分块矩阵的几个重要应用

分块矩阵的几个重要应用

数学学院 数学与应用数学（师范）专业 2008级 鄢光兵

指导教师

摘要：

矩阵是高等代数中的一个重要概念，也是高等数学很多分支研究问题的工具。而把一个比较大的矩阵分成若干子块，构成分块矩阵是处理矩阵问题的重要技巧。分块矩阵思想来源于对矩阵运算复杂度及存储空间的考虑。特别当矩阵太大不适合存储在计算机内存中的时候，通过分块矩阵允许计算机每次只处理存储在内存中几个子矩阵，支持向量传输结构的向量计算机能够更加高效地运行支持分块矩阵的矩阵算法。分块矩阵可以降低矩阵的阶数，使矩阵更加条理清晰，使得矩阵的相关运算简单化，并使矩阵证明方面的相关问题得以便捷的解决。本文重点就分块矩阵的定义、分块方法、基本运算，行列式和求逆矩阵的计算，以及关于矩阵的秩的方面的证明问题进行了分析。使用了大量的例题说明了分块矩阵的技巧可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化。所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。

关键词：矩阵；分块矩阵；子矩阵；

Abstract: Matrix is an important concept in high algebra, but also an instrument for research of many filiation in high algebra. And the means of dividing a large-scale matrix up into some small one is a main skill to resolve the question of matrix. The idea of partitioned matrix comes of the advisement to the complexity of matrix's calculate and the unit of space.Especially,when the matrix is too large to save in the EMS memory, the computer which support the network management vector transport can take order with the partitioned matrix algorithm in high efficiency, with the partitioned matrix permit the computer only deal with the submatrix that store in the EMS memory every time.Theory about block matrix could be used to decline high order matrix and make it clearer and easier to calculate and prove some problems about matrix. This paper focuses on the problems of the concept of block matrix, and the numeration of square matrixand the proof of matrix. It shows the convenience of the block matrix in the problems of matrix and high algebra by making use of a number of examples. It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.

Keywords： matrix；block matrix ；submatrix;

1 引言

高等代数是数学类专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空

间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力、开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造性能力等起到重要作用。

矩阵的分块不仅是高等代数中一个非常重要的内容，而且也是高等代数的很多分支研究问题的工具，它贯穿了整个高等代数的内容。而我们在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，这样可以使问题的解决更简明。

分块矩阵作为处理矩阵的一种重要的方法，在学习矩阵的分块之后，我们不仅仅只会矩阵的分块，还要学会更深层的问题，要学会观察，联想，猜想。学会用 矩阵的分块去解决在高等代数中遇到的问题，比如说用矩阵的分块去求高阶行列式，求一个矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值等一些问题。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于学生理解和掌握，而且能开拓学生的思维，提高学生灵活应用知识解决问题的能力。

下面主要介绍了分块矩阵的概念，分块矩阵的初等变换，还有就是分块矩阵在高等代数中的几个应用。所介绍的几个应用将对我们今后学习高等代数有重要作用。

2 预备知识

2.1相关定义

定义2.1??（分块矩阵的定义） 把一个m?n矩阵A，在行的方向分成s块，

1在列的方向分成t块，称为A的s?t分块矩阵，记作A??Ak?l?s?t，其中

Ak?l?k?1,2,?,s;l?1,2,?,t?称为A的子块，它们是各种类型的小矩阵。

?1?0? 例：把一个5阶矩阵A??0??0??000107??8??01?19?用水平和垂直的虚线分成四块，如

?0010?0002??23

?100???I 010果记： ?3????001???27??3?8?=A

1?????19???000??000??0 ???10??02??A2 ???I就可以把A看成由上面4个小矩阵所组成，写作：A=?3?0A1? . A2??并称它是A的一个2?2分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为A的一个子块。 说明：（1）常用的矩阵分块方法，除了上例中的4块矩阵，还有以下几种： 1）按行分块

?a11?a12 A???...??am1a12a22...am2...a1n??A1??A?...a2n??=?2? 其中A??aii1......???????...amn??Am?ai2...ain? i?1,2,...,m

