【最新】江苏专用版高考数学专题复习专题9平面解析几何第64练抛物线练习理
更新时间:2023-09-02 05:55:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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【最新】江苏专用版高考数学专题复习专题9平面解析几何第64练抛物线练习理
1 (江苏专用)2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第64
练 抛物线练习 理
焦点在x 轴上,若曲线C 经过点P (1,3),则其焦点到准线的距离为________.
2.已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交
点.若FP →=4FQ →,则QF =____________.
3.已知抛物线C :y 2=4x ,顶点为O ,动直线l :y =k (x +1)与抛物线C 交于A ,B 两点,则OA →·OB →的值为________.
4.(2016·长春一模)过抛物线y 2=2px (p >0)
的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点,则AF BF
=________.
5.(2016·无锡模拟)如图,过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ,B ,C ,若BC =2BF ,且AF =3,则抛物线的方程是______________.
6.(2016·黑龙江哈尔滨三中一模)直线l 与抛物线C :y 2
=2x 交于A ,B 两点,O 为坐标原
点.若直线OA ,OB 的斜率k 1,k 2满足k 1k 2
=23
,则l 过定点________. 7.(2016·常州模拟)如图,抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,A 为抛物线C 上的点,以F 为圆心,p 2
为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ,∠AFO =120°,A 在y 轴上的投影为N ,则∠ONB =________.
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8.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为________.9.(2016·福建质检)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P,Q两点,分别过P,Q两点作PP1,QQ1垂直于抛线物的准线于P1,Q1,若PQ=2,则四边形PP1Q1Q的面积是________.
10.(2016·镇江模拟)已知过拋物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O是坐标原点,AF=2,则BF=______,△OAB的面积是________.
11.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.
12.(2016·石家庄质量检测二)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为抛物线C的准线与x轴的交点.若tan∠AMB=22,则AB=________.
13.过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若AB=8,AF<BF,则BF=________.
14.(2016·扬州中学月考)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,并且△ABC的重心是抛物线的焦点,BC边所在的直线方程为4x+y-20=0,则抛物线的方程为__________.
2
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3 答案精析
1.92
2.3
3.5
4.13
解析 设抛物线的准线为l :x =-p 2
,设FB =m ,FA =n ,过A ,B 两点向准线l 作垂线AC ,BD ,
由抛物线定义知AC =FA =n ,BD =FB =m ,
过B 作BE ⊥AC ,E 为垂足,
AE =CE -AC =BD -AC =m -n ,
AB =FA +FB =n +m .
在Rt△ABE 中,∠BAE =60°,
cos 60°=AE AB =m -n
m +n =12,
即m =3n .
故AF BF =n m =m 3m =13.
5.y 2=3x
解析 分别过点A ,B 作准线的垂线AE ,BD ,分别交准线于点E ,D ,则BF =BD , ∵BC =2BF ,∴BC =2BD ,
∴∠BCD =30°,
又AE =AF =3,∴AC =6,
即点F 是AC 的中点,
根据题意得p =32,
∴抛物线的方程是y 2=3x .
6.(-3,0)
解析 设直线l 的方程为y =kx +b ,由????? y 2
=2x ,y =kx +b ,得k
2
x 2+(2kb -2)x +b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2kb -2
k 2,
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4 x 1x 2=b 2k 2.由k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=23
,得2x 1x 2-3y 1y 2=2x 1x 2-3(kx 1+b )·(kx 2+b )=(2-3k 2)x 1x 2-3kb (x 1+x 2)-3b 2=0,代入可得b =3k ,所以y =kx +3k =k (x +3),所以直线l 一定过点(-3,0).
7.30°
解析 因为点A 到抛物线C 的准线的距离为AN +p 2,点A 到焦点F 的距离为AB +p 2
,所以AN =AB ,因为∠AFO =120°,所以∠BAN =60°,所以在△ABN 中,∠ANB =∠ABN =60°,则∠ONB =30°.
8.2
解析 由题意知,抛物线的准线l :y =-1,过点A 作AA 1⊥l 于点A 1,过点B 作BB 1⊥l 于点B 1,设弦AB 的中点为M ,过点M 作MM 1⊥l 于点M 1,则MM 1=AA 1+BB 12.因为AB ≤AF +BF (F
为抛物线的焦点),即AF +BF ≥6,所以AA 1+BB 1≥6,2MM 1≥6,MM 1≥3,故点M 到x 轴的距离d ≥2.
9.1
解析 由题意得,四边形PP 1Q 1Q 为直角梯形,PP 1+QQ 1=PQ =2,P 1Q 1=PQ ·sin 30°=1,∴S =PP 1+QQ 12·P 1Q 1=1.
10.2 2
解析 设A (x 0,y 0),由抛物线定义知x 0+1=2,
∴x 0=1,则直线AB ⊥x 轴,
∴BF =AF =2,AB =4.
故△OAB 的面积S =12AB ·OF =12
×4×1=2. 11.2 6
解析 如图所示,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x 2
=-2py (p >0).
由题意将点A (2,-2)代入x 2
=-2py ,
得p =1,故x 2=-2y .
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5 设B (x ,-3),代入x 2=-2y 中,得x =6,
故水面宽为2 6 米.
12.8
解析 根据对称性,如图所示,不妨设
l :x =my +1(m >0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由????? y 2=4x ,x =my +1,得y 2
-4my -4=0, ∴y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,x 1x 2=y 214·y 224
=1,x 1+x 2=m (y 1+y 2)+2=4m 2+2. ∵tan∠AMB =tan(∠AMF +∠BMF ),
∴y 1x 1+1+-y 2x 2+11-y 1x 1+1·-y 2x 2+1
=22, 即y 1my 2+
-y 2my 1+my 1+my 2++y 1y 2
=22, 解得y 1-y 2=42m 2, ∴4m 2+1=42m 2
,
解得m 2=1(负值舍去),
∴AB =AF +BF =x 1+1+x 2+1=4m 2+4=
8.
13.4+2 2
解析 由y 2
=4x ,得焦点F (1,0).又AB =8,故AB 的斜率存在(否则AB =4).设直线AB 的方程为y =k (x -1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y =k (x -1)代入y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,故x 1+x 2=2+4k 2,由AB =AF +BF =x 1+x 2+2=8,得x 1+x 2=2+4k 2=6,即k 2=1,则x 2-6x +1=0,又AF <BF ,所以x 1=3-22,x 2=3+22,故BF =x 2+1=3+22+1=4+2 2.
14.y 2
=16x
解析 设抛物线的方程为y 2=2px ,
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6 由????? 4x +y -20=0,y 2=2px ,
可得2y 2+py -20p =0,
由Δ>0,得p >0或p <-160, 设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2), 则y 1+y 2=-p 2,
所以x 1+x 2=5-y 14+5-y 24
=10-14(y 1+y 2)=10+p 8,
设A (x 3,y 3),由三角形重心为F (p 2,0), 可得x 1+x 2+x 33=p 2,y 1+y 2+y 33=0, 所以x 3=11p 8-10,y 3=p 2,
因为A 在抛物线上,
所以(p 2)2=2p (118p -10),
从而p =8,所以所求抛物线的方程为 y 2=16x .
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