数学哲学

二十世纪数学哲学

——一个自然主义者的评述

（2010年3月定稿）

叶峰

北京大学外国哲学研究所

本书得到教育部人文社会科学重点研究基地重大项目“20世纪西方逻辑哲学和数学

哲学”的支助

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目录

前言 ............................................................................... 6 1. 当代数学哲学的核心问题与主要特征................................................ 6 2. 本书的目的、内容、与写作策略.................................................... 7 3. 致谢............................................................................ 9 第一章 数学哲学的基本问题 ......................................................... 11 1.1 关于数学对象的本体论问题...................................................... 11 1.1.1 朴素的数学实在论及其认识论难题............................................ 12 1.1.2 朴素的数学反实在论及其可应用性难题........................................ 13 1.1.3 二十世纪各数学哲学流派对本体论问题的回答.................................. 14 1.2 关于数学语言的意义问题........................................................ 17 1.2.1 数学实在论的意义理论及其难题.............................................. 17 1.2.2 数学反实在论的意义理论及其难题............................................ 18 1.2.3 二十世纪各数学哲学流派对意义问题的回答.................................... 20 1.3 关于数学知识的认识论问题...................................................... 20 1.3.1 数学实在论的认识论难题.................................................... 20 1.3.2 数学反实在论的认识论任务.................................................. 22 1.4 数学的分析性与先天性.......................................................... 23 1.4.1 什么是数学的分析性与先天性问题............................................ 23 1.4.2 传统哲学的回答............................................................ 24 1.4.3 二十世纪数学哲学流派的各种回答............................................ 25 1.5 数学的客观性.................................................................. 26 1.5.1 数学的客观性与数学对象的客观存在性........................................ 26 1.5.2 数学的客观性问题.......................................................... 28 1.6 数学的可应用性................................................................ 30 1.6.1 数学实在论并未清楚解释可应用性............................................ 30 1.6.2 什么是真正的可应用性问题？................................................ 30 1.6.3对可应用性的解释可能支持反实在论 .......................................... 31 1.7 数学哲学研究的意义............................................................ 32 1.7.1 二十世纪数学哲学的演变.................................................... 33 1.7.2 数学哲学研究的意义........................................................ 33 第二章 一种自然主义数学哲学 ....................................................... 36 2.1 自然主义的基本信念............................................................ 36 2.1.1 什么是自然主义的基本信念？................................................ 37 2.1.2 自然主义的认识论.......................................................... 38 2.1.3 自然主义的指称理论........................................................ 40 2.1.4 自然主义背景下的真理与逻辑................................................ 41 2.1.5 自然主义与抽象实体........................................................ 43 2.2 自然主义数学哲学的任务........................................................ 43 2.2.1 从虚构主义开始............................................................ 43 2.2.2 虚构主义的不足............................................................ 45

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2.2.3 自然主义数学哲学的任务 ................................................... 46 2.3 数学语言的意义与数学知识 ..................................................... 47 2.3.1 自然主义框架下的数学语言的意义 ........................................... 47 2.3.2 自然主义框架下的数学知识 ................................................. 49 2.4 数学的客观性 ................................................................. 50 2.4.1 涉及思想与事物的联系的客观性 ............................................. 50 2.4.2 概念的客观性 ............................................................. 51 2.4.3 规则的客观性 ............................................................. 52 2.4.4 想象事物时的客观性 ....................................................... 53 2.5 数学的分析性、先天性与必然性 ................................................. 54 2.5.1 自然主义框架下的先天性问题 ............................................... 54 2.5.2 概念框架与分析性 ......................................................... 56 2.5.3 经验知识库与先天性的定义 ................................................. 57 2.5.4 内在知识 ................................................................. 58 2.5.5 算术是分析的、先天的吗？ ................................................. 59 2.5.6 逻辑与算术是必然的吗？ ................................................... 60 2.6 数学的可应用性 ............................................................... 61 2.6.1 数学的可应用性问题的自然化 ............................................... 61 2.6.2 解释可应用性的一个策略 ................................................... 63 第三章 十九世纪的数学基础研究 ..................................................... 66 3.1 十九世纪的分析严格化运动 ..................................................... 66 3.1.1 十七、十八世纪的微积分与数学分析中的问题 ................................. 67 3.1.2 十九世纪的分析严格化运动 ................................................. 68 3.1.3 从自然主义的角度看分析严格化运动 ......................................... 68 3.2 康托尔与戴德金的实数理论 ..................................................... 71 3.2.1 康托尔与戴德金的实数理论的要点 ........................................... 71 3.2.2 对实数理论的自然主义解读 ................................................. 73 3.3 戴德金的自然数理论 ........................................................... 74 3.3.1 戴德金的自然数理论的要点 ................................................. 74 3.3.2 戴德金的自然数理论的难点 ................................................. 75 3.3.3 对戴德金的理论及其难点的自然主义分析 ..................................... 76 3.3.4 皮亚诺的自然数公理 ....................................................... 77 3.4 悖论与数学基础的危机 ......................................................... 77 3.4.1 康托尔的集合论 ........................................................... 78 3.4.2 集合论的悖论与数学基础危机 ............................................... 79 3.4.3 从自然主义角度的分析 ..................................................... 80 第四章 弗雷格与逻辑主义 ........................................................... 83 4.1 弗雷格的概念文字 ............................................................. 84 4.1.1 弗雷格的逻辑贡献 ......................................................... 84 4.1.2 弗雷格果真将直观知识还原为逻辑了吗？ ..................................... 86 4.2 弗雷格的概念实在论与反心理主义 ............................................... 89 4.2.1 弗雷格的概念实在论思想的要点 ............................................. 89

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4.2.2 从自然主义的角度看概念实在论.............................................. 90 4.2.3 从自然主义的角度看心理主义................................................ 92 4.3 弗雷格的算术哲学.............................................................. 93 4.3.1 弗雷格的算术哲学的要点.................................................... 93 4.3.2 数词必须指称对象吗？...................................................... 96 4.3.3 弗雷格的认识论难题........................................................ 97 4.4 罗素的类型论.................................................................. 99 4.4.1 简单类型论的基本思想及其难题............................................. 100 4.4.2 分支类型论的基本思想及其难题............................................. 103 4.4.3 无穷公理及其问题......................................................... 105 4.4.4 从自然主义角度看类型论................................................... 106 第五章 直觉主义 .................................................................. 108 5.1 与直觉主义相关的前期思想..................................................... 108 5.1.1 克罗内克的直觉主义思想................................................... 108 5.1.2 彭加勒的数学哲学思想..................................................... 109 5.1.3 其它接近直觉主义倾向的思想............................................... 111 5.2 布劳维尔的直觉主义........................................................... 111 5.2.1 布劳维尔的直觉主义数学哲学的要点......................................... 111 5.2.2 从自然主义的角度看布劳维尔的直觉主义..................................... 114 5.3 达米特的直觉主义............................................................. 116 5.3.1 达米特的数学直觉主义的要点............................................... 116 5.3.2 从自然主义的角度看达米特对经典数学的批评................................. 118 5.3.3 从自然主义的角度看达米特的验证论意义理论................................. 121 5.4 构造主义..................................................................... 122 第六章 形式主义与不完全性定理 .................................................... 125 6.1 希尔伯特方案................................................................. 126 6.1.1 希尔伯特的有穷主义数学................................................... 126 6.1.2 希尔伯特的证明论思想..................................................... 130 6.2 哥德尔不完全性定理........................................................... 132 6.2.1 哥德尔第一不完全性定理................................................... 132 6.2.2 哥德尔第二不完全性定理................................................... 136 6.2.3 不完全性定理的其它形式................................................... 136 6.3 自然主义看形式主义与不完全性定理............................................. 137 6.3.1 自然主义对有穷主义数学观念的澄清......................................... 138 6.3.2 自然主义对希尔伯特方案的新解释........................................... 139 6.3.3 自然主义看不完全性定理与实在论........................................... 142 第七章 卡尔纳普与逻辑实证主义 .................................................... 144 7.1 作为重言式的数学............................................................. 145 7.1.1 逻辑实证主义所面临的数学哲学问题......................................... 145 7.1.2 早期逻辑实证主义者的回答:数学是重言式.................................... 146 7.1.3 他们的难题：存在性数学公理如何是重言式？................................. 148 7.2 作为语言的约定的数学......................................................... 151

