力的合成与分解 共点力作用下的物体的平衡

专题二：力的合成与分解 共点力作用下的物体的平衡

一、 绳断问题

例1：一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点。若在细绳的C处悬一重物，已知AC>CB，如图所示。则下列说法中正确的应是（ ）

A. 增加重物的重力，BC段先断B. 增加重物的重力，AC段先断 C. 将A端往左移比往右移时绳子容易断

D. 将A端往右移时绳子容易断

例2：两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板的M、N点，M、N两点间的距离为s，如图所示，已知两绳所能经受的最大拉力均为T，则每根绳的长度不得短于______。

练习：如图1—5—10所示，AO、BO、CO是完全相同的三条绳子，将一根均匀的钢梁吊起，当钢梁足够重时，结果AO先断，求BO与CO间夹角满足的条件？

例3：如图所示，绳子AB能承受的最大拉力为100N，用它悬挂一个重50N的物体，现在其中点O施加一水平力F缓慢向右拉动，当绳子断裂时AO段与竖直方向的夹角为多大?此时水平力F的大小为多少?

二、 静态平衡问题

例1：如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处

m2于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。两小球的质量比m1为（ ）

A．

33

B．

23 C．

32

D．

22

练习：两个力合力的大小随这两个力夹角θ变化的情况如图所示，由图中提供的数据求出这两个力的大小.

例2：如图（1）所示，小球质量为m，用两根轻绳BO、CO系好后，将绳固定在竖直墙上，在小球上加一个与水平方向夹角60°的力F，使小球平衡时，两绳均伸直且夹角60°．则力F的大小应满足什么条件？

图（1） 图（2） 图（3）

解析：本题为静力学类问题，并有临界条件需分析，当F力太小时，CO线会松驰，当FCD

3＝0时物体受力如图（2）有Fminsin60°×2＝mg 所以Fmin＝3mg

当F力太大时，OB线会松弛，当FOB＝0时

mg23?3mg 受力如图（3）所示 所以Fmax＝cos30?323综上所述F应满足的条件为：3mg≤F≤3mg

点评：静力学类问题，首要任务应认真画出各状态物体的受力图，再据受力图用正交分解等方法进行运算．临界点的正确判定是解题的关键．

练习：用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图1—2—7所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图1—2—8中的（ ）

解析：方法1：分别以小球a、b为研究对象．小球b受到重力m2g、外加恒力F2．线中张力FT2，平衡时，F2与FT2的合力必与m2g等值反向．小球a受到重力m1g、外加恒力F1、线中张力FT1、以及上面悬线张力FT（方向未定）．由于FT1与FT2、F1与F2等值反向，因此，FT1与F1的合力R1也必定与R2

等值反向，即为竖直向下，与m1g同向．由此可见，小球a平衡时上面悬线的张力FT也应在

竖直方向（图1—2—9）． 方法2：以小球a、b和它们之间的连线组成的整体为研究对象．这一整体受到的外力有：重力m1g、m2g，外加恒力F1、F2，上面悬线弹力FT（方向未定）．由于F1、F2等值反向，互相抵消．平衡时，悬线弹力FT必与两重力（m1＋m2）g等值反向，即悬线应在竖直位置（图1—2—10）．选

项A正确．

三、 动态平衡问题

1、图解法：

例题：如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为FN１，球对板的压力为FN2．在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中，正确的是（ ）

A．FN１和FN2都增大 B．FN１和FN2都减小 C．FN１增大，FN2减小 D．FN１减小，FN2增大

解析：虽然题目中的FN１和FN2涉及的是墙和木板的受力情况，但研究对象还只能取球．由于球处于一个动态平衡过程，FN１和FN2都是变力，画受力

图可以先画开始时刻的，然后再根据各力的关系定性或定量地讨论某力的变化规律．

方法1：

球所受的重力G产生的效果有两个：对墙的压力FN１和对板的压力FN2．根据G产生的效果将其分解．如图甲所示，则F1＝FN１，F2＝FN2．从图中不难看出，当板BC逐渐被放平的过程中，FN１的方向保持不变而大小逐渐减小，FN2与G的夹角逐渐变小，其大小也逐渐减小．因此本题的正确答案为B．

