2018年高考数学分类汇编：专题九解析几何

《2018年高考数学分类汇编》

第九篇：解析几何

一、选择题

1.【2018全国一卷8】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为C交于M，N两点，则FM?FN= A．5

B．6

C．7

D．8

2的直线与3x22.【2018全国一卷11】已知双曲线C：?y2?1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F

3的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OMN为直角三角形，则|MN|= A．

3 2 B．3 C．23 D．4

x2y23.【2018全国二卷5】双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为

ab23x x D．y??22A．y??2x B．y??3x C．y??x2y24.【2018全国二卷12】已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，A是Cab的左顶点，点P在过A且斜率为则C的离心率为 2A．

31 23的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，6 B．

1C．

3 D．

1 45.【2018全国三卷6】直线x?y?2?0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆

?x?2?2?y2?2上，则△ABP面积的取值范围是

6? A．?2，

8? B．?4，

?C．??2，32? ?D．??22，32?

1

x2y2b?0）的左，右焦点，O6.【2018全国三卷11】设F1，F2是双曲线C：2?2?1（a?0，ab是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF1?6OP，则C的离心率为

A．5 B．2 C．3 D．2

7.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x?my?2?0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为 A.1

B.2 C.3

D.4

x2y28.【2018天津卷7】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2，过右焦点且垂直

ab于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1?d2?6，则双曲线的方程为

x2y2??1 A

412x2y2??1 C

39

x2y2??1 B

124x2y2??1 D 93

x29.【2018浙江卷2】双曲线 ?y2=1的焦点坐标是

3A．(?2，0)，(2，0)

B．(?2，0)，(2，0)

C．(0，?2)，(0，2) D．(0，?2)，(0，2)

10.【2018上海卷13】设P是椭圆之和为（ ）

x 2y 2+=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离35 A.2 B.2 C.2 D.4

2

二、填空题

1?和抛物线C：y2?4x，过C的焦点且斜率为k的直1.【2018全国三卷16】已知点M??1，线与C交于A，B两点．若∠AMB?90?，则k?________．

x2y2x2y22.【2018北京卷14】已知椭圆M：2?2?1(a?b?0)，双曲线N：2?2?1．若双曲线N

abmn的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．

x2y23.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点

abF(c,0)到一条渐近线的距离为3c，则其离心率的值是 ． 24.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y?2x上在第一象限内的点，

B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB?CD?0，则点A的横坐标

为 ．

x22

5.【2018浙江卷17】已知点P(0，1)，椭圆+y=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则

4当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．

x2?y2?1的渐近线方程为 . 6.【2018上海卷2】2.双曲线47.【2018上海卷12】已知实数x?、x?、y?、y?满足：x?2?y?2?1，x?2?y?2?1，x?x??y?y2?则1，2∣x??y??∣1∣x??y??∣1+的最大值为__________ 22

三、解答题

3

x2?y2?1的右焦点为F，1.【2018全国一卷19】设椭圆C:过F的直线l与C交于A,B两2点，点M的坐标为(2,0).

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：?OMA??OMB.

2.【2018全国二卷19】设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与

C交于A，B两点，|AB|?8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

x2y2?1交于A，B两点，线段3.【2018全国三卷20】已知斜率为k的直线l与椭圆C：?43AB的中点为M?1，m??m?0?．

1； 2（1）证明：k??（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP?FA?FB?0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．

4.【2018北京卷19】已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

4

（Ⅱ）设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证： 1??1?为定值．

x2x25.【2018天津卷19】设椭圆2?2?1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离

ab心率为5，点A的坐标为(b,0)，且FB?AB?62. 3（I）求椭圆的方程；

（II）设直线l：y?kx(k?0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.

若

AQPQ?52sin?AOQ(O为原点) ，求k的值. 4】

16.【2018江苏卷18】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(3,)，焦点

2F1(?3,0),F2(3,0)，圆O的直径为F1F2．

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

26，求直线l的方程． 7②直线l与椭圆C交于A,B两点．若△OAB的面积为5

7.【2018浙江卷21】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在

不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

y2（Ⅱ）若P是半椭圆x+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

42

yAPOMxB

8.【2018上海卷20】20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线?：

y2?8x（0≦x≦t，y≧0），l与x轴交于点A，与?交于点B，P、Q分别是曲线?与线段

AB上的动点.

