α-=,检验罗尔定理的条件,这是显然的.

例5 若)(x f , )(x g 在[]b a ,上可导且0)('=x g ,则存在()b a ,∈ξ,使得()()()()()()

ξξξξ''g f b g g f a f =

--.

证明 构造函数()()()()()()()x f b g x g a f x g x f x F --=,检验罗尔定理的条件,这是显然的.

例6 设)(x f , )(x g 在[]b a ,上可导,且[]b a x x ,,21∈?,21x x ≠,有()()021==x f x f . 证明存在()b a ,∈ξ,使()()()0''=+ξξξg f f .

证明 构造函数()()()x g e x f x F =,检验罗尔定理的条件,这是显然的.

例7 设)(x f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,()00=f ,且对任意()1,0∈x 都有()0≠x f 。

证明对任意自然数n ,存在()1,0∈ξ,使得()()()()ξξξξ--=11''f f f nf . 证明 方法 1 构造函数()()()x f x f

x F n

-=1,显然)(x F 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,且

36 ()()()()x f x f x nf x F n -=-1''1()()x f x f n --1'.

又()00=f ,知()()()0100==f f F n ,()()()0011==f f F n .由罗尔定理,存在()1,0∈ξ,使得

()0'=ξF ,即()()()ξξξ--1'1f f nf n ()()01'=--ξξf f

n .因为()0≠ξf ,所以()()ξξ-1'f nf ()()ξξ-=1'f f .因此()()()()

ξξξξ--=11''f f f nf . 方法2 由于当()1,0∈x 时,()0≠x f .故)(x f 在()1,0内不变号.不妨设)(x f 在()1,0内恒正.

令()()()x f x f n x F -+=1ln ln .显然()()-∞==-+→→x F x F x x 10lim lim ,故存在12

10<<<

? ??<21,F b F a F .由最值定理,存在()b a ,∈ξ,使得()()x F F b x a ≤≤=max ξ.所以由Fermat 定理, ()()()()()ξξξξξ---==11'''0f f f f n F ,即得()()()()

ξξξξ--=11''f f f nf .

注 设()b a ,为有限或无穷区间,)(x f 在()b a ,内可微,且()=+→x f a x lim ()A x f b x =-→lim (有限或∞±). 则存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξf .

证明 (1)若()A x f ≡(有限数),则对任意()b a x ,∈,()0'≡x f .

(2) 若存在()b a x ,0∈使()A x f ≠0.不妨设()A x f >0(()A x f <0可类似证明).因()=+→x f a x lim ()A x f b

x =-→lim ,由)(x f 在()b a ,内连续,对任意取定的数μ（()0x f A <<μ），存在()01,x a x ∈,()b x x ,02∈,使()21)(x f x f ==μ.由罗尔定理,存在()()b a x x ,,21?∈ξ使得()0'=ξf .若())(∞-+∞=≡或A x f ,则()b a ,内任取一点0x 上面推理保持有效.

例8 设)(x f 在[]b a ,()0>a 上连续,在()b a ,内可导.

证明存在()b a ,∈ξ,使得()()()a b f a f b f ln

'ξξ=-. 证明 令()()k a

b a f b f =--ln ln ,则()()a k a f b k b f ln ln -=-.构造函数()()x k x f x F ln -=,由条件易知)(x F 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导且()()b F a F =.由罗尔定理,存在()b a ,∈ξ,使得

()0'=ξF ,即()k f =ξξ'，故()()()a

b f a f b f ln 'ξξ=-.

练习 设)(x f 在[]b a ,()0>a 上连续,在()b a ,内可导.

证明存在()b a ,∈ξ,使得

()()()()ξξξ'f f a

b a af b bf +=--. 提示 方法一 构造函数()()x xf x F =,利用拉格朗日中值定理. 方法二 构造函数()()kx x xf x F -=,利用罗尔定理.

37 例9 设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导()0>ab .

证明存在()b a ,∈ξ,使得

()()()()ξξξ'f f a b b af a bf -=--. 证明 方法一 令()()k a b b af a bf =--,则()=-a k a f ()b

k b f -.构造函数()()x k x f x F -=,由条件易知)(x F 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导且()()b F a F =.由罗尔定理,存在()b a ,∈ξ,使得()0'=ξF ,即()()k f f =-ξξξ',故()()()()ξξξ'f f a

b b af a bf -=--. 方法二 利用柯西中值定理. 令(),1x x g =

()()x x f x h =,因0>ab ,知[]b a ,0?，从而()x g ,()x h 在()b a ,内可导,且()[]+2'x g ()[]0'2≠x h ,()()b g a g ≠.故()x g ,()x h 满足柯西中值

定理的条件, ()()()()()()ξξξξ

ξξξξ'1'1122f f f f a b a a f b

b f -=--=--.