图甲 图乙

方法2：由于球处于平衡状态，所以弹力FN1、FN2的合力F跟重力是一对平衡力，大小、方向均不变，如图甲所示，画出力的矢量三角形如图乙所示，在板BC逐渐放至水平的过程中，除合力F恒定外，墙对球的弹力FN1的方向也不改变，而FN2绕O点为轴顺时转动，α角逐渐减小到0，不难看出，FN1、FN2都逐渐减小，当木板水平时，

FG?FN1＝0，FN2＝G方法3：由图图乙得FN1＝Ftanα＝GtanαFN2＝cos?cos? 由这个表达式不难看出，在BC木板逐渐转成水平的过程中，α角减小，FN1、FN2都逐渐减小． 点评：利用图解法分析动态平衡问题，具有直观、简便等优点，但在使用中有两点需要注意： 1．本方法所适用的基本上都是“三力平衡”问题，且物体所受的三力中，有一个恒力（如G），还有一个是方向不变仅大小变的力（如FN１），另一个则是大小和方向都变的力（如FN2）．否则，用图解法分析不一定简便．

2．作图时要规范，也可仅讨论其中的一个三角形，要特别注意方向变化的那个力，要切实搞清其方向变化的范围．

2、平衡方程式法：

例题：人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，若水的阻力不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是

（A）绳的拉力不断增大 （B）绳的拉力保持不变 （C）船受到的浮力保持不变（D）船受到的浮力不断减小

解析：船受到四个力的作用：重力mg、阻力f、浮力F、拉力T，受力分析如图所示，由于小船匀速靠岸，所以受力平衡，正交分解有；

?Tcos??f,??F?Tsin??mg.

解得：T＝f / cosθ，F＝mg－ftgθ．

在船靠岸的过程中，θ角不断变大，根据三角函数关系可以判断：T不断变大，F不断变小，正确答案为（A）、（D）．

点评：平衡方程式法适用于三力以上力的平衡，且有一个恒力，通过它能够建立恒定不变的方程式。根据其中一个力的变化情况，求出另一个力的变化情况。

练习1：如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜直面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态．今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？

解析：解法1：（解析法） 选球为研究对象，球受三个力作用，即重力G、

斜面支持力FN1、挡板支持力FN2，受力分析如图4—2—7所示，由平衡条件可得

FN2cos（90°－α－β）－ FN1sinα＝0

①

cosα－FN2sin（90°－α－β）－G＝0 ② 联立求解并进行三角变换可得

GGsin?,FN2?FN1sin? ＝cos??sin?cot(???)讨论：

（1）对FN1：①（α＋β）＜90°，β↑→cot（α＋β）↓→FN1↓ ②（α＋β）＞90°，β↑→｜cot（α＋β）｜↑→FN1↓ （2）对FN2：①β＜90°，β↑→sinβ↑→FN2↓

②β ＞90°，β↑→sinβ↓→FN2↑

综上所述：球对斜面的压力随β增大而减小；球对挡板的压力在β＜90°时，随β增大而减小；在β ＞90°时，随β增大而增大；当β＝90°时，球对挡板的压力最小．

解法2：（图解法）

取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力FN1、挡板支持力FN2．因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形，当挡板逆时针转动时，FN2的方向也逆时针转动，作出如图4—2—8所示的动态矢量三角形，由图可见，FN2先减小后增大，FN1随β增大而始终减小．