（1）用t为表示点B到点F的距离；

6

（2）设t=3，∣FQ∣?2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；

（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在?上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由. 参考答案 一、选择题

1.D 2.B 3.A 二、填空题

1. 2 2.3?12

4.D 5.A 6.C 7.C 8.C 9.B 3.2 4.3 5.5 6.y??12x 7

10.C 7.2?3 三、解答题

1.解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.

由已知可得，点A的坐标为(1,22)或(1,?). 22所以AM的方程为y??22x?2或y?x?2. 22（2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，

则x1?2,x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB?y1y?2. x1?2x2?2由y1?kx1?k,y2?kx2?k得：kMA?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k.

(x1?2)(x2?2)x2?y2?1得：(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0. 将y?k(x?1)代入24k22k2?2,x1x2?2所以，x1?x2?. 22k?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k?0. 则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k?2k2?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补，所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB.

8

2.解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0)．

设A(x1,y1),B(x2,y2)，

?y?k(x?1),2222由?2得kx?(2k?4)x?k?0． ?y?4x2k2?4??16k?16?0，故x1?x2?． 2k24k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?． 2k4k2?4?8，解得k??1（舍去），k?1． 由题设知2k因此l的方程为y?x?1．

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即y??x?5．

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得?或? ?(y0?x0?1)2y?2y??6.(x?1)??16.?0?0?0?2因此所求圆的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144．

2222x12y12x22y22??1,??1. 3.解：（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则43439

两式相减，并由

x?xy?y2y1?y2?k?0. ?k得：12?143x1?x2由题设知

x1?x2y?y23?1,1?m，于是：k??.① 224m31，故k??. 22由题设得0?m?(x3?1,y3)?(x1?1,y1)?(x2?1,y2)?(0,0). （2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则：

由（1）及题设得x3?3?(x1?x2)?1,y3??(y1?y2)??2m?0.

又点P在C上，所以m?333P(1,?)|FP|?，从而，.

422x12x1|FA|?(x?1)?y?(x?1)?3(1?)?2?于是：. 11422212同理|FB|?2?x2. 21(x1?x2)?3. 2所以|FA|?|FB|?4?故2|FP|?|FA|?|FB|，即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列.

设该数列公差为d，则：2|d|?||FB|?|FA||?11|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2.② 22将m?3代入①得k??1. 4712，代入C的方程，并整理得7x?14x??0. 4410

所以l的方程为y??x?

故x1?x2?2,x1x2?1321，代入②解得|d|?. 2828所以该数列的公差为321321或?. 28284.解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2）， 所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x． 由题意可知直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）． ?y2?4x由?得k2x2?(2k?4)x?1?0． ?y?kx?1依题意??(2k?4)2?4?k2?1?0，解得k<0或0

11

22k?4?x1?1x2?1111112x1x2?(x1?x2)1k2k2=2． ?????????1??1?yM1?yN(k?1)x1(k?1)x2k?1x1x2k?1k2所以

1?1??为定值．

c255.解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有2?，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可

a9得，FB?a，AB?2b，由FB?AB?62，可得ab=6，从而a=3，b=2．

x2y2所以，椭圆的方程为??1．

94（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故PQsin?AOQ?y1?y2．又因为AQ?AQPQ?52sin?AOQ，可得5y1=9y2． 4y2π，而∠OAB=，故AQ?2y2．由

sin?OAB4?y?kx，6k?22y?由方程组?x消去x，可得1．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由y?1，9k2?4??4?9?y?kx，2k方程组?消去x，可得y2?．由5y1=9y2，可得5（k+1）=39k2?4，

k?1?x?y?2?0，两边平方，整理得56k2?50k?11?0，解得k?111 所以，k的值为或．228111，或k?． 2286.解：（1）因为椭圆C的焦点为F1(? 3,0),F2(3,0)，

x2y21可设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)．又点(3,)在椭圆C上，

2ab1?32??1,??2?a?4,24b所以?a，解得?2

??a2?b2?3,?b?1,?12

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