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7.2.1 卡尔纳普哲学的要点 ...................................................... 151 7.2.2卡尔纳普哲学的内在问题 ................................................... 155 7.3 从自然主义的角度看逻辑实证主义 .............................................. 158 7.3.1 分析逻辑实证主义的语言、意义与真理观 .................................... 158 7.3.2 数学公理是分析真理吗？ .................................................. 160 7.3.3 语言框架及其使用主体是什么？ ............................................ 162 第八章 哥德尔的实在论 ............................................................ 165 8.1 哥德尔的概念实在论 .......................................................... 166 8.1.1 概念实在论的要点 ........................................................ 166 8.1.2 对概念实在论及其论证的分析、批评 ........................................ 169 8.2 心灵与机器 .................................................................. 173 8.2.1 哥德尔的心灵观的要点 .................................................... 173 8.2.2 对哥德尔的心灵观的评论 .................................................. 175 第九章 蒯因与不可或缺性论证 ...................................................... 177 9.1 蒯因的基本哲学思想 .......................................................... 178 9.1.1 蒯因的自然主义 .......................................................... 178 9.1.2 蒯因的整体主义 .......................................................... 180 9.1.3 蒯因的本体论 ............................................................ 183 9.1.4 蒯因的真理观 ............................................................ 184 9.2 不可或缺性论证 .............................................................. 185 9.2.1 不可或缺性论证概述 ...................................................... 186 9.2.2 数学对象不可或缺吗？ .................................................... 187 9.2.3 科学应用能核证数学对象的存在性吗？ ...................................... 190 9.2.4 用数学变元就蕴涵着承诺数学对象的存在性吗？ .............................. 195 9.3 蒯因式自然主义的内在问题 .................................................... 196 9.3.1 蒯因的一些非自然主义的概念 .............................................. 197 9.3.2 对蒯因哲学的问题的一个心理解释 .......................................... 200 9.3.3 重新检视蒯因的主要哲学思想 .............................................. 201 参考文献 ......................................................................... 205 名词索引 ......................................................................... 210

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前言

本书将介绍二十世纪最主要的数学哲学思想，并从自然主义的立场对它们进行分析、批评，以此为笔者提出的一种自然主义数学哲学作辩护。

1. 当代数学哲学的核心问题与主要特征

一、有限的、物质性的宇宙与人类

现代自然科学为我们描绘了一个有限的宇宙。根据今天被普遍接受的宇宙学理论，宇宙在宏观上很可能是有限的。在微观上，科学在今天能够比较确定地认识到的宇宙中的事物，都是在普朗克尺度（大约10-35 米，10-44 秒等）以上的事物。所以，我们今天只能认识到宇宙中有限范围内的事物。而且，有可能我们以后也只能认识到宇宙中有限范围内的事物。比如，即使有一天我们能深入到普朗克尺度10-35 米以下，还有10-350 米的尺度，10-3500

米的尺度，等等。我们不知道整个宇宙是否就是有限的，但我们所认识的宇宙是有限的。

与此同时，现代自然科学给我们描绘了一个物质性的宇宙。人类是这个宇宙中的物质的自然进化的产物，是这个物质宇宙的一部分。人类的所有认知活动都是由物质性的大脑及身体实现的。人类的所有知识，部分地来源于由进化与基因决定的人类大脑的内在结构，部分地产生于大脑通过身体与环境之间的物质性的相互作用，这包括环境中的事物发出的光波、声波等等作用于感觉器官，然后通过神经通道再作用于大脑，也包括大脑控制身体作用于环境中的事物，等等。

简单地说，现代自然科学为我们描绘了一个有限的、物质性的宇宙，其中包括了我们人类自身。 二、无穷的、非物质的数学世界

但另一方面，现代数学为我们描绘了一个完全不同的数学世界。这个数学世界里有无穷多的自然数，有不可数无穷多的实数，还有具有更大的无穷基数的无穷集合，乃至现代集合论中所谓的大基数等等。实无穷，乃至不同等级的实无穷，已经是现代数学中不可缺少的东西。这个数学世界里还有任意维度的拓扑（几何）空间、各种类型的代数结构、函数空间等等抽象的数学对象或结构。这些数学世界中的东西是非物质的，不存在于宇宙时空之中，也不是这个宇宙时空之中的任何有限事物的简单的抽象。它们可能在这个物质宇宙之中没有任何“影子”或“例子”，甚至不与这个物质宇宙中的任何事物在结构上相似。它们也与这个物质世界中的事物没有因果联系，或任何其它物质性的联系。它们似乎是存在于一个完全独立于这个物质世界的另外一个世界之中。

三、当代数学哲学需要回答的问题

果真存在这么一个独立于物质世界的抽象数学世界吗？如果它果真存在，那么存在于这个物质宇宙中的、有限的、物质性的、人类的大脑，如何可能认识到那个数学世界中的、非物质的抽象事物，尤其是那个世界中的无穷的事物？比如，大脑对物质世界中的原子、电子等等的认识，最终是靠原子、电子等等间接地作用于大脑，但那个数学世界中的抽象事物，与（处于物质世界中的）大脑没有任何因果联系，与大脑之间隔着一道鸿沟，大脑如何可能认识它们？又比如，人类的活动范围是有限的，我们对物质世界中离我们非常遥远但还是有限的事物的知识，如对微观粒子、遥远的星体、宇宙的起源等等的知识，只能是不那么确定的推测，而在数学中，我们如何可能那么确定地认识到无穷，甚至不同等级的实无穷？

反之，如果这个抽象数学世界并非真的存在，比如，假设它只是我们的想象，或我们的“思想的创造物”，那么数学公理与定理还是客观真理吗？我们知道，人们普遍认为数学定理是最可靠的真理，是人类知识的典范。如果数学公理与定理不是客观真理，那么数学又是什么？它还提供客观知识吗？也许它仅仅是人类编造的一个神话；也许数学中的那些无穷的、不与宇宙中的任何事物相似的对象、结构等等，就像神话中的角色一样，是人类的幻想。但如果是这样，数学又为何能够在科学应用中帮助推导出科学真理？它为何能够成为现代科学的基础？

这些问题就是当代数学哲学要回答的问题。 四、二十世纪数学哲学主题的演变

二十世纪的数学哲学的主题曾经经历过演变。在十九世纪末至二十世纪初的现代数学产生的初期，由于集合论悖论的被发现，数学基础问题曾经困扰过当时最出色的数学家，如彭加勒、希尔伯特、布劳维尔、赫尔曼?威尔、冯?诺伊曼等等。当时的数学哲学研究基本上就是数学基础研究，并产生了逻辑主义、直觉主义、与形式主义这三个数学基础流派。进入二十世纪三、四十年代以后，关于数学基础的争论在数学家中间基本上已经尘埃落

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定，现代数学的规范被牢固地确立起来。今天，这已经被称作经典数学。今天，如果一个数学家或科学家只对发展数学理论、证明数学定理、或将数学应用于科学感兴趣，那么他（她）不必关心任何数学基础问题。大多数数学家认为数学基础问题已经不存在了。但这不等于说没有数学哲学问题了。上面所提到的那些问题，应该是任何一个了解一点现代数学又具有一点哲学好奇心的人都会感兴趣的问题。回答这些问题是对哲学家们的一个挑战。不能很好地回答这些问题意味着，从哲学上说，我们对数学的本质，或者说对我们自己的数学知识的本质，还缺乏非常彻底的、清晰的认识。

所以，大约从二十世纪中期开始，大多数数学哲学研究不再试图为数学提供基础，而是对现代数学的实践进行哲学上的反思与分析①。这种反思与分析，不一定会直接地影响数学家们的数学实践，但它是在试图描述、理解我们人类自身的数学认知活动，是将人类的数学实践当作研究对象的分析与研究。正是在这个意义上，上面提出的那些问题让人困惑：承认人类的确具有现代数学的知识，也承认现代数学在科学中有着广泛的应用，是科学的基础，然后问，作为物质世界的一部分的有限的人类，究竟如何可能认识那些独立于物质世界的、无穷的、非物质的数学对象②？而假如人类的数学理论并不是在描述一个独立于物质世界的抽象数学世界，那么数学知识又是关于什么的知识？数学还提供客观真理吗?它又如何能够应用于科学？解释这些疑问，正是当代数学哲学的任务。它要求我们对人类的数学实践的本质有更清晰、彻底的认识。这当然也有可能反过来影响数学家与科学家们的数学实践，或者影响数学教育的方法等等。

