2010年高考试题—数学理(北京卷)解析版
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2010年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理)(北京卷)解析
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1) 集合P?{x?Z0?x?3},M?{x?Rx?9},则PIM= (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3} 1,B. 解析:
P??0,1,2?2,
M???3,3?0,1,2?,因此P?M??
(2)在等比数列?an?中,a1?1,公比q?1.若am?a1a2a3a4a5,则m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 2,C. 解析:此有mam?a1a2a3a4a5?q?q?q?q?q?11
23410?a1q10,因
(3)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为
3,C.
解析:很容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形,不难选出答案。 (4)8名学生和2位第师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为 (A)A8A9 (B)A8C9 (C) A8A7 (D)A8C7 4,A.
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82828282
解析:基本的插空法解决的排列组合问题,将所有学生先排列,有老师插入9个空中,共有
A92A88种排法,然后将两位
种排法,因此一共有
A8A982种排法。
(5)极坐标方程(?-1)(???)=0(??0)表示的图形是
(A)两个圆 (B)两条直线
(C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线 5,C.
解析:原方程等价于??1或???,前者是半径为1的圆,后者是一条射线。
????????(6)若a,b是非零向量,“a⊥b”是“函数f(x)?(xa?b)?(xb?a)为一次函数”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 6,B.
解析:如果同时有则a?b?0f(x)?(xa?b)?(xb?a)?(a?b)x?(b22?a)x?a?b2,如a?b,则有a?b?0,
b?a,则函数恒为0,不是一次函数,因此不充分,而如果f(x)为一次函数,
?b,因此可得a,故该条件必要。
?x?y?11?0?x(7)设不等式组 ?3x?y?3?0 表示的平面区域为D,若指数函数y=a的图像上
?5x?3y?9?0?存在区域D上的点,则a 的取值范围是
(A)(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ??] 7,A.
x解析:这是一道略微灵活的线性规划问题,作出区域D的图象,联系指数函数y?a的图象,
能够看出,当图象经过区域的边界点(2,9)时,a可以取到最大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点。
(8)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积 (A)与x,y,z都有关
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(B)与x有关,与y,z无关 (C)与y有关,与x,z无关 (D)与z有关,与x,y无关 8,D.
解析:这道题目延续了北京高考近年8,14,20的风格,即在变化中寻找不变,从图中可以
1分析出,?EFQ的面积永远不变,为面A1B1CD面积的4,而当P点变化时,它到面A1B1CD的距离是变化的,因此会导致四面体体积的变化。
第II卷(共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)在复平面内,复数9,(-1,1).
2i1?i?2i(1?i)(1?i)(1?i)?i(1?i)??1?i2i1?i对应的点的坐标为 。
解析:
2?3(10)在△ABC中,若b = 1,c =3,?C?10, 1。
3sinB?sinCc?b?2?1?123,则a = 。
B??6,A??6?B解析:,因此
,故a?b?1
(11)从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)。由图中数据可知a= 。若要从身高在[ 120 , 130),[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140 ,150]内的学生中选取的人数应为 。 11,0.030, 3
解析:由所有小矩形面积为1不难得到a?0.030,而三组身高区间的
人数比为3:2:1,由分层抽样的原理不难得到140-150区间内的人数为3人。
(12)如图,?O的弦ED,CB的延长线交于点A。若BD?AE,AB=4, BC=2, AD=3,则DE
= ;CE= 。
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12,5,27 解析:首先由割线定理不难知道AB?AC?AD?AE,于是AE?8,DE?5,又BD?AE,故
222BE为直径,因此?C?90?,由勾股定理可知CE?AE?AC?28,故CE?27
(13)已知双曲线
xa22?yb22?1的离心率为2,焦点与椭圆
x225?y29?1的焦点相同,那么双
曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 。 13,??4,0?,y??3x
c?2,c?4?4,0?解析:双曲线焦点即为椭圆焦点,不难算出为?,又双曲线离心率为2,即a,
故a?2,b?23,渐近线为
y??bax??3x
(14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。
设顶点P(x,y)的轨迹方程是y?f(x),则f(x)的最小正周期为 ;y?f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴 所围区域的面积为 。
说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续。类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。 14, 4,??1
解析:不难想象,从某一个顶点(比如A)落在x轴上的时候开始计算,到下一次A点落在x轴上,这个过程中四个顶点依次落在了x轴上,而每两个顶点间距离为正方形的边长1,因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹,不妨考察正方形向右滚动,P点从x轴
1上开始运动的时候,首先是围绕A点运动4个圆,该圆半径为1,然后以B点为中心,滚动到C点落地,其间是以BP为半径,旋转90°,然后以C为圆心,再旋转90°,这时候以CP为半径,因此最终构成图象如下:
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P P P A B C P
因此不难算出这块的面积为??1
三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证
明过程。
(15)(本小题共13分)
已知函数f(x)?2cos2x?sinx?4cosx。 ?(Ⅰ)求f()的值;
32(Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值。 15
f(?3)?2cos2?3?sin2?3?4cos?3??1?34?2??9(I)(2)
.4
f(x)?2(2cosx?1)?(1?cosx)?4cosx?3cosx?4cosx?1?3(cosx?23)?222273,x?R
cosx???1,1?, 因为
?73。
所以当cosx??1时,f(x)取最大值6;当
cosx?23时,取
最小值
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即又
A?B??a1?b1,a2?b2,...,an?bn??Sn
ai,bi,ci??0,1?,i?1,2,...,n.