例10 设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导()b a <<0.

证明存在()b a ,,∈ηξ,使得()()ηη

ξ'2'f b a f += 证明 由拉格朗日中值定理,()b a ,∈?ξ, 使得

()()()=--=a b a f b f f ξ'()()()2

2.a b a f b f a b --+ （1）. 令()2x x g =,则)(x f ,()x g 在()b a ,内可导,且()[]+2'x f ()[]0'2≠x g ()b a <<0,()()b g a g ≠.故()x g ,()x h 满足柯西中值定理的条件, ()b a ,∈?η, 使得

()()()ηη2'22f a b a f b f =-- （2）.由(1)(2)立得()()ηη

ξ'2'f b a f +=.

例11 设)(x f 定义在[]c ,0,)('x f 存在且单调递减,()00=f .试证对于c b a b a ≤+≤≤≤0,恒有()()()b f a f b a f +≤+ (*).

证明 (1) 当0=a 时,(*)式显然成立.

(2) 当0≠a 时,即0>a 时,对)(x f 在[]a ,0,[]b a b +,上分别使用拉格朗日中值定理，则()a ,01∈?ξ与()b a b +∈,2ξ使得()()()()a

a f a f a f f =--=00'1ξ (1), ()()()()()a

b f b a f b b a b f b a f f -+=-+-+=)('2ξ (2).又)('x f 单调递减,有()≥1'ξf ()2'ξf (3).由(1),(2) ,(3)有,

()≥a a f ()()a b f b a f -+,即(*)式成立.

练习 设)(x f 在[]b a ,上满足0)(''>x f .试证明对任意[]b a x x ,,21∈,21x x ≠,恒有()()2

)2(2121x f x f x x f +<+.

38

提示 不妨设21x x <,对)(x f 在??????+2,211x x x ,??

????+221,2x x x 上分别使用拉格朗日中值定理.

例12 设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导.又)(x f 不为形如B Ax +的函数, 证明存在()b a ,∈ξ,使得()()()a

b a f b f f -->ξ'. 证明 令()()()a f a x a

b a f b f x g +---=

)()(,则()a g a f =)(,()b g b f =)(.由题设条件, ()x g x f ≡)(不成立.因此存在()b a c ,∈使得()c g c f ≠)(.下面分两种情形.

（1）若()c g c f >)(,则

()()>--a c a f c f ()()=--a c a g c g ()()a

b a f b f --.在[]

c a ,上对)(x f 应用拉格朗日中值定理,存在()c a ,∈ξ使得()()()()()a

b a f b f a

c a f c f f -->

--=ξ'. （2）若()c g c f <)(,则

()()>--c b c f b f ()()=

--c b c g b g ()()a

b a f b f --.在[]b

c ,上对)(x f 应用拉格 朗日中值定理,存在()b c ,∈ξ使得()()()()()a

b a f b f

c b c f b f f -->

--=ξ'. 注 例12的结论可变更为()()()a

b a f b f f -->ξ'.

例13 设)(x f 是在[]b a ,上可微的非常值函数,且()()0==b f a f . 证明存在()b a ,∈ξ,使得()()

()?->

b

a

dx x f a b f 2

4

'ξ. 证明 设()x f M b

x a 'sup <<=,只要证明()

()?->

b

a

dx x f a b M 2

4

.若∞=M ,则上式显然成立.设M 有限,由拉格朗日中值定理,对任意()b a x ,∈,存在()x a ,1∈ξ,使得

()()()M f a

x a f x f ≤=--1'ξ,所以

()()a x M x f -≤.同理存在()b x ,2∈ξ,使得

()()()M f x

b x f b f ≤=--2'ξ,所以()()x b M x f -≤.()≤

?

b

a

dx x f ()dx x f b a a

?

+2()≤+?+dx x f b

b a 2

()dx a x M b a a

?

+-2()dx x b M b b a ?+-+2

()M a b 4

2

-=.因此()

()?-≥

b

a

dx x f a b M 2

4

. 若其中等式成立,则()dx x f b

a a

?

+2()dx a x M b a a

?

+-=2与()=

?+dx x f b

b a 2

()dx x b M b

b a ?

+-2

同时成立.

这推出()()()??

???

