常用傅里叶_拉普拉斯_Z变换表

时域信号

弧频率表示的 傅里叶变换

注释

1

线性

2

时域平移

3

频域平移, 变换2的频域对应

如果

4

值较大，则会收缩

到原点附近，而会扩

散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta函数。

5

傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量 和频域变量 得到.

6

傅里叶变换的微分性质

7

变换6的频域对应

8

表示 和 的卷积 — 这

就是卷积定理

9

矩形脉冲和归一化的 sinc 函数

10

变换 10 的频域对应。矩形函数是理 想的低通滤波器，sinc 函数是这类 滤波器对反因果冲击的响应。

11

tri 是三角形函数

12

变换 12 的频域对应

13

高斯函数 exp( αt2) 的傅里叶变 换是他本身. 只有当 Re(α) > 0 时， 这是可积的。

14

15

16

a>0

17

变换本身就是一个公式

18

δ(ω) 代表狄拉克 δ 函数分布. 这个变换展示了狄拉克 δ 函数的重 要性： 该函数是常函数的傅立叶变换

19

变换 23 的频域对应

20

由变换 3 和 24 得到.

21

由变换 1 和 25 得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (eiat + e iat) / 2.

22

由变换 1 和 25 得到

23

这里, n 是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克 δ 函数分布的 n 阶微分。 这个变换是根据变换 7 和 24 得到的。 将此变换与 1 结合使用， 我们可以变 换所有多项式。

24

此处 sgn(ω)为符号函数；注意此变 换与变换 7 和 24 是一致的.

25

变换 29 的推广.

26

变换 29 的频域对应.

27

此处 u(t)是单位阶跃函数; 此变换 根据变换 1 和 31 得到.

28

u(t)是单位阶跃函数，且 a > 0.

34

狄拉克梳状函数——有助于解释或 理解从连续到离散时间的转变.

附录A 拉普拉斯变换及反变换

1.拉氏变换的基本性质

2．常用函数的拉氏变换和z变换表

附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式，即

B(s)bmsm bm 1sm 1 b1s b0

（n m） F(s)

A(s)ansn an 1sn 1 a1s a0

式中，系数a0,a1,...,an 1,an和b0,b1, ,bm 1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。

（1）A(s) 0无重根：这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式，即

n

cicncc1c2

F(s) i （F-1）

s s1s s2s sis sni 1s si

式中，s1,s2, ,sn是特征方程A(s)＝0的根；ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下列两式计算：

ci lim(s si)F(s) （F-2）

s si

或

ci

B(s)

（F-3）

A(s)s s

i

式中，A (s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为

n nci st

f(t) L F(s) L ＝ cie (F-4)

i 1s si i 1

1 1

i

（2）A(s) 0有重根：设A(s) 0有r重根s1，F(s)可写为

F s

B(s)

r

(s s1)(s sr 1) (s sn)

=

cicncrcr 1c1cr 1

rr 1

(s s1)(s s1)(s s1)s sr 1s sis sn

式中，s1为F(s)的r重根，sr 1，…，sn为F(s)的n r个单根；其中，cr 1，…，cn仍按式(F-2)或式(F-3)计算，cr，

cr 1，…，c1则按下式计算：

cr lim(s s1)rF(s)

s s1

cr 1 lim

s si

d

[(s s1)rF(s)] ds

cr j

1d(j)

lim(j)(s s1)rF(s) (F-5) j!s s1ds

1d(r 1)

c1 lim(r 1)(s s1)rF(s)

(r 1)!s s1ds

原函数f(t)为 f(t) L

1

F(s)

crcicn cr 1c1cr 1

L 1 rr 1

(s s)s ss ss s(s s1)1r 1in (s s1)

n

cr 1r 2 cr str 1

t t c2t c1 e ciest （F-6）

(r 2)!i r 1 (r 1)!

1

i

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/baiq.html