FN1点评：（1）从上例的分析可以看出，解析法严谨，但演算较繁，解析法多用于定量分析．图解法直观、鲜明，多用于定性分析．

（2）解答此类“动态型”问题时，一定要认清哪些因素保持不变，哪些因素是改变的，这是解答动态问题的关键． 四、 求力的变化情况

例1：如图4—2—12所示，用轻线将质量分别为mA、mB的A、B两物块连接起来，并跨在定滑轮上，现用水平向右的力F拉A物，试问：若使A物缓缓向右沿水平桌面移动，拉力F的大小如何变化？

解析：缓缓移动时，A、B都看做近乎静止，合力均为零，所以线的拉力为

T＝mBg，此时对A受力分析如下图所示．由ΣF＝0得

F＝F′sinα＋Ff＝F′sinα＋μN ＝F′sinα＋μ（mAg－F′cosα） ＝μmAg＋mBg（sinα－μcosα）

当α从0°增大，最后趋近于90°，F从F＝μ（mAg－mBg）开始增大，最后趋近于

F＝μmAg＋mBg

例2：如图，轻绳的A端绕过固定在天花板上的小滑轮，握在站在地上的人手中，B端系一重为G的小球，小球靠在固定的光滑半球的侧面上，人将小球缓缓沿球面从D拉至顶点C的过程中，下列判断正确的是

①人的拉力逐渐变大 A．①② B．③④C．①④ ②球面对球的支持力逐渐变小 D．②③ ③人的拉力逐渐变小 ④球面对球的支持力大小不变 解析：小球被拉到任意位置时，受力如下图所示．由力的三角形和几何三角形相似得

mgFNF??OO?RO?B

RO?B所以FN＝OO?〃mg F＝OO?mg

在缓慢拉起过程中，OO′、R不变，故FN不变．而O′B变小，故F变小．故选B．

例3：有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是

A．FN不变，f变大 B．FN不变，f变小 C．FN变大，f变大 D．FN变大，f变小

解析：以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上始终二力平衡，FN=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA 对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小。答案选B。

例4：如图，细绳AO、BO等长，A点固定不动，在手持B点沿圆弧向C点缓慢运动过程 中，绳BO的张力将（ ）

A．不断变大 B．不断变小C．先变小再变大

D．先变大再变小

解析：方法一：画出结点O的受力如图所示，由O点静止有：

TAsinα=TBsinβ TAcosα+TBcosβ=G

TB=

α角一定，β角从90°减小到0°的过程中，sin(α＋β)先增大，后减小，所以TB是先变小，再变大。故C选项正确。

方法二：由于G的大小和方向不变，TA的方向不变，而TA和TB的合力与G大小相等方向相反，画出矢量三角形如图所示。

从图中可知：TB先减小后增大。

答案：C

点评：物体在三个共点力的作用下平衡，其中一个力的大小和方向不变，一个力的方向不变，讨论另外一个力的大小如何变化，或者求另外一个力的极值问题，一般用方法二先分析“极值点”，再求极值。

例5：建筑工人要将建筑材料运送到高处，常在楼顶装置一个定滑轮（图中未画出），用绳AB通过滑轮将建筑材料提到某一高处，为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人还另外用绳CD拉住材料，使它与竖直墙面保持一定的距离L，如图所示，若不计两根绳的重力，在建筑材料提起的过程中，绳AB和CD的拉力T1和T2的大小变化情况是（ ）

