西南交通大学出版社郭运瑞高等数数第一章答案

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1.用定义验证极限 (1) limn

1 n2n

n

0

证明：

1 n2

1 1 1 0 2,对 0,欲使 2 0 ,只需 n n n n

故对 0,取 N max

1 ,1 当 n N时，有

批注[U1]:注意不能写 N

1

1 n2故

n

0 批注[U2]:证明书写中必需有这一

limn

1 n2

n

段。

0

(2) limn

n2 a 2 1 nn2 a 2 1 n n

证明：

a2 n2 a 2 n

a2,对 0,欲使 n

n2 a 2 1 ,只 n

需

a 2 a2 a2 ,即 n 。故对 0,取 N max ,1 当 n N时，有 n n2 a 2 1 n

故

n2 a 2 lim 1 n n

批注[U3]:注意事项同上

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2

由由3 又所以n对 又xn 4n解 （1）（2）n解

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5

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1（1）

x x0 0

limf x 对 0，存在（2）limf x x

对 0，存在（3）

x

limf x 对 M 0，存在2（1）limcosx x x0

证明：cosx cos有当

x x0 22故当x x0 cosx cosx0 故对 0，x(2) x 证明：当a 0当x x0 当a 00 综上所述x

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3 若

x

limf x limf x A，证明limf x A

x

x

证明 ：对 0， 由由

x

limf x A，存在X1 0，当x X1时有f x A ， limf x A，存在X2 0，当x X2时有f x A ，

x

故对 0，取X max X1,X2 ，当x X时有

f

x

，所以

limf x A

x

4 求极限 （1）lim

1 cos2x

x 0xsinx

1 cos2x2sin2xsinx解 法一 lim lim 2lim 2；

x 0x 0xsinxx 0xsinxx

法二 已知 1 cos2x（2）limnsin

n

1

2x 2 2x2,sinx21 cos2x2x2

x，故lim lim2 2

x 0x 0xxsinx

x

n

xsix

解 limns xl x

n n n

n

tanx sinx

(3) lim

x 0x解 法一 lim

sinx 1 cosx tanx sinx

limlim

x 0x 0x 0x3x3cosx

2

sinx2sin2

x3cosx

x

x sin 11sinx 1 limlimlim

2x 0cosxx 0xx 0 2

2

法二 lisinx 1 cox stanx sixn

li 3x 0x 0xx3cosx

12

x,sinx2

x，故

已知 1 cosx

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1 x x2 1 sin x 1 cos x tan x sin x 1 lim lim lim lim 23 x 0 x 0 x 0 cos x x 0 x3 x3 cos x x 2以下做法是错误的

limx 0

tan x tan x sin x sin x lim 3 lim 3 3 x 0 x x 0 x x x x x x lim 3 lim 3 lim 3 0 x 0 x x 0 x x 0 x

批注[U11]:错误步骤 limx 0

tan x与 x3

limx 0

(4) lim(1 x) tanx 1

sin x不存在，故不能分开。 x3

2

x

批注[U12]:

