2015南通市高三数学三模试卷

南通市2015届高三第三次调研测试

数学Ⅰ

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

参考公式：锥体的体积V?1Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 设集合A?{3，m}，B?{3m，3}，且A?B，则实数m的值是 ▲ ． 2． 已知复数z?(1?i)(1?2i)(i为虚数单位)，则z的实部为 ▲ ． ?|x|≤1,3． 已知实数x，y满足条件?则z?2x?y的最小值是 ▲ ．

|y|≤1,? 150]4． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50， 75)这一组的频数为100，则n的值为 ▲ ．中，其频率分布直方图如图所示．已知[50，

3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

0.016 0.012 0.008 0.004 0 频率 组距 N y←5 开始 输入x x<4 Y y←x2?2x+2 输出y 50 75 100 125 150 时间(小时) （第4题）

结束 （第5题）

5． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为 ▲ ．

数学Ⅰ试卷 第1页（共20页）

6． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为 ▲ ．

y27． 在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x?8y的焦点，则F到双曲线x??1的渐近线

922的距离为 ▲ ．

8． 在等差数列{an}中，若an?an?2?4n?6(n∈N*)，则该数列的通项公式an? ▲ ． 9． 给出下列三个命题：

①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；

③“a＝0”是“函数f(x)?x3?ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件． 其中正确命题的序号为 ▲ ．

10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积

V ?? ▲ cm3．

（第10题）

A D C

F P B E （第11题）

11． 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交

?????????上的动点，则PC?PD的最小值为 ▲ ． AD于点F．若P为劣弧EF?2x3?3x2?m，0≤x≤1，12． 已知函数f(x)??若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交

mx?5， x＞1.?点，则实数m的取值范围为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy中，过点P(?5，a)作圆x2?y2?2ax?2y?1?0的两条切线，切点分

别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且

y2?y1x1?x2?2??0，则实数a的值为 ▲ ． x2?x1y1?y214．已知正实数x，y满足x?24?3y??10，则xy的取值范围为 ▲ ．xy数学Ⅰ试卷 第2页（共20页）

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 ．．．．．．．

证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形． （1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1； （2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，

求证：DE∥平面ABC1．

16．（本小题满分14分）

A B （第15题）

E C A1

B1 D C1

??已知函数f(x)?Asin(?x??)(其中A，?，?为常数，且A＞0，?＞0，?＜?＜)的部分

22图象如图所示．

（1）求函数f(x)的解析式；

??3y 2 O ?2 （第16题） ?? 33?（2）若f(?)?，求sin(2??)的值．

62

17．（本小题满分14分）

x x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a＞b＞0)的两焦点分别为F1(?3， 0)，

ab1F2(3， 0)，且经过点A(3， )．

2

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直

线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2?k3k4． ①求k1k2的值； ②求OB2+OC2的值．

F1 D y O B C F2 x （第17题）

数学Ⅰ试卷 第3页（共20页）

18．（本小题满分16分）

为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120°的扇形空地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，

?上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为503m；其余OQ上，C，D在圆弧PQ

空地为绿化区域，且CD长不得超过．．．．200 m．

（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大；

（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2?，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为?的

函数，并求出S的最大值．

19．（本小题满分16分）

2an1已知数列{an}，{bn}，a1=1，bn?(1?2)?，n∈N?，设数列{bn}的前n项和为Sn．

an?1an?1C Q

D B P A O （第18题）

（1）若an?2n?1，求Sn；

（2）是否存在等比数列{an}，使bn?2?Sn对任意n∈N*恒成立？若存在，求出所有满足条件

的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；

（3）若a1≤a2≤?≤an≤?，求证：0≤Sn＜2．

20．（本小题满分16分）

数学Ⅰ试卷 第4页（共20页）

已知函数f(x)?a?1． ?lnx（a∈R）

x（1）若a=2，求f(x)在(1，e2)上零点的个数，其中e为自然对数的底数； （2）若f(x)恰有一个零点，求a的取值集合；

（3）若f(x)有两零点x1，x2(x1＜x2)，求证：2＜x1+x2＜3ea?1?1．

南通市2015届高三第三次调研测试

数学Ⅱ（附加题）

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分 钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填 写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。 3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它 位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4?1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，

AH⊥PB于H．

B．[选修4?2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

P B H C A （第21（A）题）

O 求证：PA?AH?PC?HB．

?01??，点A，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，矩阵M??1??0??2?B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A?，B?，C?，求△A?B?C?的面积．

数学Ⅰ试卷 第5页（共20页）

于是，ax2x1?1?x1lnx1＜

1(x1?p)x?x1lnp．

1?p整理，得(2?lnp?a)x21?(2p?ap?plnp?1)x1?p＞0， 即，x21?(3ea?1?1)x1?ea?1＞0．

同理，x22?(3ea?1?1)x?12?ea＜0．

故，x2a?12?(3e?1)x2?ea?1＜x21?(3ea?1?1)xa?11?e，

(x?12?x1)(x2?x1)＜(3ea?1)(x2?x1)，

于是，xa?11?x2＜3e?1．

综上，2＜x1+x2＜3ea?1?1．?????????????????????数学Ⅰ试卷 第16页（共20页）

分

16

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4?1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，