2）按列分块

?b11?b21B=??...??bn1b12b22...bn2...b1s?...b2s????B1......??...bns??b1j??b?2j...BS? 其中Bj??? j?1,2,?,s

???????bnj??B2 3）当n阶矩阵C中都集中在主对角线附近，有时也可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵）：

?C1?C=????C2??? 其中C是r阶方阵(i?1,2,?,m

ii???Cm?m?ri?1i?n)

（2）矩阵分块的第一个好处是使得矩阵的结构显得更清楚； 第二个好处（也是最重要的好处）是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行，从而把高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算。这在下面的研究中会得到充分的体现。

?A1?形如????OA2O???的矩阵称为块对角矩阵。即不在主对角线上的???An?定义2.2??

2子块皆为零阵，主对角线上子块均为方阵。记为diag?A1,A2,?,An?.

?A11?类似的，形如????块下三角阵.

A12A22A1n??B11?B...A2n??，?21???????Ann??Bn1...B22?Bn2???的矩阵就为块上三角阵与????Bnn?

2.2 分块矩阵的运算规则

分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能进行运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.

2.2.1分块矩阵的加法.

设A，B都是m?n矩阵，并且对A，B用同样的方法进行分块：

?A11?AA??21?...??Al1A12A22...Al2...A1k??B11B12...Bk?1?B?...A2k?B...B2122K2? B??? ?............?......????...Alk?BB...Bl2lk??l1其中Aij,Bij都是mi?nj矩阵，即Aij和Bij是同型矩阵，那么

?A11?B11?A?B2121 A?B=??...??Al1?Bl1A12?B12A22?B22...Al2?Bl2...A1k?B1k?...A2k?B2k??

?......?...Alk?Blk?2.2.2分块矩阵的数量乘法.

设A是m?n矩阵，把A进行分块：

?A11?A21 A=??...??Al1A12A22...Al2...A1k??aA11?aA...A2k??，a为任意数，则aA=?21?.........???...Alk??aAl1aA12aA22...aAl2...aA1k?...aA2k?? ......??...aAlk?

2.2.3分块矩阵的乘法

定理?? 设A为m?n矩阵，B为n?l矩阵，若对A，B作如下分块：

3 n1n2...ns l1l2...lt

m1mA=2??A11?A?21?...?mr?Ar1A12A22...Ar2...A1s?n1...A2s?? B=n2......???...Ars?ns?B11?B?21?...??Bs1B12B22...Bs2...B1t?...B2t?? ......??...Bst? (1)

l1 l2 … lt

m1m 则AB?2?mr?G11?G?21?...??Gr1G12G22...Gr2...G1t?S...G2t??，其中G=AB?i?1,2,...,r;j?1,2,...,t? (2) ?ikki......?k?1?...Grt? l1 l2 … lt

?G11?G?21 证明 记 G?

??...?mr?Gr1m1m2G12G22...Gr2...G1t?...G2t?? ......??...Grt?下面证明将G看作以数为元素的矩阵,有G?AB

首先,AB为m?l矩阵,基于(1)的分块方式及(2)式,Gij为mi?lj矩阵,且有 m1?m2?...?mr=m l1?l2?...?lt=l 故将G看作以数为元素的矩阵,也是一个m?l矩阵。

其次，G的?i,j?元gij必位于分块矩阵G的某一子块Gpq之中，不妨设gij是

Gpq的（i?,j?）元素，即有：

i=m1?m2?...?mp?1+i? 1?i??mp

j=l1?l2?...?lq?1+j?

1?j??lq ?3?

由?2?式 有：Gpq?AP1B1q?Ap2B2q?.....?ApsBsq

可知Gpq的（i?,j?）元素应是Ap1,Ap2,....Aps的第i?行分别与B1q,B2q,...Bsq的第j?列的相应元素乘积的和。由?3?式可知，Apk的第i?行元素位于A中第i行，Bkq的第

j?列元素位于B中第j列?k?1,2,?,s?再注意到对A,B所作的分块，可得：

gij??aikbkj?k?1n1n1?n2k?n1?1?aikkjb+….+

n1?n2?...?nsk?n1?...?ns?1?aikbkj =?aikbkj

k?1n

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