D10.5 对坐标的曲面积分

高等数学(2)标准化作业—22 班级 姓名 学号

第五节 对坐标的曲面积分

一、填空题

1．设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场为

?????????????v(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k，?为速度场中一片有向曲面，则

单位时间内通过?流到指定侧的流量

?=??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy．

?2．设?是z?x2?y2在0?z?1之间部分的外侧表面，则

??R(x,y,z)dxdy=???R?x,y,x2?y2?D?dxdy,D2xy:x?y2?1，

xy??P(x,y,z)dydz=?????P?z2?y2,y,z??P??z2?y2,y,z?D???yz?dydz，

Dyz:0?z?1,?z?y?z，

??Q(x,y,z)dzdx==?Qx,z2?x2,z?Qx,?z2?x2,z?dzdx ???D???????xz?Dxz:0?z?1,?z?x?z．

（化为二重积分） 二、计算题

1．设?是x?y?z?1被三个坐标面所截第一卦限部分的上侧， 求

??(x?1)dydz?ydzdx?dxdy． ?解：提示：如图10-9，,

??(x?1)dydz???(2?y?z)dydz ?Dyz??1dy?1?y00(2?y?z)dz?23 图10-9

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11?x0??ydzdx???(1?x?z)dzdx ??dx??Dzx0(1?x?z)dz?1 6,

??dxdy??Dxy??dxdy ??dx?011?x0dy?1， 24???(x?1)dydz?ydzdx?dxdy?.

3? 2．求

222z?4?x?y?，其中为球面的上侧． xdydz??z

?

O

y

?解：如图10-10，?分为?1:x?4?y2?z2的前侧和

?2:x??4?y2?z2的后侧，?在yoz面的投影为 Dyz:y2?z2?4(z?0)，如图10-11，则

222xdydz?xdydz?x??????dydz

x

z

图10-10

Dyz

??1?2???(4?y2?z2)dydz???(4?y2?z2)dydz?0．

DyzDyzO

图10-11

y

3．求

222?，其中为抛物面被z?4所截下部分的下侧． z?x?yydxdy???解：如图10-12，?在xoy面的投影为Dxy:x?y?4,

22z

ydxdy????ydxdy??????Dxy222π0d??20??sin???d? 4

?

2 y ???sin2?d???3d?=-4?sin2?d?． O000x

2π22π?-16?sin?d???4π

4．求

π20图10-12

2(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy，其中?为圆锥面z?????x2?y2与平面

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z?0,z?1所围成立体的边界外侧．

解：如图10-13，

??(y?z)dydz???(y?z)dydz???(y?z)dydz?0,

?1DyzDyz1

(z?x)dzdx???(z?x)dzdx???(z?x)dzdx?0， ???1DxzDxz??(x?y)dxdy????(x?y)dxdy???d???(cos??sin?)?d??0． 图10-13

?1Dxy002π1(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy???(x?y)dxdy???(x?y)dxdy?0 ????22Dxy故原式?0.

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