五、数学哲学与一般哲学的关系

这些数学哲学的问题，其实也是最传统的哲学问题，即本体论与认识论问题，在数学这个知识领域的反映。也就是说，是否客观存在着一个由数学对象构成的数学世界？我们的数学知识是如何可能的？从柏拉图到康德、穆勒等等，过去的哲学家们已经对此尝试了种种回答。但是，从十九世纪末起发展起来的现代数学，在内容上已经远远超出了此前的数学，这使得这些传统的对数学哲学问题的回答，都还有不及之处。这也是当代数学哲学得以继续存在的原因之一。

另一方面，能否回答关于人类数学知识的哲学问题，也是一种哲学能否站得住脚的试金石。从柏拉图到康德、穆勒，历史上许多哲学家都以回答数学哲学问题为己任。特别地，康德以回答数学知识如何可能为他的哲学的主要目的之一。二十世纪的逻辑实证主义以及当代分析哲学的兴起，也在很大程度上是由于弗雷格、逻辑实证主义者等哲学家认识到了康德的回答的不足，并尝试继续解决数学哲学问题。所以也可以说，数学哲学问题其实是哲学的核心问题。

2. 本书的目的、内容、与写作策略

一、本书可以作为数学哲学的教科书

本书将介绍、分析、批评二十世纪的一些最主要的、最有影响的数学哲学思想。本书的目的不是全面介绍二十世纪数学哲学的历史。要了解二十世纪数学哲学的详细的历史，最好是从阅读几本经典的数学哲学论文集开始，比如Benacerraf and Putnam (1983)，Shapiro (2005), Jacquette (2001)等等，然后再深入阅读相关的论文、著作。目前国际上似乎还没有较全面地论述二十世纪数学哲学的历史的著作，也许还没有到对二十世纪的数学哲学思想盖棺定论的时候。另外，本书的主要目的也不是作为二十世纪数学哲学的教科书。国际上已经有了几种数学哲学的教科书性质的书籍，如Shapiro (2000)。但为了适应更大的读者群，本书将不假设读者已经了解数学哲学。本书的第一章可以作为当代数学哲学的一个导论。而且，本书在分析、批评各种数学哲学思想之前，都用了很多的篇幅来介绍那些思想。因此，本书可以被用作二十世纪数学哲学的教科书。

二、但本书的主要目的是辅助论证一种彻底自然主义的数学哲学

但本书的主要目的，是从自然主义的立场出发，分析二十世纪的主要数学哲学思想中的问题与难点，探讨一个彻底自然主义的数学哲学的必要性与可能性，并为笔者提出的一种彻底自然主义的数学哲学作辩护。

自然主义完全地接受当代科学关于人类的物质构成与起源的解释，认为人类是物质进化的产物，人类的认知活动，包括人类的数学实践，都是物质世界中事件。自然主义拒绝从一个超自然的、独立于物质世界的心灵或所谓“超验自我”的角度出发，去提出或回答本体论与认识论问题，也拒绝任何从这样一个心灵或“超验自我”的角度出发的哲学思辨或玄想。自然主义的这种基本立场与通常所说的唯物主义是相符合的。自然主义（naturalism）也是当代分析哲学界的主要思潮之一。

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当然，例外总是有的。比如，哥德尔坚持为现代数学提供更坚实的基础，极少数构造主义者提议应该用构造主义数学代替经典数学，等等。 ②

当然，有些哲学家不认为人类是物质性，他们相信人类具有在本质上是非物质的心灵，这种心灵能够“把握”非物质的抽象数学世界中的事物，比如哥德尔就持有这种观点。这是本书将要讨论的各种数学哲学之一。

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当然，与任何一种哲学立场一样，自然主义也有种种形式。本书的主题是数学哲学，所以这里不直接为自然主义作辩护，也不打算仔细介绍、分析自然主义的各种形式。关于自然主义的一些还有争议的问题，如意识、意向性、自由意志、以及认识论规范与道德规范在自然世界中的起源与位置等等问题，都是当代分析哲学中的热点问题；自然主义的各种形式之间的差异，也是当代分析哲学的研究热点。对这些本书都无法论及。本书将在第二章明确地界定本书所接受的自然主义的那种形式。它将是一种比较强的、比较彻底的自然主义①。然后，本书将以这种形式的自然主义为前提，在这个自然主义的框架下分析、批评二十世纪的主要数学哲学思想。

本书中的研究是笔者的另一项研究的补充。在那项研究中，笔者提出了一种彻底自然主义的数学哲学，它也是反实在论的或唯名论的数学哲学。已经有一些二十世纪的数学哲学被冠以“自然主义”这个名称，其中包括在二十世纪后半叶最有影响的哲学家之一蒯因的“自然主义”数学哲学，以及从它发展出的其它一些数学哲学观点。但与这些也被称作“自然主义”的数学哲学理论相比，笔者提出的是一种真正彻底的自然主义的数学哲学。事实上，本书将说明，蒯因的数学哲学思想中的主要问题，恰恰来源于它有意无意地背离了自己公开宣示的自然主义的基本观念。

本书通过从自然主义的角度分析、批评二十世纪的主要数学哲学流派，来从另一个角度为笔者所提出的那种彻底的自然主义的数学哲学作辩护。本书将试图说明，自然主义提供了一个非常清晰、明确的，而且是科学的概念框架，使得我们可以将传统哲学中的一些哲学概念与问题转化为科学的概念与问题，因此一些概念上的模糊不清之处可以得到澄清，对问题的回答也有科学的标准。也就是说，自然主义将一些哲学问题科学化。特别地，各个数学哲学流派中所包含的一些合理的想法，他们对数学实践所作的一些正确的观察，都可以被容纳到自然主义的框架中，可以在自然主义的框架下得到合理解释；他们所提出的一些概念之中的模糊不清之处，可以在自然主义的框架中得到澄清；在自然主义的框架下，他们之间的争论中的那些令人困惑的地方都变得清晰起来，他们各自的思想中的内在冲突或潜在矛盾也清晰地显露出来。自然主义的概念框架给人带来一种豁然开朗的感受。

本书还试图说明，自然主义的框架将可以解决各个数学哲学流派各自所遇到的难题。更具体地说，对二十世纪的那些同情自然主义的数学哲学流派（比如蒯因及一定程度上的卡尔纳普），本书将试图论证，由于他们不能坚持彻底的自然主义，他们的思想中包含了一些内在的冲突乃至矛盾，而出路就在于走向彻底的自然主义。至于那些以明确的反自然主义的基本假设为出发点数学哲学流派（如哥德尔），本书试图说明，他们出于反自然主义的观念所遇到的那些难题，在自然主义的框架下是可以解决的科学问题，而他们的思想中包含的对自然主义的反驳，其实是基于一些反自然主义的预设，因此，如果作为反驳自然主义的论证，那将是循环的论证，并不真正构成对自然主义的威胁。

三、本书的各章

本书的第一章将介绍数学哲学的基本问题，并简要说明二十世纪主要数学哲学流派对这些问题的回答的思路，以及它们所面临的主要困难。这将为分析、划分二十世纪主要数学哲学流派提供一个框架，并作为当代数学哲学的一个导论，为读者理解本书后面对二十世纪主要数学哲学思想的更详细的介绍、分析、批评提供基础。本书第二章将介绍自然主义的基本观念及笔者提出的那种彻底自然主义的数学哲学。这将成为本书分析、批评二十世纪主要数学哲学思想的哲学基础与出发点。这一章仅仅是那种自然主义数学哲学的导引。关于它的更详细的论述，可参考那一章所引的笔者的其它论文与著作。

