2015年广东文数(精美word版,含答案)

2015年广东高考文科数学试卷(精美word版,含答案)

绝密★启用前 考试类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

本试卷共 4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名和考生号、考场号、座位号 填写

在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处。”

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1．若集合M 1,1 ，N 2,1,0 ，则M

N （B）

A. 0, 1 B. 1 C. 0 D. 1,1

2．已知i是虚数单位，则复数(1 i)2 （A）

A.2i B. 2i C.2 D. 2

3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（D）

2

A．y x sin2x B．y x cosx C．y 2

x

12

D．y x sinx x2

x 2y 2

4.若变量x,y满足约束条件 x y 0,且z 2x 3y的最大值（B）

x 4

A．2 B．5 C．8 D．10

3

5．设 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cosA=,且b<c,则b=（C）

2

A.3 B. 22 C.2 D.3

6.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面 内,l2在平面 内,l是平面 与平面 的交线,则下列命题正确的是（D）

A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交

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7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（B）

A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1

x2y2

+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0)，则m=（B） 8.已知椭圆

25m2

A.2 B.3 C.4 D.9 9．在平面直角坐标系xoy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=(1,-2)，=(2,1)，则 =

（A）

A.5 B.4 C.3 D.2

10．若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N}，

F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N}，用Card(X)表示集合X中的元素个

数，则Card(E)+Card(F)=（A）

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

11.不等式-x-3x+4>0的解集为(-4,1).(用区间表示)

12.已知样本数据x1,x2, ,xn的均值x=5，则样本数据2x1+1,2x2+1, ,2xn+1的均值为11.

13.若三个正数a,b,c成等比数列，其中a=5+26,c=5-26，则b=1

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y中，以原点 为极点，x轴的正半轴为极轴建立

2

x t

极坐标系．曲线C1的极坐标方程为 cos sin 2，曲线C

2的参数方程为 （t为参

y A.200 B.150 C.100 D.50

2

数），则C1与C2交点的直角坐标为(2,-4)

15.（几何证明选讲选做题）如图1， 为圆 的直径， 为 的

E

延长线上一点，过 作圆 的切线，切点为C，过 作直线 C的垂线，垂足为D．若

4，C D 4 ．

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A

图1

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三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）已知tan 2．

1 求tan 的值；

4

sin2

求2 sin2 sin cos cos2 1的值．

1 tan 1 2

解：（1）tan 3

4 1 tan 1 2

sin2 2sin cos 2tan

1 （2）法一：2

sin sin cos cos2 1sin2 sin cos 2cos2 tan2 tan 2

sin

2得sin =2cos 代入下式得 法二：由tan

cos

sin2 2sin cos 4cos2

1

sin2 sin cos cos2 1sin2 sin cos 2cos2 4cos2

17.（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以 160,180 ， 180,200 ，

200,220 ， 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 分组的频率分布直方图如图2．

频率 0. 0.0.0095

x

0.

0.

0.002

图2 1 求直方图中x的值；

月平均用电量/度

2 求月平均用电量的众数和中位数；

3 在月平均用电量为 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 220,240 的用户中应抽取多少户？

解：（1）依题意0.002×20+0.0025×20+0.005×20+20x+0.0095×20+0.011×20+0.0125×20=1 解得x=0.0075

(2)由直方图可知，月平均用电量的众数为230.

(x-220)=0.5，解得x=224 设中位数为x，则0.002×20+0.0095×20+0.011×20+0.0125

月平均用电量的众数为224.

(3)月平均用电量为 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组用户之和为

[0.0125×20+0.0075×20+0.005×20+0.0025×20]×100=55，故月平均用电量在 220,240

的用

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户中应抽取户数为

11×100×0.0125×20=5. 55

18、（本小题满分14分）如图3，三角形 DC所在的平面与长方形 CD所在的平面垂直， D C 4， 6， C 3． 1 证明： C//平面 D ；

2 证明： C D；

3 求点C到平面 D 的距离．

C 图3 (1)证明: 四边形ABCD是矩形． BCAD

又因为AD 平面PDA，所以BC//平面PDA （2） 四边形ABCD是矩形 BC CD

又 面ABCD 面PDC，面ABCD面PCD=CD，BC 平面ABCD， BC 面PDC 又 PD 平面PDC， BC PD

（3）方法一：过C作CF⊥PD于F.由(2)知BC 面PDC

BCAD AD 面PDC,又AD 面PDA, 面PDA 面PDC

面PDA面PDC=PD，CF 面PDC， CF 面PDA∴CF为点C到平面 D 的距离

11322

在 PDC中，由等面积法得PD CF=CD 4-3，解得CF=

222

∴点C到平面 D 的距离为

37

. 2

方法二：取CD中点O,连接PO.

PD=PC∴PO⊥CD

又 面ABCD 面PDC，面ABCD面PCD=CD，PO 平面PDC， PO 面ABCD

∴PO为三棱锥P-ADC的高.

在Rt POD中，PO=PD2-OD2=7

由(2)知BC 面PDC

BCAD AD 面PDC,又PD 面PDA∴PD⊥AD，即 PAD为直角三角形

在Rt PAD中，S PAD=

1

PD AD=6 2

1

CD AD=9 2

又因为在Rt ADC中，S ADC=

在三棱锥C-PDA中，设点C到平面 D 的距离为h，由三棱锥VC-PDA=VP-ADC得

11

S PDA h=S ADC PO 33

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解得h=

3737

∴点C到平面 D 的距离为.

