微积分（下）习题解答（第七章）

综合练习7

1. 填空题： （1） 令un?1(x)?xnx2n?22?nu(x)2n?22n?2?1时级数收敛，，则limn?1，故x?xn??u(x)n?1时级数发散，故所求收敛半径为1．

?111n（2） 因为?，利用dx??C?x,x?1，可得 ?23?x1?x(3?x)n?0?11xnxdx??C??C,?1，从而， ?n?1?(3?x)23?x33n?0?1nxn?1??n?1,x?(?3,3)． 2(3?x)n?13?（3） 因为级数?(an?1?an)收敛，故其部分和数列Sn?an?1?a1极限存在，所

n?1以极限liman存在．

n??（4） ?an收敛，且an?0，故由级数收敛的必要条件知，liman?0，从而，

n?1n????11lim??，故级数?必发散． n??an?1ann????（5） ?an(x?1)n?1?2n=?an[(x?1)]在x?2条件收敛，故?an收敛，?an发

2nn?1n?1n?1散，即?anyn的收敛半径为R?1，由(x?1)2?1，解得0?x?2，且在

n?1x?0，x?2时级数?an(x?1)2n收敛，故所求收敛域为[0,2]．

n?1?（6） 令un?1(x)?102n(2x?3)2n?1，则limun?1(x)?102(2x?3)2，故

n??u(x)n102(2x?3)2?1时级数收敛，102(2x?3)2?1时级数发散，所求收敛域为：

3131(?,?)． 220220（7）lim?un?1(x)an?1313?limx?2x?1，故所求收敛半径为3．

n??u(x)n??a2nn???n?1nnn?1nxn?11（8）?x??x??x?x???xn?xex?ex?1,

n?1n!n?1n!n?1n!n?1(n?1)!n?1n! x?(??,??)．

?1n1（9）?x的收敛域为[?1,1)，?nxn的收敛域为(?2,2)，且容易计算幂

n?2nlnnn?22??级数?(n?211?n)xn的收敛半径为1，故由幂级数收敛域的性质知，nlnn2?(n?2?11?n)xn的收敛域为[?1,1)． nlnn21n（10）由已知limnp(e?1)an?1，有limn??(e?1)ane?1?1，从而 ?1，又limn??n??111p?1?()nnn1n1n?anlim?1，由条件?an收敛，利用正项级数的比较判别法，知p的取n??1p?1n?1()n值范围是p?2．

f(3)(0)2??．x的系数是（11） 令f(x)?sinxcosx，将之展开成x的幂级数时， 3!33?(?1)nx2n(?1)n（12）因为cosx??，x?(??,??)，令x?1，从而有??cos1.

(2n)!n?0n?0(2n)!?2. 选择题：

（1）对于un?(?1)，易知?(u2n?1?u2n)=0收敛，但是?un??(?1)n发散，

nn?1n?1n?1???且lim(?1)?0，故（A）（C）均不正确，又对任意一个收敛级数?un，

nn???n?1均有加括号的新级数?(u2n?1?u2n)收敛，故（D）不对，因此，正确答案

n?1?为（B）．

00)?100?0，lim（2）若?un收敛，则limun?0，而lim(un?1n?1n??n???100故（B）?0，

n??un??u1(D)错误．令un?2，则?un收敛，但是?n?1发散，故（A）也是错误

nn?1n?1un?的，因此，正确选项为（C），100+?un仅仅是收敛级数前添加一项，对级

n?1数的收敛性没有影响．

（3）（A）选项是典型的莱布尼茨型交错级数，且是条件收敛的．（B）（D）选

项是绝对收敛级数．（C）是发散级数，因为级数的一般项不趋于0．故选择（A）．

（4）?(?1)(1?cos)??(?1)2sin，而级数?2sin2是收敛的（利用n2n2nn?1n?1n?1nn2??1正项级数的比较判别法：与?2比较即可），故?(?1)n(1?cos)是绝对收