从第三章开始，本书将介绍二十世纪的一些主要的数学哲学思想，并从自然主义的角度对它们作分析、批评。鉴于本书的目的不是完整地叙述二十世纪数学哲学的历史，也鉴于篇幅上的限制，本书仅分析评述二十世纪数学哲学中的一些最主要的思想、流派，将专注于对二十世纪数学哲学在整体上有较大影响的、已成为经典的数学哲学思想与流派，因此主要是二十世纪早期与中期的那些在今天已经成为经典的数学哲学思想。这首先包括二十世纪早期的逻辑主义、直觉主义与形式主义三大数学基础研究流派。虽然为数学提供基础已经不是今天的数学哲学研究的目标，这些早期数学基础研究流派中包含的数学哲学思想，一直是二十世纪数学哲学思想源泉。其次，这还包括了二十世纪早期到中期的卡尔纳普、哥德尔、蒯因的数学哲学思想。这些在今天也已经成为经典。第三章将先介绍、分析十九世纪末的数学基础研究的状况，这是二十世纪初的数学基础问题研究的缘起。然后，第四至第九章将分别考察逻辑主义、直觉主义、形式主义、卡尔纳普与逻辑实证主义、哥德尔的数学哲学、及蒯因的数学哲学。

本书的第三章至第九章是相对独立的，读者可以有选择地阅读。另外，本书讨论蒯因的最后一章将比较蒯因的自然主义与本书所支持的那种彻底的自然主义。这将是对本书第一、二章的呼应，以此结束全书。仅仅对自然主义数学哲学感兴趣的读者，可以主要阅读本书的第一、二、九章。

四、本书未能涵盖的数学哲学

①

而且笔者认为，只有这样的彻底的自然主义才是融贯一致的自然主义，所以笔者将仅仅称之为“自然主义”而不尝试为它另起一个名字。为了与其它形式的自然主义相区别，有时也称之为“彻底的自然主义”。

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二十世纪后期的数学哲学出现了流派纷呈的局面，研究者们提出了许多新的想法。其中，有一些是对二十世纪早、中期的那些经典思想的修正。比如，C. Wright 与B. Hale等人尝试修正与复兴逻辑主义，提出新逻辑主义；Burgess、Maddy、Colyvan等人对蒯因提出辩护、改进或修正；H. Field作了实质上是对形式主义的修正的尝试。也有一些人尝试引入新的观念来解释数学，如G. Hellman、C. Chihara、S. Shapiro等人的模态主义与结构主义，以及受拉卡托斯影响的拟经验论等等。从自然主义的角度看，分析这些数学哲学中的新想法也是有意义的工作，虽然这些想法中有哪些能够在未来的一段时间内站得住脚，成为有持续的影响力的思想，这一点在今天还很不明朗。鉴于本书的篇幅所限，而且鉴于有必要先介绍、分析与评述二十世纪的那些最重要的、最有影响的数学哲学的经典，本书将不讨论二十世纪后期的这些新的数学哲学思想。笔者期待有机会在另一著作中再详细介绍、分析与批评它们。

但这里需要指出，本书中对经典数学哲学思想的分析批评已经顾及了后来的一些对这些经典思想的修正。还一个例外是，在讨论蒯因的那一章中，本书分析了最近几十年对所谓不可或缺性论证的质疑与辩护，这是二十世纪最后几十年的数学哲学研究的主要课题之一。这可以作为最近几十年的数学哲学的一个导引①。

五、本书的写作策略

在涉及数学史及早期集合论与数理逻辑的历史的地方，本书将主要依据数学史及数理逻辑史专家们的著作而不是原始文献。比如，对十九世纪末至二十世纪初的数学基础研究的历史，对集合论的发展史等，国际上已经有不少专著论及，这些历史研究都超出了本书作者的能力范围，也不是本书的兴趣所在。当然，对于二十世纪早期的数学哲学思想的评述，还是以原始文献为基础。对于二十世纪早、中期的数学哲学思想，迄今为止学者们都已经作了大量的研究，有了大量的二手文献。本书对那些数学哲学思想的介绍、分析，吸收了一些后代学者的论述，对此本书都给出了参考文献。但由于本书的目的不是探讨数学哲学思想的发展，这里只是吸收采纳那些笔者认为正确的分析、评价，而不试图罗列、比较其它的不同的分析、评价，所以，本书对二手文献的引用将是有限的。

另外，一些对著名的数学哲学家的思想的分析、评价已经是学界的常识，对这些本书将不试图去追踪它们的出处，也将略去参考文献，虽然这不意味着它们是本书独创的。这里需要说明一下，本书主要的、独创性的贡献，是在于从笔者持有的彻底的自然主义的角度，去分析、批评那些数学哲学思想。

六、读者需要的预备知识

本书将尽量地适应更大的读者群，包括有较强的哲学背景但很弱的数学或数理逻辑背景的读者，及有较强的数学或数理逻辑背景但很弱的哲学背景的读者。对相关的哲学概念，本书在引入它们时都作了简要的解释，以适应没有哲学背景的读者。对于所涉及的数学与数理逻辑知识，本书将尽量只假设读者具有科普程度上的了解而不是专业程度上的了解，比如，不假设读者了解严格的数学定义或证明。本书的大部分论述要求读者具备一些数理逻辑与集合论的科普性的常识，比如，知道什么是无穷集合、无穷基数，什么是形式系统，数学理论可以形式化、公理化等等②。本书中的少部分具体的论述，比如第四章第一、三节中对弗雷格的逻辑系统的描述及对罗素悖论的推导，第六章中对哥德尔不完全性定理的论述等等，要求读者具备稍多一些数理逻辑的知识，比如，了解一阶逻辑的基本概念，包括常用逻辑符号、公式的意义等，了解递归函数、图灵机等概念。对这些，本书同样只假设读者有一般性的了解，而不假设读者了解其中的数学化的严格的定义、证明等等③。而且，本书将尽量使得读者可以跳过技术性的内容而不影响对有关哲学论述的理解。

然而，读者也应该意识到，本书是学术著作，不是科普读物。它追求简明、清晰、与准确，但不刻意追求通俗性。对于数学或逻辑的专业知识的回避，都是以不损害清晰性与准确性为前提的。

3. 致谢

本书是教育部人文社会科学重点研究基地重大项目“20世纪西方逻辑哲学和数学哲学”的成果之一。笔者要感谢教育部人文社会科学重点研究基地及该项目的承担单位北京大学外国哲学研究所的支助。笔者还要感谢北京大学哲学系的帮助。

笔者还要感谢许多同事、同学，与他们的讨论给了笔者很多帮助，有些直接影响了本书的写作与修改，有些则让笔者学到了新的东西，或帮助澄清了思路。也许很难列出完整的名单，但就笔者记忆所及至少包括了陈波、陈刚、程炼、郝刘祥、郝兆宽、蒉益民、刘闯、刘奋荣、刘晓力、刘壮虎、沈宏梁、孙永平、王路、邢滔滔、许涤非、徐明、徐向东、张志林、周北海、朱志方等等同事，符征、郭永盛、蒙虎、南星、彭天璞、杨海波等等同学，还有许多在一些讨论场合中遇到的记不起名字的人。很难不遗漏地列出所有的名字，望见谅。特别要感谢南

①②

关于从自然主义的角度对二十世纪后期的一些数学哲学观点的分析，可参见笔者的论文Ye (forthcoming-a)。

数理逻辑基础与集合论的入门教材很多而且大同小异，比如可参考刘壮虎（2001）、邢滔滔（2008）、徐明（2008）。 ③

关于这些可参考王浩（1981）及数理逻辑的较高级的教科书，比如，Bell and Machover (1977)、Medelson (1997)。

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星、杨海波同学发现了本书初稿中的一些错误，提出了一些具体的意见。另外，编辑田炜的耐心帮助、辛苦工作才使得本书得以问世，对此笔者要特别表示感谢。

最后，笔者要感谢笔者的岳母、妻子在本书的写作期间给予的耐心支持和帮助，使笔者可以专心写作，还要特别感谢刚来到这个世界的女儿带来的欢乐。

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语义学任务。对这些，我们都将在本书后面的相关章节作更详细的分析。

1.3 关于数学知识的认识论问题

实在论者与反实在论者都承认，我们至少在某种意义上有数学知识，因为作为科学基础的，在科学中有广泛应用的数学，不会不包含任何真正的知识。因此，就有关于数学知识的认识论问题错误！未找到引用源。：

