2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
更新时间:2024-01-04 22:08:01 阅读量: 教育文库 文档下载
2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
说明:第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
第一试
一、选择题:(本题满分42分,每小题7分) 1.已知x,y为整数,且满足(?1x111211则x?y的可能的值有( C ) )(2?2)??(4?4),
yxy3xyA. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1,则t?2xy?yz?2zx的最大值为 ( A )
45912 B. C. D.791625 3.在△ABC中,AB?AC,D为BC的中点,BE?AC于E,交AD于P,已知BP?3,PE?1AE,则=
A.( B )
A.6 B.2 C.3 D.6 24.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张,则这3张卡片上所
写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 ( B )
A.
1223 B. C. D.2534
35.设[t]表示不超过实数t的最大整数,令{t}?t?[t].已知实数x满足x?1?18,则3x1{x}?{}?
x
( D )
11 B.3?5 C.(3?5) D.1 226.在△ABC中,?C?90?,?A?60?,AC?1,D在BC上,E在AB上,使得△ADE?ADE?90? ,则BE的长为 为等腰直角三角形,
A.( A )
A.4?23 B.2?3 C.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分) 1.已知实数a,b,c满足a?b?c?1,2.使得不等式
1(3?1) D.3?1 2111???1,则abc?__0__.
a?b?cb?c?ac?a?b9n8??对唯一的整数k成立的最大正整数n为 144 . 17n?k153.已知P为等腰△ABC内一点,AB?BC,?BPC?108?,D为AC的中点,BD与PC
交于点E,如果点P为△ABE的内心,则?PAC?48?.
4.已知正整数a,b,c满足:1?a?b?c,a?b?c?111,b2?ac,则b? 36 .
第二试 (A)
一、(本题满分20分)设实数a,b满足a2(b2?1)?b(b?2a)?40,a(b?1)?b?8,求
11?的值. a2b2解 由已知条件可得a2b2?(a?b)2?40,ab?(a?b)?8.
设a?b?x,ab?y,则有x2?y2?40,x?y?8, ……………………5分
联立解得(x,y)?(2,6)或(x,y)?(6,2). ……………………10分
若(x,y)?(2,6),即a?b?2,ab?6,则a,b是一元二次方程t2?2t?6?0的两根,但这
个
方
程
的
判
别
式
??(?2)2?24??20?0,没有实数
根; ……………………15分
2若(x,y)?(6,2),即a?b?6,ab?2,则a,b是一元二次方程t?6t?2?0的两根,这
个方程的判别式??(?6)2?8?28?0,它有实数根.所以
11a2?b2(a?b)2?2ab62?2?2?2?22???8. ……………………2222ababab220分 二.(本题满分25分)如图,在平行四边形ABCD中,E为对角线BD上一点,且满足?ECD??ACB, AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F. 证明:?DFE??AFB.
证明 由ABCD是平行四边形及已知条件知D?ECD??ACB??. D……………………5AE分 CF又A、B、F、 D四点共圆,所以?BDC??ABD??AFD,BECD所以△∽△
DAF, ……………………15分
所以
分
EDCDAB??. ……………………20DFAFAF
又?EDF??BDF??BAF,所以△EDF∽△BAF,故
?DFE??AFB. ……………………25分
三.(本题满分25分)设n是整数,如果存在整数x,y,z满足n?x3?y3?z3?3xyz,则称
n具有性质P.在1,5,2013,2014这四个数中,哪些数具有性质P,哪些数不具有性质P?并
说明理由.
解 取x?1,y?z?0,可得1?13?03?03?3?1?0?0,所以1具有性质P. 取x?y?2,z?1,可得5?23?23?13?3?2?2?1,所以5具有性质P.…………………5分
为了一般地判断哪些数具有性质P,记f(x,y,z)?x3?y3?z3?3xyz,则
f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)
=(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)
1(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 21?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 21222即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)?(y?z)?(z?x)] ①
2?……………………10
分
不妨设x?y?z,
如果x?y?1,y?z?0,x?z?1,即x?z?1,y?z,则有f(x,y,z)?3z?1; 如果x?y?0,y?z?1,x?z?1,即x?y?z?1,则有f(x,y,z)?3z?2; 如果x?y?1,y?z?1,x?z?2,即x?z?2,y?z?1,则有f(x,y,z)?9(z?1); 由此可知,形如3k?1或3k?2或9k(k为整数)的数都具有性质P.
