【最新】江苏专用版高考数学专题复习专题9平面解析几何第64练抛物线练习理

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1 （江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第64

练 抛物线练习 理

焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________．

2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交

点．若FP →＝4FQ →，则QF ＝____________.

3．已知抛物线C ：y 2＝4x ，顶点为O ，动直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，则OA →·OB →的值为________．

4．(2016·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)

的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AF BF

＝________.

5．(2016·无锡模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则抛物线的方程是______________．

6．(2016·黑龙江哈尔滨三中一模)直线l 与抛物线C ：y 2

＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原

点．若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2

＝23

，则l 过定点________． 7．(2016·常州模拟)如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p 2

为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的投影为N ，则∠ONB ＝________.

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8．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．9．(2016·福建质检)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛线物的准线于P1，Q1，若PQ＝2，则四边形PP1Q1Q的面积是________．

10．(2016·镇江模拟)已知过拋物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O是坐标原点，AF＝2，则BF＝______，△OAB的面积是________．

11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．

12．(2016·石家庄质量检测二)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点．若tan∠AMB＝22，则AB＝________.

13．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB＝8，AF＜BF，则BF＝________.

14．(2016·扬州中学月考)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，并且△ABC的重心是抛物线的焦点，BC边所在的直线方程为4x＋y－20＝0，则抛物线的方程为__________．

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3 答案精析

1.92

2.3

3.5

4.13

解析 设抛物线的准线为l ：x ＝－p 2

，设FB ＝m ，FA ＝n ，过A ，B 两点向准线l 作垂线AC ，BD ，

由抛物线定义知AC ＝FA ＝n ，BD ＝FB ＝m ，

过B 作BE ⊥AC ，E 为垂足，

AE ＝CE －AC ＝BD －AC ＝m －n ，

AB ＝FA ＋FB ＝n ＋m .

在Rt△ABE 中，∠BAE ＝60°，

cos 60°＝AE AB ＝m －n

m ＋n ＝12，

即m ＝3n .

故AF BF ＝n m ＝m 3m ＝13.

5．y 2＝3x

解析 分别过点A ，B 作准线的垂线AE ，BD ，分别交准线于点E ，D ，则BF ＝BD ， ∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BD ，

∴∠BCD ＝30°，

又AE ＝AF ＝3，∴AC ＝6，

即点F 是AC 的中点，

根据题意得p ＝32，

∴抛物线的方程是y 2＝3x .

6．(－3,0)

解析 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由????? y 2

＝2x ，y ＝kx ＋b ，得k

2

x 2＋(2kb －2)x ＋b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb －2

k 2，

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4 x 1x 2＝b 2k 2.由k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝23

，得2x 1x 2－3y 1y 2＝2x 1x 2－3(kx 1＋b )·(kx 2＋b )＝(2－3k 2)x 1x 2－3kb (x 1＋x 2)－3b 2＝0，代入可得b ＝3k ，所以y ＝kx ＋3k ＝k (x ＋3)，所以直线l 一定过点(－3,0)．

7．30°

解析 因为点A 到抛物线C 的准线的距离为AN ＋p 2，点A 到焦点F 的距离为AB ＋p 2

，所以AN ＝AB ，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB ＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°.

8．2

解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 于点M 1，则MM 1＝AA 1＋BB 12.因为AB ≤AF ＋BF (F

为抛物线的焦点)，即AF ＋BF ≥6，所以AA 1＋BB 1≥6,2MM 1≥6，MM 1≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2.

9．1

解析 由题意得，四边形PP 1Q 1Q 为直角梯形，PP 1＋QQ 1＝PQ ＝2，P 1Q 1＝PQ ·sin 30°＝1，∴S ＝PP 1＋QQ 12·P 1Q 1＝1.

10．2 2

解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2，

∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴，

∴BF ＝AF ＝2，AB ＝4.

故△OAB 的面积S ＝12AB ·OF ＝12

×4×1＝2. 11．2 6

解析 如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2

＝－2py (p ＞0)．

由题意将点A (2，－2)代入x 2

＝－2py ，

得p ＝1，故x 2＝－2y .

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5 设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，

故水面宽为2 6 米．

12．8

解析 根据对称性，如图所示，不妨设

l ：x ＝my ＋1(m ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由????? y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2

－4my －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝y 214·y 224

＝1，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2. ∵tan∠AMB ＝tan(∠AMF ＋∠BMF )，

∴y 1x 1＋1＋－y 2x 2＋11－y 1x 1＋1·－y 2x 2＋1

＝22， 即y 1my 2＋

－y 2my 1＋my 1＋my 2＋＋y 1y 2

＝22， 解得y 1－y 2＝42m 2， ∴4m 2＋1＝42m 2

，

解得m 2＝1(负值舍去)，

∴AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝4m 2＋4＝

8.

13．4＋2 2

解析 由y 2

＝4x ，得焦点F (1,0)．又AB ＝8，故AB 的斜率存在(否则AB ＝4)．设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，故x 1＋x 2＝2＋4k 2，由AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝2＋4k 2＝6，即k 2＝1，则x 2－6x ＋1＝0，又AF ＜BF ，所以x 1＝3－22，x 2＝3＋22，故BF ＝x 2＋1＝3＋22＋1＝4＋2 2.

14．y 2

＝16x

解析 设抛物线的方程为y 2＝2px ，

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6 由????? 4x ＋y －20＝0，y 2＝2px ，

可得2y 2＋py －20p ＝0，

由Δ＞0，得p ＞0或p ＜－160， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－p 2，

所以x 1＋x 2＝5－y 14＋5－y 24

＝10－14(y 1＋y 2)＝10＋p 8，

设A (x 3，y 3)，由三角形重心为F (p 2，0)， 可得x 1＋x 2＋x 33＝p 2，y 1＋y 2＋y 33＝0， 所以x 3＝11p 8－10，y 3＝p 2，

因为A 在抛物线上，

所以(p 2)2＝2p (118p －10)，

从而p ＝8，所以所求抛物线的方程为 y 2＝16x .

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b9ai.html