数学知识是关于什么的知识？我们是如何获得这些知识的？什么可以核证错误！未找到引用源。（或确证错误！未找到引用源。，justify）这些知识？

1.3.1 数学实在论的认识论难题

一、认识论难题错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

对于实在论者来说，数学知识很自然地是关于抽象数学对象的知识。这与上一节所说的，对数学陈述的意义的实在论解释密切相关：实在论者认为，§1.2中的语句（1）陈述了一个关于抽象数学对象?的客观事实，因此，认识到（1）也就是认识到关于对象?的一个客观事实。至于我们如何获得这些知识以及如何核证这些知识，首先，在数学中，我们一般是从一些数学公理出发推导出§1.2中的（1）那样的定理，因此，这归结为我们如何认识公理，如何核证公理。在现代数学中，各种数学概念都被归结到“集合”这个概念，集合论的公理成为数学的最原初的公理。因此，这又可以归结为我们如何认识或核证集合论的公理。为了说明实在论在这里所遇到的困难，让我们特别地考察集合论中的无穷公理错误！未找到引用源。：

（1） 存在一个无穷集合。

那么，我们是如何认识到有无穷集合？又是依据什么断言（1）是真理？

如§1.1所述，对于实在论而言，无穷集合是所谓抽象对象，是不存在于宇宙时空之中、独立于物质世界及我们的思想的存在物。但是，假如我们接受科学（包括进化论）对人类的描述，我们应该是生活在宇宙之中的生物，而且，我们所有的知识，最终来源于我们的大脑由进化及遗传决定的先天结构，及我们的大脑通过感官从环境所获得的信息。我们的经验活动范围始终是有限的。那么，我们究竟如何可能认识那些不存在于宇宙之中的、独立于物质世界的、也独立于我们的思想的无穷集合？公理被认为是自明的，但是自明的原因还是应该有一个合理解释。如果仅仅是说，我们在某种意义上可以想象无穷的集合，那也许没有问题。事实上我们已经在想象了（不论想象得如何）。实在论所带来的困难恰恰在于，假如无穷集合果真是独立于物质世界及我们的思想的存在，假如无穷公理果真是断言存在着这样一个事物，那么我们似乎无法解释无穷公理何以对我们来说会是自明的。

更一般地，我们关于物质世界中的具体事物的知识可以有合理的、自洽的、科学的解释。比如，我们关于原子、电子的知识，最终来源于原子、电子等等，通过一系列的中间环节，作用于我们的感官与大脑。当然，我们的科学知识也包括我们在科学理论的建构中，对与我们只有间接的因果联系的遥远的事物的推测。但是，所谓的抽象数学对象不存在于时空之中，与我们没有哪怕是间接的因果联系。正是这种对抽象数学对象的描述，使得我们如何可能获得关于抽象数学对象的知识成为难解的谜。还有，回忆一下，科学对于物质世界中离我们非常遥远的事物，如宇宙的起源、基本粒子等等，只能作不很确定的猜测。因此，假如无穷集合是否存在也是客观的、独立于我们的思想的，就象外星人是否存在那样，或象宇宙大爆炸是否存在那样，那么，在数学中，我们如何可能非常确定地认识到无穷集合的存在性也是一个难解的谜。这就是所谓实在论的认识论难题。

二、为什么我们平常没有意识到这个难题？

同样地，在日常的数学学习或研究中我们可能不认为这里有什么问题，但那也是因为我们其实是不自觉地摇摆于对数学知识的实在论解释与反实在论解释之间。比如，考虑无穷公理（1）。有人可能会说，当然有自然数1，2，3，…等等等等，而且每个自然数后面都紧接着一个比它大的自然数，因此，所有这些自然数构成的集合当然就是一个无穷集合。但是，仔细想一下应该可以看出，这仅仅是在想象一个无穷集合。它首先想象一种运算或操作（即加1这个运算）可以无限地重复下去；然后想象这个无限的过程可以完成，可以将结果收集成一个无穷集合。作为一种想象，它是很自然的，很容易理解的。我们用“等等等等”这样的词汇来表达我们对无限地重复某种操作的想象。我们也可以理解别人用这些词汇传达给我们的想象。但如果这就是一切，它显然不是实在论。实在论的信念是，这种想象对应于某种独立于我们的思想的客观实在。暂且不论一个无限过程能否真正完成，首先，这至少是象前面提到的古人的关于“一尺之棰，日取其半，万事不竭”的想象。今天我们已经意识到，“一尺之棰，日取其半，万事不竭”这个想象有可能不对应于这个宇宙中的时空与事物的实情。那么，我们

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凭什么相信关于自然数的想象对应于某种独立于我们的思想的客观实在？

甚至对于单个自然数，当一个人说“当然有自然数1，2，3”的时候，很可能他又是将作为抽象对象的自然数，与作为宇宙中的物质对象的一些声音、文字符号，即打印在纸上的数字符号“1”、“2”、“3”等等混淆了。对于作为宇宙中的物质对象的声音、文字符号，当然没有什么认识论难题。我们的眼睛、耳朵可以直接观察到它们。我们也可以想象宇宙中有无限多的数字，但那只是想象，而且它很可能不对应于宇宙中的实情。实在论的认识论难题在于，实在论设想自然数是独立于物质世界、独立于我们的思想的、客观存在着的抽象对象。因此，对数字的认识不能替代对作为抽象对象的自然数的认识；对于无限多的数字的想象，也不能替代对客观存在着的自然数的无穷集合的认识。实在论的认识论难题在于，如果我们是这个有限的物质世界中的有限的生物，我们如何可能认识那些作为抽象对象的自然数，甚至认识到所有自然数的集合。

三、实在论者回答这个难题的尝试

应该说，这个困难很早就被哲学家们意识到了。比如，柏拉图不得不说，我们关于理念的知识来源于灵魂的回忆，因为很明显地，对我们生活在其中的物质世界中的具体事物的观察，达不到对所谓的理念的确定的知识。二十世纪的几种数学实在论思想也都蕴含着回答关于抽象数学对象的认识论难题的一些尝试。比如，弗雷格错误！未找到引用源。试图证明算术真理是逻辑真理。如果这可以成功的话，它意味着，我们不必在任何意义上“接触”作为抽象对象的自然数，也能够获得算术真理。比如，我们必须以某种方式（哪怕是间接的方式）“接触”外星人，比如收到疑似外星人发出的电磁波信号或看到疑似它们留下的痕迹，才能认识到外星人存在。但是，要认识到“或者外星人存在，或者外星人不存在”这个逻辑真理，我们既不必以任何方式与外星人有哪怕是间接的联系，也不必真的去检查宇宙的每一个角落以验证有或没有外星人。对于逻辑真理的认识不需要我们与逻辑真理所谈论的对象有任何直接或间接的因果联系。如果算术真理是逻辑真理，那么对于算术真理也一样。又比如，哥德尔错误！未找到引用源。则相信，我们的心灵有某种直觉能力，使得我们能够直接地把握一些抽象数学概念，直接地认识到一些数学公理。还有，蒯因错误！未找到引用源。则试图以一种较复杂的，实用主义的本体论与认识论理论（叫做“整体主义认识论”）来论证，我们的感觉经验也可以核证（justify）我们关于抽象数学对象的知识。本书后面的相关章节将更仔细地分析他们的尝试，评述他们是否真正解决了这个数学实在论的认识论难题。

在当代数学哲学中，最明确地指出这个数学实在论的认识论难题并产生很大影响的，是美国哲学家Benacerraf在1973年发表的一篇论文“数学真理”①。虽然Benacerraf没有直接批评、反驳任何二十世纪的数学实在论思想中隐含着的对这个认识论问题的回答，但他将这个难题非常清晰地展示出来，即刻意地指出并强调了所谓的抽象数学对象与我们没有任何哪怕是间接的因果联系这个事实。因此，他使得任何实在论者所可能提出的对这个难题的回答都显得可疑（包括上面提到的弗雷格、哥德尔、蒯因的回答），使得我们很自然地要去仔细检验任何实在论者解决这个难题的尝试，看看它们有没有漏洞。他也使得许多学者相信，这个数学实在论的认识论难题是不可解的，因此我们必须放弃数学实在论。在Benacerraf的文章发表以后，受其影响，从20纪80年代开始，有越来越多的哲学家去探讨各种反实在论的数学哲学。