limx 0

解令 u 1 x,则 lim(1 x) tanx 1

2

x lim u tanu 0

2

1 u lim u cot u 0

2

x x3

不存在，故不能

u

求和。

u cos u 2 2 2 lim 2 limcos u lim u u 0 u 0 sin u u 0 2 sin u 2 2(5) lim 1

x

1 x

kx

kx 1 x 1 解法一 lim 1 lim 1 x x x x

k

e k 1

lim kx ln 1 kx ln 1 1 1 1 x x 法二 lim 1 lim e x e,由 ln(1 ) ,可得 x x x x x

kx

1

lim kx 1 lim 1 e x x e k x

x

kx

1

(6) lim

x 2 x x 1

x

1 1 x 1 1 x 2 解法一 lim lim 1 lim x x 1 x x 1 x 1 1 x 1x x

x 1

e

lim x ln 1 x ln 1 x 2 x 1 e x x 1 ,由 ln(1 )法二 lim lim e x x 1 x x 1

x

x 2

1

1可得 x 1

x 2 x 1 lim e e x x 1 xx

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（７）x 0

解 法一

x

x

2sin2

x

x x

2

lim sinx 2

x 0 lim x 0 2 x 12

法二x

x ， 由1 cosx

1x

2

,1 122

2

，可得

x 0

x 12 limx

1

x 0x 2

x 2

2

）

xlim

解 lim

xlim

x

xlim

1

5 证明 与 为等价无穷小充要条件是 o

证明 与 为等价无穷小 lim

1 1 ，其中lim 0，即 ，其中lim 0；注意到lim

lim 0，即 o ，所以

与 为等价无穷小 o

（８

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6 利用等价无穷小极限 (1)lim

sinxn

x 0

sinx

n m解 lim

sinxn

x 0

limxn 0 sinx

m

x 0x

m 1n m

n m

(2) lim

tanx sinx

x 0sinx

12

解 limtanx sinxx 0sin3x lim1 cosxxx 0sin2xcosx lxi 0xlxi 10cosx 12

sinx x2sin

1

(3) lim

x 01 cosxln(1 x)

sinx x2s11

解 lsinx x2sin

xi 01 cosxln (1x lim1)x 01 cosxlimx 0ln(1 x)

sinx x2sin

1 lim1

x 01 cosxlim

x 0

x

lim

1 sinx

1 x 01 cosx limx 0x limx 0xsinx

12 1 0 12 注意 由于x 0时 11

x ，故不能有sin1

x

x

，从而lim1x 0xsinx 1（4

）x 12

解

xx limx 0 1

x 2

x

（5）limax 1

x 0x

解 limax 1x 0x limxlnax 0x

lna

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（6

）x 1

1

u解 令u x

1，则

x 1 u 0 lim1u 0u 2

1（７）lim(cosx

x 0

x 2sinx)

1

1

lim1

解 lim(cosxx 0x

ln(cosx 2sinx)x 0

x 2sinx)

limx

ln(cosx 2sinx)x 0

e

e

e

lim1

x 0x

ln(1 cosx 2sinx 1)lim

cosx 2sinx 1 e

x 0x

1

x2

limcosx 1 e

x 0x

lim2sinx

x 0x e

lim2x

x 0x limx 0x

e2

ax bx cx1

（8）lim(x 03

)x

xx

x11ax bx cxlim1ax bx cx

解 lim(

a b c

x

xln(3

)x 0

3

) limx 0e

e

x 0xln(3

)

x

x

x

ax bx cx 3

lim1a b c 3

e

x 0xln(1 3

) e

lim

1x 0x

e

3limax 1 limbx 1cx 1

x 0xx 0x limx 0x

1 3 limxlnaxlnbxlnc e

x 0x

limx 0x lim

x 0x

（9）lim

sinx sina

x ax a

2sin

x ax a

x a解 limsinx sina

cos

sinx ax a

lim

x ax a 2lim

x ax alimcosx ax a2

x a

2limx ax alimcosx a

x a2

cosa

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7 计算下列极限 (1) lim

sinx

x x

sinx1

0，故lim 0

x x xx

注意当x ，无sinxx。

解 sinx有界，lim

ln(1 xm)

(2) lim，其中m,n为自然数

x ln(1 xn)

11

mlnx ln( 1)1)ln(1 x)解lim lim lim

x ln(1 xn)x x nnlnx ln(n 1)lnx(n 1)

xx

1ln(m 1m )