≤≤+-+≤≤-=b

x b a x b M b a x a a x M x f 2,2,.由于0≠M ,故)(x f 在2b a x +=不可导,这与条件

39 矛盾.

注 例13的结论可改进为()()()?->b

a dx x f a

b f 24'ξ.

例14 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数,且()()0''==b f a f . 证明存在()b a ,∈ξ,使得()()()()a f b f a b f --≥24

''ξ.

证明 1 令())('x f x F =,则)(x F 在[]b a ,上可微,()()0==b F a F .若)(x F 为常值函数,则0)(≡x F ,因此()()b f a f =.故结论显然成立. 若)(x F 不是常值函数,由例13, 存在()b a ,∈ξ,使得()()()?->

b a dx x F a b F 24'ξ()()()a f b f a b --=24. 从而()()()()a f b f a b f --≥24''ξ.

证明2 利用泰勒公式

()()()()()20000''2

1')(x x f x x x f x f x f -+

-+=ξ. 得 ()()()212''212')2(??

? ??-+-+=+a b f a b a f a f b a f ξ, ()()()222''212')2(??? ??-+-+=+a b f a b b f b f b a f ξ, 其中, b b a a <<+<<212ξξ,所以 ()()212''21??? ??-+a b f a f ξ()()222''21??

? ??-+a b f b f ξ, ()()()()()

2''''.4212ξξf f a b a f b f --=-,

()()()

()()a f b f a b f f --=-2214''''21ξξ (*). 若()()()()a f b f a b f --<214''ξ且()()()()a f b f a b f --<224

''ξ, 则()()()()()()

()()a f b f a b f f f f --<+≤-221214''''21''''21ξξξξ 这与(*)式矛盾,因此ξ可取1ξ或2ξ.

40

例15 设)(x f 在()∞,a 上可微,且0)('lim >=∞→A x f x . 证明∞=∞

→)(lim x f x .

证明 由0)('lim >=∞→A x f x ,0>?M ,当M x >时, 2)('A x f >.在区间[]x M ,上应用拉格朗日中值定理得, ()()()2'A f M x M f x f >=--ξ,所以()()M x A M f x f -+>2)(.固定M ,令∞→x ,得∞=∞

→)(lim x f x .

推论 设)(x f 在()∞,a 上可微,且)(lim x f x ∞→与)('lim x f x ∞→均存在且有限,则0)('lim =∞

→x f x .

证明 假设0)('l i m ≠=∞→A x f x .若0>A ,由例15, ∞=∞

→)(lim x f x .若0

-∞=∞

→)(lim x f x ,产生矛盾.

练习 设)(x f 在()+∞∞-,上二次可导,且有界.试证存在()+∞∞-∈,0x ,使得()0''0=x f . 证明 若()x f ''变号,则由导数的介值性,存在()+∞∞-∈,0x 使得()0''0=x f .若()x f ''不变号,例如()0''>x f (()0''x f ,则当0x x >时, 对)(x f 在],[0x x 上应用拉格朗日中值定理,存在()0,x x ∈ξ,使得 ()()()>-+=00')(x x f x f x f ξ()()()000'x x x f x f -+,令+∞→x ,则+∞→)(x f .若()0'0-+=00')(x x f x f x f ξ()()()000'x x x f x f -+,令-∞→x ,则+∞→)(x f ,这与)(x f 有界性矛盾.

例16 在区间[]x ,0（或[]0,x ）上对()x x f +=1ln )(应用拉格朗日中值定理得,

()θ

x x x +?

=-+1101ln ()10<<θ.求证21lim 0=→θx .

证明 由()θx x x +?=-+1101ln 得, ()()

x x x x ++-=1ln 1ln θ. 所以=→θ0lim x ()()x x x x x ++-→1ln 1ln lim 0()201ln lim x x x x +-=→(等价无穷小代换) x

x x 2111lim 0+-

=→(L ’Hospital 法则))1(21lim 0x x +=→21=.

41 例17 由拉格朗日中值定理,当0≥x 时θ+=

-+x x x 211,10<<θ. 证明 (1)2141<<θ; (2) 41lim 0=+→θx ,2

1lim =∞→θx . 证明 (1)由x x x ++=+12θ得

x x x -++=2)1(4

1θ

)4)1(212(41x x x x -+++= )])1((21[4

1x x x -++=. (*) 其中 ()211)1(0<++=-+

所以

2

141<<θ. (2) 由(*)式得 θ+→0lim x 41)])1((21[41lim 0=-++=+→x x x x , =∞→θx lim ()2

111241lim =????????+++∞→x x x x x .