A．T1增大，T2增大

B．T1增大，T2不变

C．T1增大，T2减小 D．T1减小，T2减小

解析：以C点为研究对象，对其进行受力分析，受力图如图所示，建立坐标系，由平衡条件可得：

设绳AC与竖直方向的夹角为θ，tanθ=

，其中AE不变，CE

单调变小，所以θ单调增大，如图所示，由①②式得mg=T2(cotθsinα-cosα)，当α变小，cosα变大，sinα变小，θ变大，cotθ变

小，故（cotθsinα-cosα）减小，T2增大，由②式得T1增大，故A

项正确。

答案：A

点评：①作出物体的运动情景图是本题的一个关键点。

②作出受力图，应用共点力平衡条件分析，T1、T2的方向角α与θ如何变化是解题的突破口，设CD与竖直方向的夹角为α，tanα=

，其中DF不变，CF单调增大，α单调减小。更简单的思维方法

是：因α变小，θ变大，则∠DCA变大，由于T1与T2的合力大小等于物体所受重力大小（合力一定），分力T1与T2必变大。

例6：如图所示，保持θ不变，将B点向上移，则BO绳的拉力将（ ） A．逐渐减小 B．逐渐增大

C．先减小后增大 D．先增大后减小

解析：对结点O受力分析如图甲所示．由于结点O始终处于平衡状态，合力为零，故F1、FB、FA经过平移可构成一个矢量三角形，其中F1＝mg，其大小和方向始终不变；FA方向也不变，大小可变；FB的大小、方向都在变．在绳向上偏移的过程中，可能作出一系列矢量三角形如图乙所示，显而易见在FB变化到与FA垂直前，FB是逐渐变小的，然后FB又逐渐变大．同时看出FA是逐渐变小的，故C正确．应用此方法可解决许多相关动态平衡问题．

甲 乙 答案： C

五、 求力的取值范围

例题：跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上（如图（甲）所示），已知物体A的质量为m ，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ

解析：先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力T的作用，根据平衡条件有： T=mBg ①

再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力N、轻绳拉力T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图（乙）所示，根据平衡条件有：

N-mgcosθ＝0 ② T-fm- mgsinθ＝0 ③

由摩擦力公式知：fm=μN ④

以上四式联立解得mB=m(sinθ＋μcosθ)

再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：

N-mgcosθ=0 ⑤ T＋fm- mgsinθ=0 ⑥

由摩擦力公式知：fm=μN ⑦

①⑤⑥⑦四式联立解得mB=m(sinθ-μcosθ)

综上所述，物体B的质量的取值范围是：m(sinθ-μcosθ)≤mB≤m(sinθ＋μcsθ) 练习1：把一个力分解为两个力F1和F2，已知合力F=40N，分力F1与合力F的夹角为 30°。若F2取某一数值，可使F1有两个大小不同的数值，则F2的取值范围是 。

解析：作出合力与分力的矢量图，由图来分析分力F2的动态变化情况。如图所示，当F2>Fsin30°=20N的某一值时（如图中AC=AD，表示F2的大小），则F1必有两解（OC和OD分别为F1对应的值）。但当F2逐渐增大到F2≥F时，则Fl便只有一解了。所以F2的取值范围应为20N

练习2：用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。

解析：从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30°斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定：

3时，3时，当f=0；当

方向竖直向上。

练习3：如图所示，用光滑的粗铁丝做成一直角三角形，BC水平，AC边竖直，∠ABC＝α，AB及AC两边上分别套有细线套着的铜环，当它们静止时，细线跟AB所成的角θ的大小为（细线长度小于BC）

A．θ＝α

?B．θ＞2

C．θ＜α

?D．α＜θ＜2

F?2GF?2Gf?233F?Gf?G?FF?G3时，2，2，方向竖直向下；当

解析：若铜环Q质量为零，则它仅受线的拉力和铁丝AC的弹力，它们是一对平衡力，由于铁

丝对Q环的弹力垂直于AC，则细线必定垂直于AC，此时θ＝α，由于Q环的质量大于零，故θ＞

??α，同样的道理，若铜环P的质量为零，则θ＝2，而铜环P的质量大于零，则θ＜2，故α＜

?θ＜2．选项D正确．

答案：D

六、 用力的合成与分解求解平衡问题：

1、 直角三角形法：适用于对三力构成直角三角形进行分解，利用三角函数关系求解。

例1：重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。静止时绳两端的切线方向与天花板成α角。求绳的A端所受拉力F1和绳中点C处的张力F2。

解：以AC段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点（如图中的A、C、P点），但它们必为共点力。设它们延长线的交点为O，用平行四边形定则作图可得：

GGF1?,F2?2sin?2tan?