因此,1,5和2014都具有性质P. ……………………20分
若2013具有性质P,则存在整数x,y,z使得2013?(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx).注意到3|20,从而可得3|x?(y?33(y?z,)故3|x?z,于是有
9|(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx),即9|2013,但2013=9×223+6,矛盾,所以2013
不具有性质P. ……………………25分
第二试 (B)
一.(本题满分20分)同(A)卷第一题.
二.(本题满分25分)如图,已知O为△ABC的外心,AB?AC,D为△OBC的外接圆上一点,过点A作直线OD的垂线,垂足为H.若BD?7,DC?3,求AH.
解 延长BD交⊙O于点N,延长OD交⊙O于点E,由
A题意得?NDE??ODB??OCB??OBC??CDE,所以DE?BDC为的平分线. ……………………5分
HNO又点D在⊙O的半径OE上,点C、N在⊙O上,所以点DNCOE、关于直线对称,EDN?DC. ……………………10分 FCB延长AH交⊙O于点M,因为O为圆心,AM?OD,所
以点A、M关于直线OD对称,AH?MH.因此MMN?AC?A. B
………………
……15分 又?FNM??FAB,?FBA??FMN,所以△
ABF≌△NMF,所以MF?BF,FN?AF. ……………………20分
?FM?FN?B?FB?NB?DD?N?B?7?3?10,即因此,AM?AF D2AH?10,所以AH?5. ……………………25分
三.(本题满分25分)
设n是整数,如果存在整数x,y,z满足n?x3?y3?z3?3xyz,则称n具有性质P. (1)试判断1,2,3是否具有性质P;
(2)在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性质P的数有多少个?
333解 取x?1,y?z?0,可得1?1?0?0?3?1?0?0,所以1具有性质P;
333取x?y?1,z?0,可得2?1?1?0?3?1?1?0,所以2具有性质P;…………………
5分
若3具有性质P,则存在整数x,y,z使得3?(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx),从而可得3|(x?y?z),故3|(x?y?z),于是有9|(x?y?z)?3(x?y?z)(xy?yz?zx),即
339|3,这是不可能的,所以3不具有性质
P. ……………………10分
(2)记f(x,y,z)?x?y?z?3xyz,则
333f(x,y,z)?(x?y)3?z3?3xy(x?y)?3xyz ?(x?y?z)3?3(x?y)z(x?y?z)?3xy(x?y?z)
=(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx)
1(x?y?z)(x2?y2?z2?xy?yz?zx) 21?(x?y?z)[(x?y)2?(y?z)2?(z?x)2]. 21222即f(x,y,z)?(x?y?z)[(x?y)?(y?z)?(z?x)] ①
2?……………………15
分
不妨设x?y?z,
如果x?y?1,y?z?0,x?z?1,即x?z?1,y?z,则有f(x,y,z)?3z?1; 如果x?y?0,y?z?1,x?z?1,即x?y?z?1,则有f(x,y,z)?3z?2; 如果x?y?1,y?z?1,x?z?2,即x?z?2,y?z?1,则有f(x,y,z)?9(z?1); 由此可知,形如3k?1或3k?2或9k(k为整数)的数都具有性质P.……………………20分
又若3|f(x,y,z?)3?x(?yz?)3?x(?yz)(x?y?y,z则z)x|x3(?y?z3),从而
3|(x?y?z),进而可知9|f(x,y,z)?(x?y?z)3?3(x?y?z)(xy?yz?zx).
综合可知:当且仅当n?9k?3或n?9k?6(k为整数)时,整数n不具有性质P.
又2014=9×223+7,所以,在1,2,3,…,2013,2014这2014个连续整数中,不具有性
P质的数共有224×2=448
个. ……………………25分
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