例18 设)(x f 在[)+∞,0上可导,()00=f ,并设0>A 使()()x f A x f ≤'([)+∞∈,0x ).试证明在[)+∞,0上0)(≡x f .

证明 1 因)(x f 在[)+∞,0上可导,()00=f , 故当0>x 时,由拉格朗日中值定理,存在()x ,01∈ξ,使得()()()()0'01-+=x f f x f ξ()x f 1'ξ=()x f A ?≤1ξ.当限制??????∈A x 21,0时有()()121ξf x f ≤

(()x ,01∈ξ).重复使用此式可得 ()()121ξf x f ≤()2221ξf ≤()n n f ξ21≤≤ ,这里A x n n 21011≤<<<<<-ξξξ .由)(x f 的连续性,存在0>M 使得()M x f ≤(??

????∈A x 21,0).故())(020+∞→→≤≤n M x f n .从而0)(≡x f (??????∈A x 21,0).利用数学归纳法可证在一切??

????-A i A i 2,21( ,2,1=i )上恒有0)(≡x f ,故在[)+∞,0上0)(≡x f . 证明 2 因()x f 在??????A 21,0的连续,故存在??????∈A x 21,01使()()M x f x f A

x ==≤≤2101max .所以

42 ()()()()0'011-+==x f f x f M ξ()()11''x f A x f ?≤?=ξξ()M f 2

1'21≤≤

ξ.所以0=M .从而0)(≡x f (??????∈A x 21,0).利用数学归纳法可证在一切??????-A i A i 2,21( ,2,1=i )上恒有0)(≡x f ,故在[)+∞,0上0)(≡x f .

最后介绍微分学基本定理的一个初等证法.

例19微分学基本定理 设)(x f 在[]b a ,上可导,且对任意[]b a x ,∈,()0'=x f ,则)(x f 在 []b a ,上必为常值函数.

证明 设)(x f 不是常值函数,则存在[]b a y x ,,∈使得()y f x f ≠)(.不妨设y x <且

()y f x f <)(.令()()x

y x f y f c --=,则0>c .取2y x z +=,若()()()2y f x f z f +≥,则()()c x z x f z f ≥--.此时取[][]z x y x ,,11≡.若()()()2y f x f z f +<,则()()c z y z f y f ≥--,此时取[][]y z y x ,,11≡.仿照上述程序,得闭区间套[]{}n n y x ,),2,1( =n ,使得对每一n ,()()c x y x f y f n

n n n ≥--.由区间套定理,存在[]n n n y x ,∈ξ),2,1( =n .则由导数定义易证 ()=ξ'f ()()0lim >≥--∞

→c x y x f y f n n n n n .这与()0'=ξf 矛盾,证毕.

43 §3.3 导数的各种应用

导数的应用内容包括:函数单调性,不等式,函数的凸性,极值,最值等等.在具体例题中内容更加广泛.这些应用都是建立在中值定理的基础之上的.

例1设n a a a ,,,21 满足()01

213121=--++--n a a a n n ,证明方程 ()012cos 3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在开区间??

? ??2,0π内至少有一个实根.

分析 若令()()x n a x a x a x f n 12cos 3cos cos 21-+++= ,由于不易判断()0f 与??

? ??2πf 的符

号,所以不能利用连续函数介值性定理.

证明 设()()x n a n x a x a x f n 12sin 1

213sin 31sin 21--+++= , 则()()x n a x a x a x f n 12cos 3cos cos '21-+++= .显然()020=??

? ??=πf f .由罗尔定理知,存在??

? ??∈2,0πξ使得()0'=ξf ,本题得证.

例2 设)(x f 在[)+∞,a 上连续,当a x >时, 0)('>≥k x f ,其中k 为常数.

证明:如果0)(

????-k a f a a ,上有且仅有一个实根. 分析 只要证当a x >时, ()()a x k a f x f -+≥)(,即()()k a

x a f x f ≥--这由中值定理就可以得到.

证明 当a x >时，由拉格朗日中值定理，

()()()k f a

x a f x f ≥=--ξ'(x a <<ξ),所以()()a x k a f x f -+≥)(.从而()()()0=?-≥??? ?

?-k a f k a f k a f a f ,而0)(

????-k a f a a ,上至少有一个根. 若存在()k

a f a x x a -<<<21使得()0)(21==x f x f ,则由罗尔定理,存在()21,x x ∈η使得0)('=ηf ,这是不可能的.(或由0)('>x f 知)(x f 严格递增,进而0)(=x f 在()??????-k a f a a ,上至多有一个根.)