a?c?bi?ci?ai?bi当ci?0时,有ii;
a?c?bi?ci?(1?ai)?(1?bi)?ai?bi当ci?1时,有ii
nd(A?C,B?C)?
故
?i?1ai?bi?d(A,B)
(2)设A?(a1,a2,...,an),B?(b1,b2,...,bn),C?(c1,c2,...,cn)?Sn
记d(A,B)?k,d(A,C)?l,d(B,C)?h 记O?(0,0,...,0)?Sn,由第一问可知:
d(A,B)?d(A?A,B?A)?d(O,B?A)?k
d(A,C)?d(A?A,C?A)?d(O,C?A)?l
d(B,C)?d(B?A,C?A)?h
bi?ai即
中1的个数为k,
bi?ai?ci?ai?1ci?ai中1的个数为l,(i?1,2,...,n)
设t是使
成立的i的个数,则有h?k?l?2i,
由此可知,k,l,h不可能全为奇数,即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个
是偶数。
2m (3)显然P中会产生
Cd(P)?1Cm2个距离,也就是说
?A,B?Pd(A,B),其中
?A,B?Pd(A,B)表
示P中每两个元素距离的总和。
分别考察第i个位置,不妨设P中第i个位置一共出现了ti个1, 那么自然有m?ti个0,
ti(m?ti)?m42,(i?1,2,...,n)因此在这个位置上所产生的距离总和为,
m42n 那么n个位置的总和A,B?Pd(P)?1Cm2?d(A,B)??t(m?t)?n?iii?1?mn42
即
?A,B?Pd(A,B)?mn4Cm22?mn2(m?1)
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下面就一些具体问题来阐述一下解题思路,希望可以指点今后高三学生的一些复习方向。 选择题,第5题,考察知识点:极坐标系,在这个问题的设置上,命题人很巧妙地加入了一个乘积为0的现象,这违背了不少考生在之前的模拟考试中对于极坐标题的认识,认为就是简简单单的坐标转化,这一设置虽未增加多少难度,但构思仍然值得称赞。 选择题,第6题,考察知识点:常用逻辑,向量。借助函数的背景,把几个小知识点灵活地放在一起,若略有粗心便可能失分。 选择题,第7题,考察知识点:线性规划,指数函数。同样是求参数范围,这道题却能突破常规,最大值是3容易想,所有的a大于1却需要学生敏锐的观察力。 选择题,第8题,考察知识点:立体几何。四个运动的点会让考生感觉不太舒服,而几何的美妙之处很大程度上就在于如何从运动中寻找不变,这也是一向北京市命题风格,09年的选择题最后一题也体现了这个风格。 填空题,第14题,一个正方形的滚动虽然是新背景,但也不是第一次在考试中见到,但是这样的滚动方式还是会让不少学生感觉陌生,如何迅速地考察运动状态的每一次变化,就成为了解决这个问题的关键。 解答题整体难度梯度较好,第15题直接考察三角函数虽然有些出人意外,但题目本身中规中矩,跟平时三角函数的练习并没有太大区别,立体几何,概率,导数三道大题也依然维持常态,与我们平时在课堂上讲解的东西保持一致。值得说的是最后两道大题。 19题为解析几何大题,第二问很多考生反映说计算量很大,的确,如果按照一般的计算交点然后计算距离的方式去求三角形面积,计算量的确不小,但是这样做的同学大多数都是拿到题目,未详细思考直接动笔运算,事实上,如果认真考察两个三角形之间的关系,便可以发现这道题目并不需要过于复杂的运算,我后面给出的解法口算即可完成。
最后一题的立意继承了07年的压轴题立意,在离散情况下处理集合的新背景规则,带
有一些组合技巧。考生的瓶颈在于读题上,大多数同学读到复杂的符号和定义的时候便头晕眼花,这说明了许多考生对于数学语言的理解层面尚浅,不能将抽象的符号语言转化为直观的认识,北京近年来的压轴题风格多为此类,下一届的高三应该在这方面多下功夫。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)参考答案
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
(1)B (2)C (3)C (4)A (5)C (6)B (7)A (8)D 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9)(-1,1) (10)1
(11)0.030 3 (12)5 27 (13)(?4,0)
3x?y?0 (14)4 ??1
三、解答题(本大题共6小题,共80分) (15)(共13分)
?2??392??sin?4cos??1??? 解:(I)f()?2cos333344 (II)f(x)?2(2cosx?1)?(1?cosx)?4cosx =3cosx?4cosx?1 =3(cosx?23)?222273,x?R