1.3.2 数学反实在论的认识论任务

一、反实在论也还有需要回答的认识论问题错误！未找到引用源。

反实在论者否认抽象数学对象存在，因此我们的数学知识不会是关于抽象数学对象的知识，但这不等于回答了关于数学知识的认识论问题。反实在论者也还有艰巨的任务需要完成。首先他们必需说明，我们的数学知识是关于什么的知识，我们又如何获得与核证这些知识。有些反实在论者声称，一些数学定理是假的，因为它们所断言存在的对象事实上不存在。比如，他们声称，“存在无穷多个素数”是假的，因为作为抽象对象的自然数根本就不存在。即使这样也不能完全回避认识论问题。因为，无论数学定理是真是假，我们有一些数学知识，这一点是显然的，而且恰恰是需要得到解释的。如果数学对象不存在，因而断言这样那样的数学对象存在的数学定理是假的，那么反实在论者就应该从另外一个角度来解释，我们的数学知识是关于什么的知识，以及我们如何获得与核证我们的数学知识。仅仅否认数学定理的真理性是不够的。

对此，我们首先想到的也许是，我们的数学知识，是关于从哪些公理可以推导出哪些定理，以及关于如何作这些推导的知识。这是§1.1中提到的朴素的反实在论的一个自然推论。它的问题是，虽然我们的数学知识的确部分地是关于从哪些公理可以推导出哪些定理，以及关于如何作这些推导的知识，但这显然不是全部数学知识。如果数学仅仅是从公理推导定理的游戏，那么这也许就是我们的数学知识的全部。比如，关于下棋的知识，就仅仅是关于如何按规则走步，以及关于哪些走法可以导致怎样的结局的知识。但是，我们的数学公理与定理可以在科

①

Benacerraf (1973)。参见Shapiro (2005)的引言那一章。

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学应用中推导出科学真理。数学实在论者认为，这是因为数学公理与定理本身是关于抽象数学对象的客观真理，而我们的数学知识，除了包括认识到哪些命题可以从公理推导出，也包括认识到公理是真理，因此定理也是真理。反实在论者否认数学公理与定理表达了关于抽象数学对象的真理，但他们也不得不承认数学公理不是随意选定的，不象弈棋规则那样；他们也不得不承认，选定今天的数学公理本身包含了某种客观知识。因此，反实在论者还必须说明这些知识在于什么（假如不是在于认识到那些公理是关于抽象数学对象的真理）。

其次，更进一步，反实在论者必须将这些知识的内容，与为什么数学可以在科学应用中推导出科学真理联系起来。我们的数学知识之所以为“真”知识，而不仅仅是关于某种任意发明的游戏的知识，就在于只有“真”知识才能成功地应用于科学。（这里的加引号的“真”可以不等同于实在论者所理解的“真”。）假如一个工程师错误地将一个“假”数学命题当成了定理，那就有可能使一座桥梁坍塌。我们不能仅仅说，这位工程师自己发明了一种新数学游戏从而使得一座桥梁坍塌。我们也不能仅仅说，有一些数学游戏使得科学应用得以成功，有一些数学游戏则不能使得科学应用得以成功。这当然是对的，但我们需要的是，说明究竟是那种数学游戏的什么特质使得它可以被成功地应用于科学。也就是说，反实在论者必须说明，我们的数学知识在什么意义上是“真”知识，而不是任意编撰的故事，而且为什么这种意义上的“真”知识，使得它可以在科学应用中推导出科学真理。这也是反实在论数学哲学所面临的任务之一，是反实在论数学哲学的认识论任务。它与反实在论数学哲学的语义学任务非常相似。

二、二十世纪各种反实在论数学哲学的回答

同样地，在二十世纪的各种数学反实在论思想中，希尔伯特错误！未找到引用源。的形式主义错误！未找到引用源。方案，如果成功的话，也蕴含着能够完成这个认识论任务的理论资源。希尔伯特指出，只要数学公理是逻辑上一致的，由公理推导出的关于有限事物的结论，就一定是真的。然后，他的证明论方案错误！未找到引用源。试图严格地证明，我们的数学公理确实是逻辑上一致的，并且，他要求证明中只能用到所谓的有穷主义数学，即不能假设任何无穷的抽象数学对象存在。如果成功的话，它意味着，我们关于数学公理的知识，不在于认识到公理本身是真理，而仅仅在于认识到公理是逻辑上一致的，而且，这种认识可以在反实在论的前提下得到严格的论证。同时又可以严格地论证，这种认识蕴涵着认识到，由公理推导出的关于有限事物的结论的确是真理。如上一节所述，一般认为，哥德尔的不完全性定理证明了希尔伯特的方案不可能成功，而我们认为实际情况并非那么简单。本书后面的相关章节将更详细地讨论这一点。

至于直觉主义、逻辑实证主义等等，它们都以认识论为它们的哲学的中心，但我们将说明，它们其实并没有完成反实在论的认识论任务。对这些我们也将本书后面的相关章节作更详细的分析。

1.4 数学的分析性与先天性

1.4.1 什么是数学的分析性与先天性问题

一、分析真理错误！未找到引用源。、综合真理错误！未找到引用源。

与关于数学语言的意义问题及关于数学知识的认识论问题密切相关的，是关于数学公理或定理的分析性错误！未找到引用源。与先天性错误！未找到引用源。问题。我们称一个语句表达一个分析真理，假如它的意义本身就已经决定了它一定是真的，而不论这个世界是如何。比如，一般认为，“单身汉是男性的”、“动物是生物”等等是分析真理，因为这些语句中所包含的词项的意义就已经决定了它们一定是真的，不论谁是单身汉，不论世界上有哪些动物与生物等等。逻辑真理都是分析真理，比如考虑“p或者并非p”，“如果p，那么p”等等形式的逻辑真理，由这些语句中的逻辑常项“或者”、“并非”、“如果…，那么…”等等的意义，就已经决定了它们一定是真的，而不论其中的语句p的真假。分析真理是所谓同语反复，没有真正的事实内容，对世界实际上无所断定。

对“分析真理”的一种更细致的定义需要假设语言中的词项有定义或有同义词。比如，一些人认为，“单身汉”的定义是“未婚的成年男性”，“lawyer”与“attorney”是同义词，等等。这样，一个语句表达一个分析真理，当且仅当，当我们将这个语句中的一些词用它们的定义或同义词替换以后，我们会得到一个逻辑重言式，或更一般的逻辑真理。比如，用“未婚的成年男性”替换语句“单身汉是男性的”中的“单身汉”，就得到“未婚的成年男性是男性的”，它是一个逻辑重言式。这个分析性概念一般称作弗雷格分析性①。

①

参见Boghossian (1996, 2003)。

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与分析真理相反的是综合真理。比如，“月球上没有动物”是综合真理，因为仅仅由这个句子中所出现的词项的意义并不能决定它就是真的。它之为真，是因为它对应的现实世界恰好是，月球上没有动物。直观上，综合真理是有真正内容的、对世界有所断定的真理。

这里需要说明一下，有些哲学家（比如蒯因）认为没有分析真理与综合真理之间的绝对清晰的区别，甚至没有逻辑真理与非逻辑的真理之间的绝对清晰的区别①。对此我们将在后面再作深入的分析。这里只是要将数学的分析性作为一个问题提出来。

二、先天真理错误！未找到引用源。、后天真理错误！未找到引用源。

我们称一个语句表达一个先天真理，假如我们不需要从感官获得的经验知识来核证它，即验证它为真。这里需要注意的是，我们当然需要后天的经验来学习语言，理解这个语句中的词项的意义，以及理解这个语句本身的意义。这里强调的是，在理解这个语句的意义之后，我们不需要后天的经验来验证它所表达的是真理。也就是说，它的真理性不依赖于经验。因此，分析真理自然地都是先天真理，因为对于分析真理，我们只要理解了它的意义，就可以通过分析它的意义来证明它是真的，而不再需要观察这个世界。比如，只要理解了“单身汉”与“男性”这两个词的意义，通过分析它们的意义就足以证明，“单身汉是男性的”是真理，而无需去观察单身汉们来验证单身汉确实是男性的。与先天真理相反的是后天真理。合理地认识（而不是盲目地相信）一个后天真理，就需要我们从感官获得的经验来证明它为真。