nn?1n?1n???????敛的，所以选择（C）．

（5）若级数?an(x?2)在x??2处收敛，则由阿贝尔定理，知?an(x?2)n在

nn?1n?1??故选项（D）正确，且?an(x?2)n的收敛半径R?4，x?2?4处绝对收敛，

n?1?故选项（B）也正确．若级数?an(x?2)n在x??2处条件收敛，则该级数

n?1?的收敛半径为4（因为若收敛半径大于4，由阿贝尔定理可得?an(x?2)n在

n?1?x??2处绝对收敛，则为矛盾），故选项（A）也正确．若级数?an(x?2)nn?1?在x??2处条件收敛，即级数

???an?1??n(x?2)n在x??2处发散，故有

?an?1n(?2?2)??4an发散，从而?an(x?2)n在x?6处敛散性不确定，

nnn?1n?1故选项（C）说法错误．综上，本题答案选择（C）．

?sinx??2?nndx??sinxdx?1?cos?2sin（6）因为0??，又?2sin2收敛，01?x0n2n2nn?1??所以利用正项级数的比较判别法知，??n?1??n0sinxdx是绝对收敛的，故选择1?x（C）． （7）因为0???11212收敛，利用收?(an?2)，又?an以及?22n??n?1n??n?1n??2?an敛级数的性质及正项级数的比较判别法，知?(?1)nn?1ann??2是绝对收敛的，

故选择（C）．

??sinn?(?1)nsinn?(?1)n（8）易知级数?与?均收敛，故级数?(2?)收敛．另2nnnnn?1n?1n?1??sinn?11sinn?(?1)n111一方面，2?，而级数(?)?????0?222nnnnnnnnn?1sinn?(?1)n是发散的（利用收敛级数的性质），故?(2?)是条件收敛的，

nnn?1?所以选择（B）．

（9）?an条件收敛，故有liman?0，从而?M?0，使得an?M，?n?N?．又

n?1n???所以利用正项级数的比较判别法及收敛级数anbn?Mbn且?bn绝对收敛，

n?1?的性质，知?anbn是绝对收敛的，故选择（C）．

n?1??un?1un?12?(?1)n1（10）对于?2，lim故选项（A）(C)错误．对于?， ?1，lim2n??n??ununnn?1nn?1?不存在（分奇偶子列讨论），故选项（B）错误．只有选项（B）正确． （11）若级数?un与?vn都发散，则?(un?vn)必发散．若不然，因为

n?1n?1n?1???0?un,vn?un?vn，由比较判别法，得到?un与?vn都绝对收敛，此

n?1n?1??为矛盾，故选择（C）．

（12）若幂级数?an(x?1)在x??1处条件收敛，由Abel定理，知?an(x?1)n

nn?1n?1??的收敛半径为R?2，故?an(x?1)n在(?1,3)中的每一点绝对收敛，从而

n?1?级数?an绝对收敛，正确答案为（C）．

n?1?（13）对于?(?1)nlnn?1n?11，令un?，则un?0且单调减少趋于零，但因为

nn?11lim(?1)ln?0，故?(?1)nln发散，因此（A）错误．对于交错级数n??nnn?1?11111n??????=，虽然满足且(?1)u(?1)un收敛，但u?0??nn22323232n?1n?1n?是{un}非单调减少数列，即莱布尼兹判别法仅是交错级数收敛的充分条件而

11非必要条件，因此（B）错误．对于?(1?ln)，令un?，则un?0且单

nnn?1?11调减少趋于零，但是级数?(1?ln)发散（可以利用比较判别法：与?比

nn?1n?1n????较），故（D）错误．利用结论：若级数?an绝对收敛，则级数?an必收

2n?1n?1敛，可知选项（C）正确．

（14）对于选项（A），用反证法，设?(?1)un前n项部分和为Sn，假设?u2n

nn?1n?1

??

与?u2n?1均收敛，则加括号后的新级数?(u2n?1?u2n)也收敛，从而其前n项

n?1n?1??部分和?n?S2n?S(n??)，又u2n?1?0，故S2n?1?S2n?u2n?1?S

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