二重积分变量代换推广至三重积分的证明及应用

篇一：同济大学高数第10章 重积分

多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分.它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分.本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用.

10.1 二重积分的概念及性质

10.1.1 二重积分的概念

实例1 设函数z?f(x,y)在有界闭区域D上连续，且f(x,y)?0．以函数z?f(x,y)所表示的曲面为顶，以区域D为底，且以区域D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图10.1.1所示．求该曲顶柱体的体积V．

图10.1.1 图10.1.2

对于平顶柱体,它的体积就等于底面积乘高.现在曲顶柱体的顶是曲面,当点(x,y) 在D上变动时,其高度z?f(x,y)是一个变量,因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下

第一步(分割).用一组曲线网将区域D任意分成n个小区域??1,??2,???i,???n，其中记号??i (i = 1，2，?，n)也用来表示第i个小区域的面积．分别以每个小区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体?V1，?V2?，?Vi?，?Vn，其中记号?Vi(i = 1，2，?，n)也用来表示第i个小曲顶柱体的体积．

第二步(近似)．因为f(x,y)在区域D上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，这个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体(如图10.1.2)．分别在每个小区域??i上任取一点(?i,?i)，以f(?i,?i)为高，??i为底的小平顶柱体的体积f(?i,?i)??i作为第i个小曲顶 276

柱体体积?Vi的近似值，即

?Vi?f(?i,?i)??i(i?1,2,?,n)．

第三步(求和)．这n个小平顶柱体体积之和可作为原曲顶柱体体积V的近似值，即

V???Vi??f(?i,?i)??i．

i?1i?1nn

第四步(取极限)．对区域D分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值??0 (有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值)时，若上述和式的极限存在，则该极限值就是曲顶柱体的体积V，即有

V?lim?f(?i,?i)??i． ??0i?1n

实例 2 设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在xOy平面上占有有界闭区域D，此薄片在点(x,y)?D处的面密度为?(x,y)，且?(x,y)在D上连续．求该薄片的质量M．

如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量就等于面密度与面积的乘积．现在薄片的面密度随着点(x,y)的位置而变化，我们仍然可

以采用上述方法求薄片的质量．用一组曲线网将区域D任意分

成n个小块??1，??2?，??n；由于?(x,y)在D上连续，只

要每个小块??i (i = 1，2，?， n)的直径很小，这个小块就可

以近似地看作均匀小薄片．在??i上任取一点(?i,?i)，用点(?i,?i)图10.1.3 处的面密度?(?i,?i)近似代替区域??i上各点处的面密度(如图10.1.3)，从而求得小薄片??i的质量的近似值

?Mi??(?i,?i)??i(i?1,2,?,n)；

整个薄片质量的近似值为

M???(?i,?i)??i．

i?1n

将薄片无限细分，当所有小区域??i的最大直径??0时，若上述和式的极限存在，这个极限值就是所求平面薄片的质量，

即 M?lim??(?i,?i)??i． ??0i?1n

尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结为求二元函数的某种特定和式的极限．在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念．

根据二重积分的定义可知，例10.1.1中曲顶柱体的体积V是其曲顶函数f(x,y)在底面区域D上的二重积分，即

V???f(x,y)d?；

D

278

例10.1.2中平面薄片的质量M是其面密度函数?(x,y)在其所占闭区域D上的二重积分，即

M????(x,y)d?．

D

关于二重积分的几点说明．

(1) 如果函数f(x,y)在区域D上的二重积分存在，则称函数f(x,y)在D上可积．如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上可积．

(2) 当f(x,y)在有界闭区域D上可积时，积分值与区域D的分法及点(?i,?i)的取法无关．

(3) 二重积分只与被积函数f(x,y)和积分区域D有关．

二重积分??f(x,y)d?的几何意义．

D

(1) 若在闭区域D上f(x,y)?0，二重积分表示曲顶柱体的体积；

(2) 若在闭区域D上f(x,y)?0，二重积分表示曲顶柱体体积的负值；

(3) 若在闭区域D上f(x,y)有正有负，二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和．

10.1.2 二重积分的性质

二重积分有与定积分完全类似的性质，这里我们只列举这些性质，而将证明略去．

篇二：二重积分及三重积分的计算

第一部分 定积分的计算

一、定积分的计算

例1用定积分定义求极限.