注 更进一步在[)+∞,a 上有且仅有一个实根.

例3 设)(x f 在[)+∞,a 上具有连续二阶导数,且()0>a f ,0)('

证明 对任意当a x ≥时，由泰勒公式，()()()()()22'')('a x f a x a f a f x f -+

-+=ξ(x a <<ξ),从而()()()()()()()0'2'''2

?-a f a f a f a f a f a f a f a f ξ.而()0>a f ,由连续函数介值性定

44 理,方程0)(=x f 在()()???

? ??-a f a f a a ',上至少有一个根.又由拉格朗日中值定理,()()()0''')('<-+=a x f a f x f η )(x a <<η，)(x f 严格递减,进而0)(=x f 在()()???? ?

?-a f a f a a ',上至多有一个根.故方程0)(=x f 在()+∞,a 上有且仅有一个实根.

练习 设)(x f 在[)+∞,0上具有连续二阶导数,且()00>f ,0)0('

证明方程0)(=x f 在()()???? ?

?-0'0,0f f 上有且仅有一个实根.

例4 设)(x f 在[]2,0上二次可导,且()1≤x f ,()1''≤x f 在[]2,0上成立.证明对任意[]2,0∈x 有()2'≤x f .

证明 设()2,0∈x ,由泰勒公式得()()()()()2102

'')0('0x f x x f x f f -+-+=ξ(x <<10ξ), ()()()()()2222

'')2('2x f x x f x f f -+

-+=ξ(22<<ξx ),两式想减得 ()()()()()()222122''2''02'2x f x f f f x f --+-=ξξ,所以 ()()()()()()22

12

''2

2'202'2ξξf x f x f f x f -+++≤ ()2221122x x -+++≤422+-=x x ()312+-=x 4≤. 所以当()2,0∈x 时,()2'≤x f .

由)('x f 的连续性知对任意[]2,0∈x 有()2'≤x f .

练习 1 设)(x f 在[]1,0上二次可导,且()1

练习 2 设)(x f 在[]1,0上二次可导,且()()10f f =及()M x f <''在[]1,0上成立.证明对任意[]1,0∈x 有()2

'M x f ≤

.

一般性结论： 例5 设)(x f 在()+∞∞-,上二次可导,且()()+∞<=+∞∞-∈x f M x ,0sup ,()()+∞<=+∞∞-∈x f M x ''sup

,2.

45

试证()

()+∞<=+∞∞-∈x f M x 'sup

,1且202

12M M M ≤.

证明 方法1 由泰勒公式得

()()()()2

2

'''h f h x f x f h x f ξ++=+ （1） 其中ξ介于x 与h x +之间,

()()()()2

2

'''h f h x f x f h x f η+

-=- （2） 其中η介于x 与h x -之间 （1）-（2）得 ()()()()()2

2'''''2h f f h x f h x f h x f ηξ-+=--+

即 ()()()()()2

2

'''''2h f f h x f h x f h x f ηξ--

--+=

进而有 ()()()()()[]

ηξ''''2

'22

f f h h x f h x f h x f ++-++≤2202M h M +≤ （*）

即关于h 的二次函数 ()02'2022≥+-M h x f h M 对任意h 成立.由判别式()02'202

≤-=?M M x f .

()202

2'M M x f ≤对一切x 都成立,从而()

()+∞<=+∞∞-∈x f M x 'sup

,1且202

12M M M ≤.

方法2 由（*）式()2

'2

0hM h M x f +

≤

对一切x 及0>h 都成立. 因

202

02022

22M M hM h M hM h M ≥?≥+当且仅当220hM h M =

即2

2M M h =

时取等号.取2

2M M h =则有()202'M M x f ≤,从而结论得证.

练习 设)(x f 在()+∞,0上二次可导,且

()

()x f M x +∞∞-∈=,0sup

,()

()x f M x 'sup

,1+∞∞-∈=,()

()x f M x ''sup

,2+∞∞-∈=.

试证(1)20214M M M ≤.(2) 设)(''x f 在()+∞,0上有界且0)(lim =+∞

→x f x ,证明0)(''lim =+∞

→x f x .