例2：量为m的匀质正方形木板平放在动摩擦因数为μ的水平面上，现将其割成如图所示的三部分，现用力F沿水平方向垂直于A的底边推A，为使三块不分离，且一起匀速运动，求A 对C的摩擦力的大小。

解析：分析C在水平方向的受力如图所示，由整体法知 fC=

由C处于平衡状态知 fAC= fCcosθ

由几何三角形知 cosθ= 即fAC=

答案：fAC=

练习：两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各拴一个小球，两球质量分别为m1

和m2，两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45°和30°，如图所示，则m1:m2=___________

解析： 两线张开的角度一定，说明两球处于静止状态，即每一小球所受合外力为零，据此可分别找出它们的重力与相互间恒定斥力的关系，进而求解质量关系。

分别分析m1、m2受力情况如图所示，因为两线等长，所以∠OAB=∠OBA=α，利用正弦定理有：

对m1： F/sin45°=m1g/sinα ① 对m2： F/sin30°= m2g/sinα ② ①/②得 m1/m2=sin30°/sin45° 即 m1：m2=1： 答案：1：

2、 相似三角形法：适用于对三力构成的斜三角形进行分解，找出与力的矢量三角形相似的三角形及其边角关系，用相似三角形对应边成比例求解。

例题：如图5所示，轻绳长为L，A端固定在天花板上，B端系一个重量为G的小球，小球静止在固定的半径为R的光滑球面上，小球的悬点在球心正上方距离球面最小距离为h，则轻绳对小球的拉力和半球体对小球的支持力分别是多大？

解：由图6可知：

△BCD∽△AOB G/（R+h）=N/R=T/L N=GR/（R+h）

T=GL/（R+h）

练习：如图所示，光滑半球的半径为R，有一质量为m的小球用一细线挂靠在半球上，细线上端通过一个定滑轮，当用力将小球缓慢往上拉的过程中，细线对小球的拉力大小F1和小球紧压球面的力F2变化情况是（ ）

A. 两者都变小 B. 两者都变大

C. F变小，F2不变 D. F不变，F2变小

解析：当小球往上移动的过程中，小球所受的重力不变，拉力F与重力的分力F1大小相等方向相反，并且随着小球上移，Fl与F2的方向均发生变化，此时力的平行四边形的形状变化规律不直观，力随角度变化的关系也难建立。而此处所求的力的变化关系是由于OA段细线缩短引起的，因此可建立与OA线段长之间的变化关系。如图7所示，设OA段长为L，小球半径为r，O点到半球顶的距离

FFG?1?2为d。利用三角形相似得d?RL?rR?r 当小球往上移动时，L减小，d、r和R都不变，因此F1减小（即F减小）F2不变，故选项C正确。

答案：C

3、 正交分解法：适用于对较复杂的多力平衡问题进行分解，列出平衡方程式求解。一般以较多已知力的方向建立直角坐标系。

例题：如图，绳AO能承受的最大张力为150牛顿，绳BO能承受的最大张力为100牛顿，绳CO的强度能吊起足够重的重物．α=60°，β=30°，求此装置能

悬挂的最大重物是多少牛顿？

解：以绳的结点O为研究对象，其受力情况如图，建立正交坐标系可得：

点评：①此题的正交坐标系也可以以水平和坚直方向为轴建立，再列平衡方程求解．

②这类涉及最值的问题，用极端假设的方法来分析能够简化解题过程．

练习：如图，甲为质量m=5kg的物体，置于倾角为θ=30°的粗糙斜面上，M=40kg．用平行于斜面的大小为40牛顿的力推物体，使其沿斜面向上匀速运动M仍静止不动．求地面对斜面M的静擦力是多大？

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