m lim

x ln(n 1)nn lnx

m

lnxm(

ln(1 xm)xm

注意lim limn

x ln(1 xn)x x

arctanxarctanx

及lim

x x 0xx

arctanx1

0； 解 arctanx有界，且lim 0，故lim

x x xx

arctanxuulim lim lim 1 x 0u 0tanuu 0ux

§3 连续函数与间断点

(3)lim

1． 指出下列函数的间断点及类型

x2 1

（1）y 2

x 3x 2

x2 1

解 y 是初等函数，故在其定义域都连续，对于x 2,1函数无定义，但在它

x 3x 2

们某个去心邻域有定义，故x 2,1是函数间断点。且

x2 1x 1x2 1x 1lim lim 2，lim lim x 1x 3x 2x 1x 2x 2x 3x 2x 2x 2

故x 1是第一类间断点的可去间断点；x 2是第二类间断点的无穷间断点；

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1 x2n

（2）y lim

n 1 x2n

解 当x 1时，limx

n

2n

，故lim

1 xn 1 x2n

1 12n lim 1 n 1x2n

1 x2n

当x 1时，lim 0

n 1 x2n

1 x2n

当x 1时，limx 0，，故lim 1

n n 1 x2n

2n

1 0

所以y 1

0 1

间断点。

x 1

x 1

1 x 1，故不难知道函数仅有间断点x 1，且是第一类间断点的跳跃x 1x 1

1 x 0 xsin

2 确定 , 使f x 在x 0处连续。 x

x 0

解 当 0时，limx

11

有界，故limxsin 0

x 0x 0xx

111

当 0时，f x sin，yn x 0 ，取xn

x2n 2n 2

0，且sin

则limxn 0，limyn 0，但limf xn 1 0 limf yn ，

n

n n n

故当 0时，limf x 不存在；

x 0

当 0时，取xn ，则limxn 0，limf xn lim 2n

n n n 2 2n 2

1

故当 0时，limf x 不存在；

x 0

，

综上所述 0时，且 0时函数在在x 0处连续。

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3设 x,y R，f x 满足方程f x y f x f y ，且f x 在x 0处连续，证

f x 处处连续。

证明 由 f 0 0 f 0 f 0 ，可得f 0 0，又f x 在x 0处连续，故

limf x f 0 0

x 0

f x f x 对 x R，limf x x lim x 0 x 0

limf x limf x f x 0 f x

x 0

x 0

故f x 处处连续。

nn 1

4 证明（1）x x

x 1在 0,1 内至少有一个根 n 2 。

证明 令f(x) xn xn 1

x 1，显然f(x)在 0,1 上连续，且 f(0)f(1) n 1 0，

由零点定理可知 0,1 ，使得f( ) 0，即方程在 0,1 内至少有一个根 （2）x sinx k k 0 至少有一个正根

证明 令f(x) x sinx k，显然f(x)在 0,k 2 上连续，且

f(0)f(1) k 2 sin k 2 0

由零点定理可知 0,k 2 ，使得f( ) 0，即方程至少有一个正根

（3）f x 在 a,b 上连续，且f a a， f b b，则方程f x x在 a,b 内有一个根。

证明 令g(x) f x x，显然g(x)在在 a,b 上连续，且

g(a)g(b) f a a f b b 0

由零点定理可知 a,b ，使得f( ) 0，即方程f x x在 a,b 内有一个根。

32

（4）证明x x 4x 1 0三个根都是实根。

32

证明 令f(x) x x 4x 1，f(x)在实数轴连续，且

f( 3) 29,f( 2) 5,f(1) 1,f(3) 25

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函数在

3, 5若f x 在 证明 f x m

2n(n 1)6．若f x 证明 因为

x故当x Xf x 取M

max即f x 在 a1：法一：又lim

x 0

6xsinx

故lim 1 3xx 0

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法二：lim 1 3x x 0

x

2

sinx

lime

x 0

2

ln 1 3x sinx

lime

x 0

6xsinx

e

x 0sinx

lim

6x

e6

x 2a 2lim 8，则a x

x a

xx

3a 3a x 2a

lim1 lim1 1型 法一：lim

x a3a

3a

xx a

x

x a x x a x x a

e3a 8 a 2

x 2a xxln x 2a 3a

3a

法二：lim x a xln 1 x xx x a limx

e lim a x

e limx ex a

e

lim

3a

x x a

x

e3a 8 a 2

3sinx x2cos

13：3sinx x2cos

1

lim

x 01 cosxln(1 x) lim1x 01 cosxlimx 0ln(1 x)

3sinx x2cos

1

1 1x2cos 2limx 0

x

1 2 lim3sinx x 0x lim

x 0x

1 2 3limsinxx 0x lim1 1

3x 0xcosx 2

3 0 2 （注limxc1

有界函数乘无穷小；同理limxsin1x

x

x 0x

0，sin

1sin

1

lim

x 0 1，因为limx 0不是00

型） xx4

：

2

2

x 0 x 21

1

x

x

2 x2x

而不是

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x 0

14 5：lim x 0 1

x2 1 xtanx

tanx xxlim 0x2tanx xlimtanx xsec2x 1 0x3 xlim 03x2 tan2x

xlim 03x2 xlimx2 03x2 13

n

6：设常数a 1

2，则limln n 2na 1 n n(1 2a)