证明 （1） 对任意0>x 及0>h ,由泰勒公式得

()()()()2

2

'''h f h x f x f h x f ξ++=+ , 其中ξ介于x 与h x +之间,即

()()()()2

2'''h f x f h x f h x f ξ--+=,进而有()2

2'20hM h M x f +

≤. 若取2

2

M M h =则有()202'M M x f ≤,从而()2024'M M x f ≤,即20214M M M ≤. (2) 设()M x f ≤'',因0)(lim =+∞

→x f x ,故0>?ε,0>??,当?≥x 时, ()M

x f 42

ε<

.由上面(1)

46

知,在[)+∞?,上有22

21

44εε=??

≤M M

M ,即()2

212

'ε≤≤M x f ，类似可证在()?-∞-,上有

()ε

→x f x .

例6 设在()+∞∞-,内0)(''>x f 且0)0(

x f x F =

)(在区间()0,∞-与()+∞,0内是严格单调增加的.

证明 求导得()()2

')(x x f x xf x F -=.令()()x f x xf x G -=)(',则()()()x f x f x xf x G '')('''-+=

()x xf ''=.因此当0>x 时, ()0'>x G ;当0-=>f G x G .从而0)('>x F ,因此)(x F 在()0,∞-与()+∞,0内是严格单调增加的.

例7 设)(x f 在[)+∞,0上 连续,且当0>x 时, ()0>x f .证明当0>x 时函数()()()??=x x

dt

t tf dt t f x 0

0?. 是严格单调减少的. 证明 求导得()()()()()

()2

00

'??

?????-?=

??

?x x

x

dt t tf x xf dt t f x f dt t tf x ?()

()()()?????

?-??

????=

???x x x dt t f x dt t tf dt t tf x f 0020.

因为当[]x t ,0∈时, ()0)(≤-t f x t ,且不恒为0,故()()dt t f x dt t tf x

x

??-0

()()00

<-=?dt t f x t x

.

所以()0'

例8 求证对任意自然数n ,有1212-+≥n n n .

证明 设()1212---=x x x x f (其中1≥x ),则0)1(=f .

()=??--=--2ln 22122ln 2'212

1

x x x

x x f )2ln 2

12ln 2(221

21x

x x --+-.

令()2ln 2

12ln 221

x

x F x --=+,)1(≥x ,则()0ln 22ln 12ln 231>-=-=e F .因为

12ln 22ln 2

2

1>≥+x .故()02ln 2

1

21)2(ln 2

'22

1>-?

=+x x F .所以当1≥x 时, ()()01>≥F x F .从而当1≥x 时()0'>x f .因此()()01>≥f x f ,即1212-+≥x x x . 例8的初等证明 用数学归纳法.当2,1=n 时不等式显然成立.

设1212-+≥n n n ,则)21(221`1-++≥n n n .只要证明()n n n n 211)21(21++≥+-故只要证

()n n n n 21221+≥-该式两边平方得()n n n n 2124212?+≥?-.即只要证()2

212+≥n n .即

47 0122≥--n n .令()122--=n n n f .则()10-=f ,()21-=f ,()12-=f ,()23=f .因此当3≥n 时,所要证的不等式成立.

例9 在数列 ,,,43,2,143n n 中求出最大的数.

解 设x x y 1=,则x x y ln 1ln =.两边求导得??

? ??-+?=21ln 11'x x x x y y ,所以)ln 1(1'21x x x y x -?=.当e x <<0时, 0'y ,故x x y 1=递增.所以21<, >>>>n n 4343.因为2332<,故332<,因此所求的最大数为33.

例10讨论函数()x n e n x x x x f -???? ?

?++++=!!212 的极值. 解 求导得()()x n e n x x x x f --???? ??-++++=!1!2112 x n e n x x x -???? ?

?++++-!!212 x n

e n x --=!.由0)('=x

f 解出0=x .分两种情况讨论:

(1)若n 为偶数,则对一切x ,0)('≤x f .故)(x f 不存在极值点.

(1)若n 为偶数,则当0x f ;当0>x 时0)('

例11设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数,且满足()()()0'1)(''2=--+x f x f x x f 与()0)(==b f a f .证明)(x f 在[]b a ,上恒为0. 证明 若)(x f 在[]b a ,上不恒为0.设)(x f 在[]b a ,上的最大者与最小值分别为M 与m .则m M ≠且m M ≥≥0.

若0>M ,则存在()b a ,∈ξ使得()0>=M f ξ.由Fermat 定理, ()0'=ξf .由题设条件()

()()0'1)(''2=--+ξξξξf f f .因此()0)(''>==M f f ξξ.这推出)(x f 在ξ=x 取最小值,这是不可能的.

同理可证0

1412212102<+-

4)('2+--=x x x x f .因此函数)(x f 的稳定点为4

1=x . 当410<≤x 时, 0)('x f .又141)0(=??