因为cosx?[?1,1],
所以,当cosx??1时,f(x)取最大值6;当
cosx?23时,f(x)取最小值?73
(16)(共14分)
证明:(I) 设AC与BD交与点G。 因为EF//AG,且EF=1,AG=
12AC=1.
所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF//平面EG,
因为EG?平面BDE,AF?平面BDE, 所以AF//平面BDE.
(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 相互垂直,且CE?AC, 所以CE?平面ABCD.
如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-xyz. 则C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0).
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???? 所以CF?(22,22????????,1),BE?(0,?2,1),DE?(?2,0,1).
???????????????? 所以CF?BE?0?1?1?0,CF?DE??1?0?1?0
所以CF?BE,CF?DE. 所以CF?BDE.
????(III) 由(II)知,CF?(22,22,1)是平面BDE的一个法向量.
???????? 设平面ABE的法向量n?(x,y,z),则n?BA?0,n?BE?0.
?(x,y,z)?(2,0,0)?0 即?
(x,y,z)?(0,?2,1)?0?所以x?0,且z? 令y?1,则z?2y,
2.
所以n?(0,1,2).
???? 从而cos?n,CF??????n?CF3?????。
2|n||CF| 因为二面角A?BE?D为锐角, ? 所以二面角A?BE?D的大小为.
6(17)(共13分)
解:事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”,i=1,2,3,由题意知 P(A1)?45,P(A2)?p,P(A3)?q
(I)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“??0”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 1?P(??0)?1?(II)由题意知
P(??0)?P(A1A2A3)? P(??3)?P(A1A2A3)?整理得 pq?61251545(1?p)(1?q)?pq?2412561256125?119125,
,p?q?1
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由p?q,可得p?35,q?25.
(III)由题意知a?P(??1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) = ?45(1?p)(1?q)?15p(1?q)?15(1?p)q
37125
b?P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3) =
58125
E??0?P(??0)?1?P(??1)?2P(??2)?3P(??3) =(18)(共13分)
解:(I)当k?2时,f(x)?ln(1?x)?x?x,f'(x)? 由于f(1)?ln2,f'(1)?32295
11?x?1?2x
,
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y?ln2?32(x?1)
即 3x?2y?2ln?2?3 (II)f'(x)?x(kx?k?1)1?x,x?(?1,??).
x1?x 当k?0时,f'(x)??.
所以,在区间(?1,0)上,f'(x)?0;在区间(0,??)上,f'(x)?0. 故f(x)得单调递增区间是(?1,0),单调递减区间是(0,??). 当0?k?1时,由f'(x)? 所以,在区间(?1,0)和(f'(x)?0
x(kx?k?1)1?xk?0,得x1?0,x2?1?kk?0 )上,
1?k,??)上,f'(x)?0;在区间(0,1?kk 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(1?kk,??),单调递减区间是(0,1?kk).
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