1a?2a???nalim(a?0). a?1n??n

1x1?a?i?1a

解原式=lim??????xdx=

n??1?an0i?1?n?

n

1a

1

?

1

. 1?a

例2求极限 lim?

xn?x

2

n??0

dx.

解法1由0?x?1，知0?

1

1

xn?x2

?x，于是0??

n

1

xn?x2

dx??xndx.

1

1xn?11xnn

dx=0. ??0?n???，由夹逼准则得lim?而?xdx?

002n??n?10n?1?x

解法2利用广义积分中值定理

?

?

b

a1

， f?x?g?x?dx?f????g?x?dx（其中g?x?在区间?a,b?上不变号）

a

b

xn?x

n

02

?

1??

2

n

?

1

xndx?0??n?1?. 由于0?

1??

2n

?1，即

1??

2n

有界，

11xn

dx=0. ?0xdx?n?1?0?n???，故lim02n????x1

注 （1）当被积函数为Rx,a2?x2或Rx,x2?a2型可作相应变换.

1

?

???

如对积分?对积分

dx

2x

2

?1?x

2

，可设x?tant；

2ax?x2?a2?x?a2

?

2a

x2ax?x2dx?a?0?，由于

，可设

x?a?asint.

对积分?

ln2

?e?2xdx，可设e?x?sint.

?

（2）I??2

asint?bcost

?c,d?0?的积分一般方法如下：

csint?dcost

将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]?，可求出A?

B?

bc?ad

. 则积分 22

c?d

?

ac?bd

，

c2?d2

I??

?

??csint?dcost?2A?B?

csint?dcost

1

?

2

A?Blncsint?dcost

2

?

?

2

A?Bln

c d

例3求定积分1

arcsinx

2

x1?x

分析以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 1

1

arcsinx

2

x1?xt?x

x?t2

21

1

arcsint?t

2

?21arcsintdarcsint?arcsin2t

1112

3?2

.?16

解法2 1

1

arcsin

2

u?2sinucosu

x?sinu?2du?u2

sinucosux1?x4

x

2

???

24

3?2

?. 16

小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元x???t?时还应注意：

（1）x???t?应为区间??,??上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；

（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.

例4 计算下列定积分

sin3xdxcos3x22； （1）I1??， I2??0sinx?cosx0sinx?cosx

6

cosx

（2）?2?.

?1?e?x2

??

?

?

解 （1）I1??

20

sin3xdxsinx?cosx

cos3u

x??u?(?du)

22cosu?sinu

?

?

=?2

cos3x

dx?I2.

cosx?sinx

12sin3x?cos3x

故I1?I2??02sinx?cosx

12??122

sinx?sinxcosx?cosxdx? =. 2?04

?

?

??

6

cosx

（2）I??2?.

?1?e?x2

?

?

x??u?2?

?

26

cos6u

??du?u

1?e

?

??2?

?

2

cosx

x

1?e

??61?2excos6xcosx?2I????dx?dx??xx??? 2?21?e1?e2?

1

??2?cos6xdx??2cos6xdx

02?2?

531?5

?????.642232

??

这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：

?

?

?

20

sinxdx??2cosndx

n

??n?1??n?3??4?2

n?奇数?nn?2?3?1,

?

??

??n?1??n?3??3?1??,n?偶数?2?nn?2?4?2

小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为[0，a]时，设x?a?u;积分区间为[-a,a]时，设x??u。可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。 （2）利用例10.6(2)中同样的方法易得

?

?

20

g?sinx?g?cosx?dx??2dx

0fsinx?fcosxfsinx?fcosx?