三、先天综合真理错误！未找到引用源。

分析-综合与先天-后天这两对概念是对我们的知识的两种划分。第一种划分是依据一个语句之为真的基础是什么，是由于语句的意义本身，还是由于其它的事实；第二种划分则是依据什么可以核证我们的知识，是要依据我们的经验，还是不必依据经验。既然分析的一定是先天的，下一个问题自然是，那么先天的都是分析的吗？也就是说，所有不必依据经验就可以被合理地认识、被验证为真的真理，都是仅仅由于它们的意义而为真的吗？或者说，对于一个语句，是否可能出现这样的情形：我们不必依赖经验就能够认识、验证它为真，但是这需要依赖这个语句中的词项的意义之外的某种东西，因此这个语句不能说是分析真理？如果有这样的情形，那么那个所谓“这个语句中的词项的意义之外的某种东西”又是什么？它应该是我们的某种认知功能，使得我们可以合理地、不依赖感官经验地认识一些不能归约为分析真理的真理，但这样一种认知功能究竟是什么，是从哪里来的？如果有这样的情形，这种语句就是所谓的先天综合的真理。

四、关于数学的分析性与先天性问题

这样，对于我们目前所关心的数学知识，我们可以将分析性与先天性问题概括如下：

数学真理是分析的还是综合的？是先天的还是后天的？如果它们是后天的，它们与其它科学真理的区别在哪里？如果它们是分析的，又是怎样的关于数学语言的意义理论可以说明它们是分析的？如果它们是先天综合的，那么又是什么决定了它们为真，是我们的什么认知功能，使得我们可以先天地认识到它们？

1.4.2 传统哲学的回答

一、康德认为算术真理是先天综合真理

二十世纪现代数学及现代数学哲学产生之前，哲学家们就已经关注这些问题。比如，康德错误！未找到引用源。就认为，算术真理是先天综合的真理。首先，康德认为，“5+7=12”是综合的而不是分析的，因为，“5”、“7”、“+”这些概念中并非已经包含了“12”这个概念，不象“动物是生物”，其中“动物”这个概念中已经包含了“生物”这个概念。我们不能仅仅基于分析“5”、“7”、“+”、“12”这些概念就得出“5+7=12”。我们还需要数一数手指头，来帮助我们认识到“5+7=12”。但是，康德又认为，“5+7=12”不是后天的，因为，虽然我们需要靠数手指头来帮助我们认识“5+7=12”，但数手指头并不能证明“5+7=12”。算术真理有一种必然性与普遍性，超出我们任何可能的经验。虽然我们可能是通过经验才意识到它们的真理性，但它们的真理性其实不依赖于我们的经验，也不能靠经验来证明。比如，我们可以想象一个有着不同的物理规律的世界，但我们似乎无法真正想象一个5+7不等于12的世界。因此，我们需要靠实际观测两个物体之间的作用力，来证实牛顿的万有引力定律对这个世界是（近似地）真的，但是，通过数手指头来帮助我们认识“5+7=12”，只是通过经验来帮助我们认识到某种必然的真理，并不是通过数手指头来验证“5+7=12”。因此，“5+7=12”应该是先天的，而不是后天的。

康德的哲学的主要任务之一，就是解释为什么会有这些先天综合的真理，以及我们如何认识它们。本书不能详细介绍康德。极其简单地说，康德的想法是：我们的心灵不是简单地反映外部世界。我们的心灵有一些先天的

①

见Quine (1976, 1980)。

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结构和功能，又叫先天认知形式，它对我们的感官所接受到的原始的感觉材料，如视觉形象、声音等等，作了一些组织和处理，使得感官所接受到的感觉材料不是无秩序的、无结构的。比如，它将相关的感觉材料组合成关于一个物体的印象，将它们排列成时间空间上的顺序和关系，排列成因果关系上的关联顺序等等。这样组织的结果，自然使得我们得到的对外部世界的印象，符合某些规律。这些规律，实际上是我们的先天认知形式加在外部世界上的。反映这些规律的真理就是先天综合真理。换句话说，也许并非外部世界原来是如此，而是我们的心灵的一些内在结构，决定了我们只能以某种方式来认识这个世界，所以使得我们所认识的世界只能符合某些真理，也就是说，使得一些关于这个世界的判断对我们来说是必然地真的。我们不需要对这个世界的实际的观察来验证这些真理，因为所有可能被观察到的东西，由于我们用于观察和认知的官能的一些内在的结构，都已经必然地符合这些真理了。所以它们是先天的真理。另一方面，既然我们的心灵确实对我们的感官所接受的原始的感觉材料作了组织和处理，那么反映组织和处理的结果的真理，就不会仅仅是空洞的同语反复，像分析真理那样。它们会有着确实的内容。因此它们不是分析的真理。先天综合真理就是这样一些对我们来说是必然的、绝对普遍的、不真正地依赖于经验的，但又是有内容的、有所肯定的、不仅仅是同语反复的真理。

即使是从现代科学的角度看，康德的想法也有其合理性。现代认知科学认为，我们的大脑显然有着某种先天的结构，使得大脑能够以某种方式表示与处理知识，使得大脑能够在学习中很快地习得某些知识。大脑显然并非生来是一块白版。所以，很可能由于我们的大脑的这些先天结构，使得大脑所可能认识到的知识都符合某些规律。当然，康德是从所谓先验的角度来考察这个问题，而不是像现代认知科学，它是将认知过程作为自然现象来研究，是研究人的大脑如何获得与表示知识。

二、但现代数学中的关于无穷数学对象的公理似乎不是由我们的先天认知形式决定的

这种回答对于像初等算术那样的简单的数学真理似乎是有道理的，但问题是，现代数学与初等数学不同。初等数学中的基本真理，比如，初等算术与初等几何中的真理，似乎是表达我们的感官所直接认识的事物的最一般的特征，因此可能这些特征其实是来源于我们自己的先天认知结构。但现代数学所讨论的抽象数学对象，特别是那些蕴含实无穷的数学对象或复杂的数学结构，远远不同于我们的感官所直接面对的物质世界中的事物。现代数学的真理是否也是由我们的心灵的先天结构决定的，有很大的疑问。比如，我们的感官所接受到的感觉材料都是有穷的。心灵的先天认知形式如何能够决定现代数学中关于无穷数学对象和结构的真理？比如，心灵的先天认知形式如何能够决定存在着无穷集合？另外，现代数学中对无穷公理、选择公理等等的认识，似乎是经历了类似于科学中的尝试、错误、再尝试的长期的经验过程。这不一定说明它们与其它科学假说一样是经验真理，但它们似乎不是靠我们的某种直觉能力直接地认识的，不是在传统的意义上先天的。康德本人对无穷所导致的所谓二律背反的态度也说明了，要将现代数学中关于实无穷的数学对象和结构的真理纳入康德式的解释，可能会有一些实质性的困难。

三、二十世纪数学哲学对康德的继承和发展

当然，康德的哲学中可以解说数学知识的认识论资源，可能不仅仅是这些属于他的先验感性论的对先天综合真理的解说。但康德本人所考虑的数学仅限于初等算术、初等几何、初等代数等，甚至没有考虑到当时已经出现的微积分，与现代数学的距离更大。所以，究竟是否可能从康德哲学中挖掘发展出对现代数学哲学问题的回答，还有待于研究者们探索。另一方面，康德的一些基本思想其实被二十世纪的一些数学哲学流派继承下来。比如，希尔伯特接受了康德的基本思想作为有穷主义数学的认识论基础，又比如，布劳维尔也将直觉主义与康德哲学相联系。他们的哲学思想可以理解为在现代数学的背景下对康德的基本思想的发展①。

四、穆勒的经验主义及其问题

在二十世纪之前的关于数学的哲学思想中，与康德直接相对立的是穆勒错误！未找到引用源。的经验主义错误！未找到引用源。。穆勒认为，像“5+7=12”那样的算术真理，就是“5个苹果加7个苹果等于12个苹

