高中数学2.1.2-2指数函数的图象与性质教案新人教A版必修1

2.1.2 指数函数的图像与性质

【教学目标】

（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；

（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；

（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．

【教学重难点】

教学重点：指数函数的的概念和性质．

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

【教学过程】

㈠情景导入、展示目标

1． （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．

我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策． ○

1 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

○

2 到2050年我国的人口将达到多少？ ○

3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ 2． 上一节中GDP 问题中时间x 与GDP 值y 的对应关系y=1.073x （x ∈N *

，x ≤20）能否构成函数？

3． 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？

上面的几个函数有什么共同特征？

㈡检查预习、交流展示

1．根据预习说以下你是怎么理解指数函数的定义？

2．指数函数的性质有哪些？

㈢合作探究、精讲精练

探究点一：指数函数的概念

一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；

○

2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．

例１：指出下列函数那些是指数函数：

（１）4x y =（２）x y 4=

（３）4x y -= （４）)4(-=x y （５）π=y x （6）x y 24=（7）x x y =（８）)1,2

1(()12≠>=-a a y a x 解析：利用指数函数的定义解决这类问题。

解：（１），（５），（８）为指数函数

（２）是幂函数（３）是－１与指数函数的乘积（４）中底数－４＜０，不是指数函数（６）中指数不是自变量ｘ，而是x 2的函数（７）中底数不是常数

点评：准确理解指数函数的定义是解好本题的关键．

变式训练一：１．函数2(33)x

y a a a =-+?是指数函数，则有（ ） Ａ．ａ＝１或ａ＝２ Ｂ．ａ＝１ Ｃ．ａ＝２ Ｄ．ａ＞０且1≠a

答案:C

探究点二：指数函数的图象和性质

问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

探索研究：

1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：

（1）x

)3

1(y =

（2）x )21(y = （3）x 2y =

（4）x 3y =

（5）x 5y =

2．从画出的图象中你能发现函数x 2y =的图象和函数x )21(y =的图象有什么关系？可

否利用x 2y =的图象画出x )21(y =的图象？

3．从画出的图象（x 2y =、x 3y =和x 5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间

有什么样的规律？

4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

5.利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；

例２：求下列函数的定义域 （１）2

4

1-=

x y （2）1

5

-=x y

解析：求定义域注意分母不为零，偶次根式里面为非负数。 解（１）：令ｘ－４≠０，得ｘ≠４， 故定义域为（－∞，４） （４，＋∞） （2）：

,

1,01≥∴≥-x x

所以1

5

-=x y 的定义域为}1{≥x x

点评：求函数的定义域是解决函数问题的基础。

变式训练二：)2

1

(

2x

y -=

的定义域

答案：［－１，＋∞］

㈣反馈测试

导学案当堂检测

㈤总结反思、共同提高

【板书设计】

一、指数函数

1．定义

2. 图像

3. 性质

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

【作业布置】

导学案课后练习与提高

2.1.2指数函数的图像与性质

课前预习学案

一．预习目标

了解指数函数的定义及其性质．

二．预习内容

１．一般地，函数 叫做指数函数．

２．指数函数的定义域是 ，值域 ．

３．指数函数)1,0(≠>=

a a y a x 的图像必过特殊点 ． ４．指数函数)1,0(≠>=a a y a x

，当 时，在),(+∞-∞上是增函数；当 时， 在),(+∞-∞上是减函数．

三．提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

课内探究学案

一．学习目标

（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；

（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函

数的单调性和特殊点；

（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、

数形结合的方法等．

教学重点：指数函数的的概念和性质．

教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

二、学习过程

1.（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世

界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．

我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因

此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．

○

1 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

○

2 到2050年我国的人口将达到多少？ ○

3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ 2.上一节中GDP 问题中时间x 与GDP 值y 的对应关系y=1.073x （x ∈N *

，x ≤20）能否构成函数？

3.一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？

上面的几个函数有什么共同特征？

探究一：指数函数的定义及特点：

例１：指出下列函数那些是指数函数： （１）4x y =（２）x y 4=（３）4

x y -= （４）)4(-=x y （５）π=y x （6）x y 24=（7）x x y =（８）)1,21(()12≠>=-a a y a x

变式训练一：１．函数2(33)x

y a a a =-+?是指数函数，则有（ ） Ａ．ａ＝１或ａ＝２ Ｂ．ａ＝１ Ｃ．ａ＝２ Ｄ．ａ＞０且1≠a

探究二:指数函数的图像与性质

在同一坐标系中画出下列函数的图象：

（1）x

)3

1(y =

（2）x )21(y = （3）x 2y =

（4）x 3y =

例２：求下列函数的定义域 （１）241-=

x y （2）15-=x y

变式训练二：)21(2x y -=

的定义域

三．反思总结

四．当堂检测 1．关于指数函数2x y =和)21(x y =的图像，下列说法不正确的是（ ） Ａ．它们的图像都过（０，１）点，并且都在ｘ轴的上方．

Ｂ．它们的图像关于ｙ轴对称，因此它们是偶函数．

Ｃ．它们的定义域都是Ｒ，值域都是（０，＋∞）．

Ｄ．自左向右看2x y =的图像是上升的，)21(

x y =的图像是下降的． 2．函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）

A 、1>a

B 、2

、a <

、1a <<3．指数函数ｆ（ｘ）的图像恒过点（－３，

81），则ｆ（２）＝ ．

参考答案:1．Ｂ 2．D 3．４

课后练习与提高

１．下列关系式中正确的是（ ）

Ａ．)2

13

2(＜25

..1-＜)2

13

1( Ｂ．)2

13

1(＜)2

13

2(＜

2

5

..1-

Ｃ．

2

5

..1-＜)2

13

2(

＜)2

13

1(

Ｄ．

2

5

..1-＜)2

13

1(

＜)2

13

2(

2．下列函数中值域是（０，＋∞）的函数是（ ） Ａ．2

1x

y =

Ｂ．12

-=

x

y Ｃ．12

+=

x

y Ｄ．)2

12(

x

y -=

3．函数a

x

y =

在［０，１］上的最大值与最小值之和为３，则ａ等于（ ）

Ａ．０．５ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．０．２５ 4.

函数()f x =的定义域是

5．已知ｆ（ｘ）＝

2x

，则ｆ［ｆ（－１）

］＝ ． 6．设01a <<，解关于x 的不等式22232

223

x x x x a a

-++->。

参考答案：１．Ｃ 2．Ｄ 3．Ｂ 4 .X 0≤ 5.2 6．解：因为01a <<,所以 x

y a =在(),-∞+∞上为减函数，因为 22

232

223

x x x

x a

a -++->, 所

以22

2322231x x x x x -+<+-?>

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b8gq.html