? ??=f f .

48 因此)(x f 在??????21,0上的最小值为8741=??

? ??f ,最大值为1. 因此当210≤≤x 时, ()187≤≤x f ,8

712112≤+-≤x x . 由于被积函数在积分区间上连续且不恒为常数,

所以 714782178122121

02102210

==<+-<=???dx x x dx dx .

例13设)(x f 在()+∞∞-,上具有二阶导数,且满足

(1)0)(''>x f ;

(2)0)('lim <=-∞→αx f x ,0)('lim >=+∞→βx f x ;

(3)存在一点0x 使得0)(0

证明0)(=x f 在()+∞∞-,上有且仅有两个根.

分析 由条件(1)(2)知)('x f 在()+∞∞-,上严格递增,且由负变正.因此)(x f 在()+∞∞-,上由递减变为递增,故在某点达到最小值,由(3)知最小值为负的. 证明 由条件(1)(2)知)(x f 在某点ξ达到最小值,且()0)(0<≤x f f ξ.在()+∞,ξ上0)('>x f 且单调递增.取ξ>a 使得0)(≥a f x f .由例2知方程0)(=x f 在[)+∞,a 上有且只有一个根,从而在()+∞,ξ上有且仅有一个根.

同理可证0)(=x f 在()ξ,∞-上有且仅有一个根.所以0)(=x f 在()+∞∞-,上有且仅有两个根.

例14设)(x F 在()+∞∞-,上具有二阶导数,且恒有0)(''≥x F .证明:

(1)对任意实数21,x x ,有()()??

? ??+≥+222121x x F x F x F ; (2)对任意实数n x x x ,,,21 与任意正实数n p p p ,,,21 ,有

()()()???

? ??++++++≥++++++n n n n n n p p p x p x p x p F p p p x F p x F p x F p 212211212211. (3)对??????2,0π上的任意连续函数)(x f 有()[]≥?xdx x f F sin 20π()??

?????20sin πdx x f F . 证明 由于(1)是(2)的特殊情形,故先证(2).记n

n n p p p x p x p x p a ++++++=

212211, 由泰勒公式

49 ()()()()()()22

'''a x F a x a F a F x F i i i i -+-+=ξ ()()()),,2,1('n i a x a F a F i =-+≥,

乘以i p 后相加得

()()()

n n x F p x F p x F p +++ 2211()()()()()()[]a x p a x p a x p a F a F p p p n n n -++-+-++++≥ 221121'()()a F p p p n +++= 21,即(2)成立.

（2）将??

????2,0π分为n 等分,令n i p i 2sin π=,)2(n i f x i π=,其中n i ,,2,1 =.由(2), ∑∑∑∑====????????? ??≤?????

?????????? ??n i n i n i n i n i n i n i f F n i n i n i f F 11112sin 2sin 22sin 2sin 2ππππππ. 令+∞→n 两边取极限,注意到)(x F 的连续性,

∑∑∑∑=+∞→=+∞→=+∞→=+∞→??????????? ??≤?????

???????????? ??n i n n i n n i n n i n n n i n n i n i f F n n i n n i n i f im F 111122sin lim 22sin 2lim 22sin lim 22sin 2ππππππππππ, 即 ()()[]????≤??????????2

0202020sin sin sin sin ππππxdx

xdx x f F xdx dx x f F . 所以 ()??

?????20sin πdx x f F ()[]xdx x f F sin 20?≤π. 例15设)(x f 在()+∞∞-,上有二阶连续导数,且对任意x 与h 成立()()2

)(h x f h x f x f -++≤.证明0)(''≥x f 恒成立.

注 逆命题由例14（1）知成立. 证明 用反证法. 设命题不真,即存在0x 使得0)(''0h ,当),(00h x h x +-∈ξ时0)(''<ξf .由泰勒公式, ()()()()210002'''h f h x f x f h x f ξ++=+, ()()()()220002

'''h f h x f x f h x f ξ+-=-,其中h x x +<<010ξ, 020x h x <<-ξ.于是 ()()=-++h x f h x f 00()()()[]212

0''''2

2ξξf f h x f ++)(20x f <,

50

即()()2

)(000h x f h x f x f -++>

,这与条件矛盾.