例5 设f?x?在?0,??上具有二阶连续导数，f?????3，

且??f?x??f???x??cosxdx?2，求f??0?.

?

解 ??f?x??f???x??cosxdx

?

??f?x?dsinx??cosxdf??x?

??

?sinxf?x0??

?

?

??f?????f??0??2

sinx?f??x?dx?cosxf??x0??sinx?f??x?dx

?

?

故f??0???2?f??????2?3??5.

小结 （1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择u,dv的原则；（2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.

例6计算定积分?

2n?0

sin6xdx（n为自然数）.

解 sin6x是以?为周期的偶函数.

531?5

原式?2n?sinxdx?2n?2?sinxdx?4n?2sin6xdx?4??????n?.

00?642282

?

6

6

??

例7 证明积分I??解 I??

??

??

dx

与?无关，并求值. 2?

1?x1?x

dx

2?

1?x1?x

x?

?0

??

??t?dtx?dx

，于是 ??2?2?01?t1?t1?x1?x

?1???dxx?dx

I????2?2???02?1?x1?x1?x1?x?

?

1??dx1???

?arctanx?. ┃ 2?002241?x

小结收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.

二、含定积分的不等式的证明

例8证明（1）2e证（1）f?x??e

?12

1

??

?

21e?xdx?2；?2???

2

x?2?

x

esintsintdt?0.

?x2

?11??x2

?在??,?上连续，令f?x??e??2x??0，得x?0.

22??

1

??11??1??1?

比较f??,??f???e2与f?0??1的大小，知在???上的最大值为

22?2????2???1?

M?f?0??1，最小值为m?f???e2，故

?2?

?1

?1?1???1?1???x2

?m????edx?M???????2???2. ?1

?2?????2??2?2

1

2e

（2）由于esintsint以2?为周期， F?x???

x?2?x

e

sint

sintdt??esintsintdt

02?

2?

??esintsintdt??esintsintdt.

?

?

而?esintsintdt令u?2??t??e?sinusinudu

?

2??

???e?sintsintdt，

?

因为 esint?e?sintsint?0，t??0,??.

所以 F?x???esint?e?sintsintdt?0┃

??

?

??

事实上，（2）中所给变上（下）限定积分与x无关，仅为取正值的常数. 例9 设f?x?是?0,1?上单调减少的正值连续函数，证明??f?x?dx???f?x?dx ?0?????1?.

??

?

证利用积分中值定理，

??f?x?dx???f?x?dx

??

?

????f??1????????f??2? ?0??1??,???2???1?

篇三：重积分(二重及三重)

华南理工大学数学科学学院---《数学分析》检测题解答

二重积分和三重积分

1

1

2

x

1．计算I??x2dx?e?ydy.

解 D?{(x,y)|0?x?1,x?y?1}可表为D?{(x,y)|0?y?1,0?x?y}，于是，有

I??x2dx?e?ydy???x2e?ydxdy??dy?e?yx2dx?

x

D

11221y2

11?y2311

eydy??2. ?0363e

2．计算I???xydxdy，其中D为由曲线xy?1，xy?2，y?x，y?4x，(x?0，

D

y?0)所围成的区域.

解 作变换u?xy,v?

y

，在此变换下，新的积分区域为 x

D1?{(u,v)|1?u?2,1?v?4}，

其雅可比行列式

D(x,y)1x1

???，

D(u,v)D(u,v)2y2v

D(x,y)

从而，有换元公式I???xydxdy???u

D

D1

12

dudv?(22?1)ln2. 2v3

3．求由曲线r?a(1?cos?)所围成的图形的面积. 解A???dxdy?2

D

?0

?

d??

a(1?co?s)0

rdr

?

??a(1?cos?)d???4acos

?

22

?

24

?

3

d???28a2cos4tdt??a2.

022

4．设f(x)存在连续的导数，且f(0)?0，试求

lim1

t?0?t4

x2?y2?z2?t2

???

f(x2?y2?z2)dxdydz.