AH⊥PB于H．

证：连AC，AB．

B．[选修4?2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

因BC为圆O的直径，故AC⊥AB． 又AH⊥PB，故AH2?CH·HB，即

P B H C A （第21（A）题）

O 求证：PA·AH?PC·HB．

AHHB．???????????? ?CHAH5分

因PA为圆O的切线，故∠PAC?∠B． 在Rt△ABC中，∠B+∠ACB??0°． 在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB??0°． 所以，∠HAC?∠B． 所以，∠PAC?∠CAH， 所以，所以，

P C A （第21（A）题答图）

H O B PCPAAHPA，即． ??CHAHCHPCPAHB，即PA·AH?PC·HB．???????????????? ?PCAH10分

?01??，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵M??1??0??2?点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A?，B?，C?，求△A?B?C?的面积．

?2??0??0??2??0??1???解：因M?????，M?????，M???1，

?0??0??0???1??2?????2?

1即A?(0，0)，B?(0，?1)，C?(2，?)．???????????????????? 6分

21故S??A?B??2?1．???????????????????????? 10分

2数学Ⅰ试卷 第17页（共20页）

C．[选修4?4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

?x?rcos?，在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（?为参数，r为常数，r＞0）．以

y?rsin?，?原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

?2?cos(??)?2?0．若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB?22，求r的值．

4?解：由2?cos(??)?2?0，得?cos???sin??2?0，

4

即直线l的方程为x?y?2?0．???????????????????? 3分 ?x?rcos?，由?得曲线C的普通方程为x2?y2?r2，圆心坐标为(0,0)，??? 6分 ?y?rsin?，

所以，圆心到直线的距离d?2，由AB?2r2?d2，则r?2．?????? 10分

D．[选修4?5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：

14936． ??≥a?bb?cc?da?d证：因a＞b＞c＞d，故a?b＞0，b?c＞0，c?d＞0．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 ．．．．．．． 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB． （1）求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；

（2）点E在侧棱AA1上，若二面角E?BD?C1的余弦值为AE求的值． AA1数学Ⅰ试卷 第18页（共20页）

A1 D1 49??12??故[(a?b)?(b?c)?(c?d)]??≥(1?2?3)?36，????? 6分 ?a?bb?cc?d?所以，

14936．??????????????????? 10分 ??≥a?bb?cc?da?d C1 B1

3， 3D A B （第22题）

C

解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示空间直角坐标系D?xyz． 设AB?1，则D（0，0，0），A（1，0，0）， B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），

A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2）． （1）设AD1与面BB1D1D所成角的大小为?，

D C A1 D1 z C1 B1 2分

?????AD1?(?1，， 0 2)，

设平面BB1D1D的法向量为n?（x，y，z），

A B x （第22题答图）

y ??????????????????DB?(1,1,0)，DD1?(0,0,2)，则n?DB?0,n?DD1?0，即x?y?0,z?0． ??????????AD1?n10?|? ?1， 0)，sin??|cos?AD1,n?|?|????令x?1，则y??1，所以n?(1，，

10|AD1||n|

所以AD1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（2）设E(1，0，?)，0≤?≤2．

10．?????????? 106分

设平面EBD的法向量为n1?（x1，y1，z1），平面BDC1的法向量为n2?（x2，y2，z2），

????????DB?(1， 1， 0)， DE?(1，， 0 ?)，

????????由n1?DB?0，n1?DE?0，得x1?y1?0,x1??z1?0， ?????令z1?1，则x1???,y1??，n1?(??,?,1)，DC1?(0,1,2)， ?????????由n2?DB?0，n2?DC1?0，得x2?y2?0，y2?2z2?0， 令z2=1，则x2=2，y2=?2，n2?(2,?2,1)，cos?n1,n2??n1?n21?4??，

|n1||n2|32?2?1

所以31?4?AE1?．??????????? ?||，得??1．所以

2AA2332??1110分

数学Ⅰ试卷 第19页（共20页）

23．（本小题满分10分）

袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn．

（1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)； （2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．

C1C1933当X2?3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2?3)?1?1?；

C8C86411C1C1353C55C4当X2?4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X2?4)?11?11?；

C8C8C8C8641C155C4当X2?5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2?5)?11?．??

C8C816解：（1）由题意可知X2?3，4，5．

3分

所以随机变量X2的概率分布如下表：

X2 P 3 9 644 35 645 5 16

9355267．???????????? 5分 ?4??5??64641664（2）设P(Xn?3+k)?pk，k?0，1，2，3，4，5．

则p0+p1+p2+p3+p4+p5?1，E(Xn)?3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5．

3544536P(Xn+1?3)?p0，P(Xn+1?4)?p0+p1，P(Xn+1?5)?p1+p2，P(Xn+1?6)?p2+p3，

88888882718P(Xn+1?7)?p3+p4，P(Xn+1?8)?p4+p5，

8888所以，E(Xn+1)

35445362718?3×p0+4×(p0+p1)+5×(p1+p2)+6×(p2+p3)+7×(p3+p4)+8×(p4+p5)

88888888888293643505764?p0+p1+p2+p3+p4+p5 8888887?(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5 87?E(Xn)+1． 87由此可知，E(Xn+1)?8?(E(Xn)?8)．

835357又E(X1)?8??，所以E(Xn)?8?()n?1．??????????? 10分

888数学期望E(X2)?3?数学Ⅰ试卷 第20页（共20页）

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