例16设)(x f 在[]1,0上存在二阶导数,且()01)0(==f f ，又[]

2)(max 1,0=∈x f x ,证明[]

16)(''min 1,0-≤∈x f x . 证明 因)(x f 在[]1,0上连续,从而有最大最小值.又[]

2)(max 1,0=∈x f x ,()01)0(==f f ,故最大值

在()1,0内部达到.所以存在()1,00∈x 使得()[]

2)(max 1,00==∈x f x f x .因()0x f 为极大值,由Fermat

定理有()0'0=x f .在0x 处分别对0,1按泰勒公式展开,存在()1,0,∈ηξ使

()()()()()()()2020000''21202''0'00x f x f x x f x f f ξξ+=-+-+==, ()()()()()()()()20200001''2

1212''1'10x f x f x x f x f f -+=-+

-+==ηη， 其中ξ介于0与0x 之间, η介于0与01x -之间.

所以[]≤∈)(''min 1,0x f x ()}''),(''{min ηξf f ()??????????---=202014,4min x x . 而当??????∈21,00x 时, ()16414,4min 202020-≤-=??????????---x x x ; 当??????∈1,210x 时, ()()161414,4min 202020-≤--=??

????????---x x x . 故[]

16)(''min 1,0-≤∈x f x .

例17 设)(x f 在[]1,0上存在二阶导数,且()01)0(==f f ，又[]

1)(min 1,0-=∈x f x ,证明[]

8)(''max 1,0≥∈x f x .

证明 设)(x f 在[]1,0上的最小值为1)(-=a f ,其中()1,0∈a .则0)('=a f .由泰勒公式得,

()()()()()()22

'''a x f a x a f a f x f -+

-+=ξ , 其中ξ介于x 与a 之间.令x 分别为0,1,则()2

12

''10a f ξ+

-=,

()

()2

212

''10a f -+

-=ξ,其中

1021<<<<ξξa .所以

212)(''a f =

ξ,()

2212)(''a f -=ξ.容易看出,当21ξf ;当21≥a 时, 8)(''2≥ξf ,因此[]

8)(''max 1,0≥∈x f x .

例18 证明:当0>x 时,不等式120

6sin 65

33x x x x x x +-<<-成立.

证明 (1)令()6sin 3x x x x f +-=,则()2

1cos '2

x x x f +-=,()x x x f sin ''-=,()x x f cos 1'''-=.所以

()()()00''0'0===f f f ,()0'''>x f (()π2,0∈x ).

51 由泰勒公式得()()()()()0'''!

3120''0'032>+++=x f x f x f f x f ξ(()π2,0∈x ).其中()x ,0∈ξ. 所以对任意()π2,0∈x ，x x x sin 63<-.而当6>x 时,x x x sin 16

3≤-<-,所以x x x sin 63<-(0>x ）.

(2)再令()x x x x x F sin 120653-+-=,则()x x x x F cos 2421'42-+-=,()x x x x F sin 6

''3++-=.由(1),

()0''>x F ,于是()x F '单调递增.当0>x 时, ()()00''=>F x F ,()x F 单调递增.故()()0

0=>F x F 即0sin 120653>-+-x x x x ,即120

6sin 53x x x x +-<.从而结论得证.

例19 设)(x f 是在[]b a ,上二次可微,且02=??

? ??+b a f .

证明()()24

3

a b M dx x f b a -≤?,其中()x f M b x a ''max ≤≤=. 证明 令2

0b a x +=,则()00=x f .在0x x =处利用泰勒展开式, ()()()()()()200002

'''x x f x x x f x f x f -+-+=ξ,其中ξ介于x 与0x 之间.于是有 ()?b a dx x f ()()()()??-+-=b a b a dx x x f dx x x x f 2000''21'ξ

()()?-=b a dx x x f 20''21ξ()30312x x M -?≤()324a b M -=, 其中()x f M b

x a ''max ≤≤=. 例20设()()()()()h x f n h x hf x f h x f n n

θ++++=+!

' (1) (10<<θ)且()()01≠+x f n . 证明1

1lim 0+=→n h θ.

证明 由)(x f 在x 处的泰勒展开式

()()()()()()()()()111!1!

'+++++++++=+n n n n n

h o x f n h x f n h x hf x f h x f (2). 由(1)-(2)得()()()())(!

x f h x f n h n n n

-+θ()()()()111!1+++++=n n n h o x f n h . 所以()()()()h x f h x f n n n -+?θ!

1()()()()1!111o x f n n ++=+, 即()()()()h x f h x f n n n θθθ-+??!1()()()()1!

111o x f n n ++=+. 对上式两端令0→h ,则()()x f n n h 10!1lim

+→??θ()()()x f n n 1!11++=. 又()()01≠+x f n ,故11lim 0

+=→n h θ.