22

35

，a3 ，24

19.（本小题满分14分）设数列 an 的前n项和为Sn，n ．已知a1 1，a2 且当n 2时，4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1．

1 求a4的值；

2 证明： an 1

1

an 为等比数列； 2

3 求数列 an 的通项公式．

7 8

（2）当n 2时，4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1，即4(Sn 1 an 2) 5Sn 8Sn 1 Sn 1

1

整理得4an 2 4(Sn 1 Sn) (Sn Sn 1),从而an 2 an 1 an

4

111

an 2 an 1 (an 1 an)(n≥2)

222

35111

又a1 1，a2 ，a3 ，故a3 a2 (a2 a1)

242221

an 1 an 为等比数列

2

11111

（3）由(2)知 an 1 an 为公比，首项a2 a1 1等比数列， an 1 an ()n 1

22222

n

2nan 为公差4，首项2a1 2的等差数列. 2n 1an 1 2an 4

解：（1）依题意4S4 5S2 8S3 S1，即4(S3+a4) 5S2 8S3 S1，得a4

2nan=2+(n-1) 4=4n-2， an=

4n-2

2n

20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l与圆C1:x2 y2 6x 5 0相交于不同的两点

， ．

1 求圆C1的圆心坐标；

2 求线段 的中点 的轨迹C的方程；

3 是否存在实数k，使得直线L:y k x 4 与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值

范围；若不存在，说明理由．

解：(1)x2 y2 6x 5 0配方得(x 3)2 y2 4，故圆C1的圆心坐标为(3,0).

(2)法一：设 (x,y)，直线AB的方程为y=mx.依题意C1M⊥OM，故C1 =0，∴(x-3)x+y2=0，即x2+y2-3x=0

422222

将y mx代入(x 3) y 4并整理得(1 m)x 6x 5 0,由 =36-20(1+m)=0得m=

5

-65

=， 此时直线l与圆C1相切，切点横坐标x=-2(1+m2)3

522

C3) 所以线段 的中点 的轨迹的方程为x+y-3x=0(<x≤

3

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法二：设 (x,y)，直线AB的方程为y=mx，A(x1,y1),B(x2,y2)

将y mx代入(x 3) y2 4并整理得(1 m2)x2 6x 5 0,则x1+x2=

6

1+m2

6m

y1+y2=mx1+mx2=m(x1+x2)=

1+m2

x1+x26y1+y23m22

=y==所以x=，22，消去m并整理得x+y-3x=0 21+m21+m

42

由 =36-20(1+m2)=0得m=

5

此时直线l与圆C1相切，切点横坐标x=-

-65

=，

2(1+m2)3

5

3) 所以线段 的中点 的轨迹C的方程为x2+y2-3x=0(<x≤

35

3)中，并整理得 (3)将直线L:y k x 4 代入曲线C:x2+y2-3x=0(<x≤

3

322222222

(1+k)x-(8k+3)x+16k=0.由 =(8k+3)-4(1+k) 16k=0得k=，

4

-(8k2+3)123

此时直线L与曲线C相切，切点横坐标x=-=∈(,3]，此时直线L与曲线C只有一个2

2(1+k)55交点.

5525523)端点D(,曲线C:x2+y2-3x=0(<x≤),E(,-)，直线L恒过定点F(4,0),则

33333

kDF=

22 ,kEF=-77

22，直线L与曲线C也只有一个交点. <k<

77

322或k=，直线L:y k x 4 与曲线C只有一个交点。 <k<

477

2

故当-

综上可知，当-

21.（本小题满分14分）设a为实数，函数f x x a x a a a 1 ．

1 若f 0 1，求a的取值范围；

2 讨论f x 的单调性；

3 当a 2时，讨论f x x在区间 0, 内的零点个数．

解：(1)由f 0 1得 a a a a 1 1

1

1，故0≤a 当a≥0时，不等式为2a≤

2

1恒成立，故a<0 当a<0时，不等式为0≤

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2

4

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1

综上所述：a

2

2 x (1 2a)x,x a

(2)因为f(x) 2

x (1 2a)x a,x a

-

1-2a

<a，∴f x 在[a,+∞)单调递增 2

-(1+2a)又 ->a，∴f x 在(-∞，a)单调递减。 2

∴f x 在[a,+∞)单调递增，在(-∞，a)单调递减.

4x3 (1 2a)x2 ax 4

0即g(x) x3 (1 2a)x2 ax 4 0 (3)当0<x<a时，f x

xx

(1+2a)-4a2+a+1(1+2a)+4a2+a+1

,x2=g(x)=3x-2(1+2a)x+a=0得x1=

33

'

2

∴0<x1<a<x2， g x 在(0,x1)单调递增，在(x1，a)单调递减.

g(x1)>0,g(a)=-a3+4<0，g(x)在区间 0,a 内有1个零点，即f(x) 个零点。

4

在区间 0,a 内有1x

4x3 (1 2a)x2 4

0即h(x) x3 (1 2a)x2 4 0 当x≥a时，f x

xx

h'(x)=3x2+2(1-2a)x=0得x3=0,x4=

4a-2

3

+∞)单调递增. 若a=2,a=x4， h x 在(a，

h(a)=-a3+a2+4=-(a-2)(a2+a+2)=0，此时h(x)在区间[a, )内有1个零点 若a>2，x3<a<x4

+∞)单调递增. h x 在(a,x4)单调递减，在(x4，

h(a)=-a3+a2+4=-(a-2)(a2+a+2)<0，

4(2a-1)3

h(x4)=x+(1-2a)x+4=-+4<0,h(2a)=4a2+4>0， 27

34

24

此时h(x)在区间[a,x4)内无零点，在(x4，+∞)内有1个零点。

∴h(x)在区间[a, )内有1个零点，即f(x)

4

在区间[a, )内有1个零点。 x

综上所述，当a 2时，f x

4

在区间 0, 内由2个零点. x

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