高一 三角恒等变换讲义

三角恒等变换讲义

3.1 两角差的余弦公式

1．两角和与差的余弦公式

C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________. C(α＋β)：cos(α＋β)＝________________________________.

2．两角和与差的正弦公式

S(α＋β)：sin(α＋β)＝________________________________. S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________.

3. 两角和与差的正切公式

(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝__________________. (2)T(α－β)：tan(α－β)＝__________________.

4．两角和与差的正切公式的变形： tan α＋tan β＝__________________.

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________. tan α·tan β＝__________________.

考点一 给角求值

例1 求下列各式的值． (1)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)． (2)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；

例2 求下列各式的值． (1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.

1

变式训练1 求下列各式的值．

(1)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)．

(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (3)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；

变式训练2 求下列各式的值．

3＋tan 15°(1)；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°. 1－3tan 15°

考点二 给值求值

π3π123

例3 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．

24135

回顾归纳 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．例如：

α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，

11

α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．

22

821

变式训练1 已知α，β均为锐角，cos α＝，sin(α－β)＝，求cos β的值．

1729

2

考点三 给值求角型

π111

0，?，求β的值． 例4 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈??2?714

例5 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.

回顾归纳 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：

①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值． (2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．

510

变式训练1 已知α、β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β的值．

510

ππππ

变式训练2 已知tan α，tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，2222

求角α＋β.

考点四 证明三角恒等式

例6 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.

3

回顾归纳 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．

sin?2α＋β?sin β

变式训练1 证明：－2cos(α＋β)＝.

sin αsin α

加强练习： sin 68°－cos 60°sin 8°1．＝________. cos 68°＋sin 60°sin 8°

31

2. 若sin α＋sin β＝1－，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为( )

22

133 A. B．－ C. D．1 224

3. A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定

π1＋α?＝2，则4. 已知tan?的值为________． ?4?2sin αcos α＋cos2α

3.2 二倍角的正弦、余弦、正切公式

1．倍角公式 (1)S2α：sin 2α (2)C2α：cos 2α (3)T2α：tan 2α

2．倍角公式常用变形 sin 2αsin 2α(1)＝________，＝________； 2sin α2cos α(2)(sin α±cos α)2＝____________；

(3)sin2α＝____________，cos2α＝____________.

(4)1－cos α＝____________，1＋cos α＝____________.

考点一 化简求值

4

例1 求下列各式的值．

π512

(1)coscosπ；(2)－cos215°.

121233

回顾归纳 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法．

变式训练1 求值：(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；

cos 10°

(2)(tan 10°－3)·. sin 50°

cos 2α2

变式训练2：若＝－，则cos α＋sin α的值为( )

π2α－?sin??4?

7117

A．－ B．－ C. D.

2222

考点二 化简或证明

3－4cos 2A＋cos 4A

例2 求证：＝tan4 A.

3＋4cos 2A＋cos 4A

回顾归纳 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明．

1＋sin 2θ－cos 2θ

变式训练1 化简：.

1＋sin 2θ＋cos 2θ

5

1－tan θcos 2θ

变式训练2：若＝1，则的值为( )

2＋tan θ1＋sin 2θA．3

1－cos θ＋sin θθ

变式训练3：已知tan ＝3，则＝______.

21＋cos θ＋sin θ

考点三 条件求值

π?sin 2x－2sin2x45π7π?例3 若cos?4－x?＝－，

5441＋tan x

回顾归纳 本题采用的“凑角法”是解三角问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式．

π?5πcos 2x－x＝，0

B．－3

C．－2

1D．－ 2

3.3 简单的三角恒等变换

1．半角公式

αααα

(1)S：sin ＝__________；(2)C：cos ＝________；

2222 2．辅助角公式：

asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，cos φ＝__________，sin φ＝______________ 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定．

考点一 半角公式的应用

45πθθ

例1 已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan 的值．

5222

13

变式训练1：设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝

22

1－cos 50°

，则有( ) 2

6

A．a>b>c B．a 考点二 利用辅助角公式研究函数性质

例2 已知函数f?x??sin2x?23sinxcosx?3cos2x （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；

??（Ⅱ）已知f????3，且????0,?，求α的值．

?2?

回顾归纳 研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx的性质时，先化成f(x)＝Asin(ω′x＋φ)＋B的形式后，再解答．这是一个基本题型，许多题目化简后都化归为该题型．

ππ

x－?＋cos x＋a(a∈R)． 变式训练1 已知函数f(x)＝sin(x＋)＋sin??6?6

(1)求函数y＝f(x)的单调增区间；

ππ

－，?上的最大值与最小值的和为3，求实数a的值． (2)若函数f(x)在??22?

ππ

2x－?＋2sin2?x－? (x∈R)． 变式训练2：已知函数f(x)＝3sin?6???12?(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

变式训练3：求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值与最小值．

7

π?

变式训练4：已知函数f(x)＝2sin2?cos 2x. ?4＋x?－3·(1)求f(x)的周期和单调递增区间；

ππ?(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈??4，2?上有解，求实数m的取值范围．

考点三 三角函数在实际问题中的应用

π

例3 如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD

3

是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

回顾归纳 利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．

变式训练1 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)．

变1图 变2图

变式训练2.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于______.

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