1

nnn(1 2a)

limln

n(1 2a)

n

n n 2na 1 n(1 2a) limln n 1 1 n(1 2a) limln n

1 1 n(1 2a)

1 lne

1 2a

1

1 2a

7：法一： 11

型 1limx 0

cosx ln(1 x)

lim 1 ln(1 x)

x 0cosx 1

cosx 11

lim 1 cosx 1 cosx 1

ln(1 x2)

12

x 0

e

（lim

cosx 1

1

2x 0ln(1 x)

lim

2

xx 0

x 12

ln 1 cosx 1

法二：11

lncosxlimln(1 x)

x 0

cosx limlncosxln(1 x)

x 0

e

limln(1 x)

x 0

e

limln(1 x2)

x 0

e

cosx 1

1 limln(1 x2)

x 0

e

lim

cosx 1

e

x 0ln(1 x)

x2 e

limx 0x2

12

18 若x 0时 1 ax2

4

1与sin2x是等价无穷小，则a

1 ax2 14

1 a

4

x2，sin2x

x2

11 ax

2

4

1与sin2x是等价无穷小 lim

1 ax

124

1

x 0

sin2x

1

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又lim

x 0

1 ax

124

1

sinx

a x21

aa24 lim （因为 1 ax 1 x2，sin2x

x 0x44

12

x,ln(1 x)2

x2）

a 4

x2xln(1 x)

lim 2（因为1 cosx9：lim

x 01 cosxx 02

x2

x）

二计算题

xn 1 x1 10，xn 1 ，证明数列 x

n 的极限存在，并求limn

证明：10 x1 x2，设xn xn

1

故xn 1xn，即 xn 是单调递减的。显然 xn 有下界0，

xn

a,由极限保号性知道a 0。 故数列 xn 的极限存在，不妨设lim

n

由xn 1

a a 3

1

x2 esinx 2：求limx 0 x x1 e

解：注意到lime ，lime 0，故有

x 0

x 0

1

x1x

111

xx2 esinx 2 esinx 2 exsinx lim lim lim lim444 x 0 x 0 x 0 x 0 xxxxx

1 ex 1 e 1 e

2 lim

x 0

4

x

1

3x

1 0 0 1 1 0 1 14ex

111

xxx

2 e sinx lim 2 e sinx lim2 e limsinx lim x 0 x 0 x 0 x 0 xxxxxx

1 e1 e1 e

2 0

1 1 1 0

11

xx

2 esinx2 esinx 1 lim 故lim 44

x 0 x x x 0 xx

1 e1 e

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1

x2 esinx 1 所以lim x 0 x x1 e

xn 3设0 x1 3，

xn 1 xn 的极限存在，并求lim

n

证明：

xn 1

32

xn 3 xn 3

22

即当n 2时xn ，故 xn 有界。 当n 2时，

xn 1

xn

n

1 故当n 2时即 xn 是单调递增的。

xn a,由极限保号性知道a 0。

故数列 xn 的极限存在，不妨设limn

由xn 1

a a 。 4： 已知0 x1 ，xn 1 sinxn，

xn存在并求出 （1） 证明limn

32

（2） 计算lim

x

n x n

1xn

证明：(1)显然0 xn 。且当n 2时0 xn 1，故当n 2时xn 1 sinxn xn

xn a,由极限保即 xn 单调递减。故数列 xn 的极限存在，不妨设lim

n

号性知道1 a 0。由xn 1 sinxn得a sina a 0

sinx x

(2) lim lim n n

xn xn lime

n

1 sinxn xn

xnxn

sinxn xn

1xn1xn

lime

n

1sinxnlnxnxn

lime

n

sinxn xn1

ln(1 )xnxn

lime

n

xn

cosx 1lim

x 03x2

1 x2limx 03x2

e计算limx 0

sinx xx lime

x 0

cosx 13x e e

e。

16

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1 xn 1 6

由函数极限和数列极限的关系得lim e n

xn

12xn

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