?x?rsin?cos??

解 作球坐标变换?y?rsin?sin?，则0?r?t,0????,0???2?. 于是有

?z?rcos??lim1t?0?t41t?0t4

x2?y2?z2?t2t

???

f(x2?y2?z2)dxdydz?lim

1t?0?t4

?0

2?

d??d??f(r)r2sin?dr

?t

?lim

?0

f(r)r2dr?lim

t?0

f(t)f(t)?f(0)

?lim?f?(0). t?0tt?0

x2y2z2

5．计算???zdxdydz，其中?是椭球体2?2?2?1的上半部分.

abc?

解 ?在z轴上的投影为区间[0,c]，在区间[0,c]内任取一点z， 过该点作平行于xOy面的平面，与椭球体的截面为一椭球面Dz，Dz可表为

Dz?{(x,y)|

x2a2(1?

z)2c

c

2

?

y2b2(1?

z)2c

2

?1}.

z2?2

zdxdydzzdzdxdy??ab(1?)zdz?abc. ????0???02

4c?Dz

c

6．计算???x2?y2dxdydz，其中?是由不等式z?x2?y2，1?z?4所围成的

?

空间闭区域.

解 设?1?{(r,?,z)|r2?z?1,0???2?,0?r?1},

?2?{(r,?,z)|r2?z?4,0???2?,0?r?2}.

于是有

???

?

x2?y2dxdydz????x2?y2dxdydz????x2?y2dxdydz

?1

?1

??

2?0

d??rdr?2rdz??

r

242?0

d??rdr?2rdz?

r

11

124

?. 15

7． 证明：若f(x,y)在有界闭区域D上连续，g(x,y)在D上可积且不变号，则存在一点(?,?)?D，使得??f(x,y)g(x,y)dxdy?f(?,?)??g(x,y)dxdy.

D

D

证 由函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则必存在最大值M和最小值m，使

?(x,y)?D，有m?f(x,y)?M，从而

m??g(x,y)dxdy???f(x,y)g(x,y)dxdy?M??g(x,y)dxdy.

D

D

D

若

??g(x,y)dxdy?0

D

，则

??f(x,y)g(x,y)dxdy

D

?f(?,?)??g(x,y)dxdy?0，对

D

?(?,?)?D，恒成立. 若??g(x,y)dxdy?0，则有m?

D

??f(x,y)g(x,y)dxdy

D

??g(x,y)dxdy

D

?M，

由介值定理，存在(?,?)?D，使f(?,?)?

??f(x,y)g(x,y)dxdy

D

??g(x,y)dxdy

D

,等式成立. 当

g(x,y)?0时，同样也有等式成立.

8．设函数f(x,y)定义在D?[0?x?1,0?y?1]，且?y?[0,1]，

若x是无理数，?1,

f(x,y)??2

?3y,若x是有理数.

证明 （1）f(x,y)在D上不可积；（2）累次积分?dx?f(x,y)dy存在；（3）先

11

对x后对y的累次积分不存在. 证明 （1）考虑区域D1?[0?x?1,

2

?y?1]?D. 3

用平行于坐标轴的直线将区域D1任意分成n?m个相等的小矩形

Dik(i?1,2,?,k?1,2,?)。由于f(x,y)在Dik上的振幅

?ik(f)?|1?3(

所以f(x,y)在D上不可积.

（2）?x?[0,1].

22

)|?1, 3

当x是无理数，f(x,y)?1，?f(x,y)dy?1.

1

当x有理数，f(x,y)?3y2，?3y2dy?1.

1

所以累次积分?dx?f(x,y)dy存在.

11

（3）?y0?[0,1](y0?

?xk?

13

)，将[0,1]等分成n个小区间，其长

1

,k?1,2,?,n. f(x,y)在小区间上的振幅?k[f(x,y0)]?|1?3y02|???0。n

所以先对x后对y的累次积分不存在.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bapb.html