果”、“5根手指头加7根手指头等于12根手指头”等等这些事实真理的概括，因此它们也是后天的经验真理。它们与其它经验真理的区别仅仅在于，千百年来，它们已经被经验最充分地验证了，因此是最可靠的经验真理。穆勒否认这些算术真理有着绝对的必然性。事实上，今天的物理学可以为穆勒的这种信念作旁证。比如，一些研究量子力学的基础与解释的学者提出，我们的经典命题逻辑中的一些逻辑定律，特别地，合取（即“而且”）对析取（即“或者”）的分配律，对微观粒子可能不再有效。也就是说，经典命题逻辑可能不适于描述具有量子效应的微观粒子②。因此，连经典命题逻辑都可能不是绝对地普遍与必然的。经典命题逻辑的有效性，可能是依赖于宏观物质世界的偶然的构成，即依赖于宏观物体是符合经典物理学定律的物体这一偶然事实。这样，我们也有理由相信，算术也不是绝对地普遍与必然的③。

①②

笔者感谢南星同学指出本小节原作的一些问题，与他的讨论帮助我补充、改进了这里的表述。 见Hooker (1979)。参见叶峰（1998）。 ③

关于这一点，下一章介绍一种自然主义数学哲学时还要更深入地讨论。

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但是，另一方面，穆勒的经验主义面临着与康德同样的问题：现代数学的内容已经远远超出了初等算术，因此，要坚持这种经验主义的观点，就要说清楚，经验如何可能验证，以及在什么意义上验证现代数学中关于无穷数学对象的论断，如无穷集合的存在性，选择公理等等。这些数学论断显然不是经验事实的概括，不像

“5+7=12”是“5个苹果加7个苹果等于12个苹果”等等的概括。所以，穆勒的基本思想也需要发展才有可能回答今天的数学哲学问题。

五、二十世纪的经验主义

穆勒的经验主义在二十世纪也有它的变种或发展。比如，蒯因的哲学也是经验主义，一样否定数学真理是绝对地必然的或先天的，同时蒯因是以他的整体主义认识论来将现代数学容纳到他的哲学体系中。但蒯因得出的是一种经验论的数学实在论，他将“5+7=12”理解为关于抽象对象的真理。另一方面，本书下一章要介绍的笔者提出的自然主义数学哲学也赞同穆勒的一些基本思想，包括算术不是绝对地普遍、必然的，及“5+7=12”是经验事实的概括这些点，因此也许更接近于穆勒。

1.4.3 二十世纪数学哲学流派的各种回答

二十世纪的各种实在论数学哲学有着对数学真理的分析性与先天性问题的不同回答。比如，弗雷格错误！未找到引用源。相信，算术真理是分析真理。弗雷格认为，康德没有充分地分析“自然数”、“5”、“7”、“+”、“12”等等这些概念，因此以为“5+7=12”不是依相关概念的定义就为真的。其原因是，康德所知道的逻辑仅仅是亚里士多德的逻辑，它太简单了，不足以分析算术陈述的逻辑结构。弗雷格为此发明了现代数理逻辑。他认为，用这种更强有力的逻辑工具，我们可以明确地定义“自然数”、“5”、“7”、“+”、“12”等等概念，然后能够严格地证明，如果把这些概念的定义代入“5+7=12”中，它就成为逻辑真理，因此，“5+7=12”是分析的与先天的真理。

蒯因错误！未找到引用源。则与弗雷格相反。他深化了经验主义。他认为，一切知识最终都基于经验；没有绝对先天的知识；也没有绝对的分析真理与综合真理之间的差别。他用他的整体主义认识论理论来说明，经验如何能够验证现代数学中关于抽象数学对象的真理。对这些理论的更深入的分析、批评将留待后面的相关章节。

反实在论数学哲学或者认为数学定理本身无真假，或者认为数学定理是真理，但是在另外一种意义上，而不是在普通的、表达关于客观存在着的抽象对象的事态这个意义上为真理。对于前者，不存在关于数学定理本身的分析性与先天性问题，但有一些相关的分析性与先天性问题。比如，不论一种反实在论的关于数学语言的意义理论怎么解释“5+7=12”的意义，是否承认它是真理，它都应该承认相应的语句“5个苹果加7个苹果等于12个苹果”等等是表达了真理。那么，这一类真理是分析的还是综合的？是先天的还是后天的？还有，当孩子们学习了“5+7=12”，他们学到了某种知识。也许它不是关于作为抽象数学对象的自然数的知识，但直观上它应该依旧是一种相当普遍的、相当自明的、可能也是必然的知识。那么，它是先天的知识吗？这些问题，依旧是任何一个反实在论的数学哲学都必须回答的问题。其次，至于那些承认数学定理是真理但对“真理”的含义有不同理解的哲学理论，分析性与先天性也有稍微不同的含义。比如，卡尔纳普认为数学公理都是我们的数学语言中的约定，是依语言的约定而为真，因而在这个意义上它们是分析的。这意味着无穷公理、选择公理等等都是分析真理。这与康德或弗雷格所理解的分析性有所不同。后面相关的章节将更仔细地分析一些反实在论哲学是否回答了这些问题，以及他们的回答是否还有缺陷。

1.5 数学的客观性

1.5.1 数学的客观性与数学对象的客观存在性

一、接受数学实在论不仅仅在于承认数学的客观性错误！未找到引用源。

有的学者提出，数学实在论问题，实质上是关于数学的客观性（objectivity）问题，而不是关于数学对象（objects）是否客观存在这个问题①。这种说法可能源于对“抽象对象的存在性”这个概念本身的怀疑。说物质性的对象存在容易理解，即存在于宇宙时空之中，但说一个抽象对象存在究竟是什么意思？这种说法，希望能够表达某种实在论的信念但又同时回避谈论抽象数学对象。但是，先不论“抽象对象存在”是什么意思，我们认为，仅仅以是否承认数学的客观性为标准，似乎并不能区分关于数学的本质的两种真正地互相冲突的信念，即实在论者的与反实在论者的信念。

①

这种说法一般被归于逻辑学家Kreisel。参见Putnam (1975)。

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二、对“数学的客观性”的分析

首先我们要问，怎么陈述所谓的数学的客观性？对于我们这里所说的数学实在论者来说，客观性自然是指抽象数学对象客观地存在，即它们是独立于我们的心灵与语言的存在，而且数学公理与定理是关于抽象数学对象的客观真理。要谈论数学的客观性又要回避谈论抽象数学对象，也许就只能谈论数学公理与定理本身。所以，所谓数学的客观性应该指的是，数学公理与定理之有别于其它数学命题，是基于一些客观的原因，而不是基于个人的任意的选择，或主观的喜好，等等。数学公理与定理当然可以在许多方面有别于其它数学命题。对于我们这里所理解的数学实在论来说，最重要的区别仍然在于公理与定理是真理，而其它命题可能是假的，而这又意味着承认抽象数学对象的存在性。要回避这一点，就不能承认数学公理与定理的实在论意义上的真理性。那么，什么是公理与定理有别于其它命题的根本特征？也许，公理在某种意义上的自明性以及公理和定理的可应用性，是除真理性之外唯一使它们有别于其它命题的根本特征。这样，所谓数学的客观性就是指，数学公理的自明性与数学公理和定理之有用，是基于一些客观的原因，而不是由于我们的主观的喜好、任意的选择等等。另外，这里的客观性还可以区分两个层次。它可以是指，公理和定理的这些特征对不同的人来说是公共的，不是个人的主观选择的结果；它也可以是指，公理和定理的这些特征也包含了独立于人类的心灵的因素，或者说，不是由心灵的先天的、内在的特征决定的。

三、反实在论者可以承认数学的客观性

然而，问题是，反实在论者也可以承认这个意义上的数学的客观性。比如，不论你是否承认一种宗教信仰的真理性，你都可以承认，人们之所以乐于接受这种宗教信仰，以及这种宗教信仰之所以有很好的社会效益，都是基于一些客观的原因，甚至包括独立于人类的心灵的内在特征的原因，比如人类的环境的一些特征，而不是基于人们的纯粹主观上的任意的喜好，或者仅仅基于人类的心灵自身的内在特征。承认是基于客观的原因使得人们乐于信仰上帝，并不意味着承认上帝存在，或承认是上帝使得人们接受了那种宗教信仰；同样，承认一种宗教信仰有很好的社会效益，更不意味着承认那种宗教信仰的真理性。是否承认这些客观性显然不足以区分信仰者与不信者；能区分的只有是否承认“上帝存在”的真理性这一点。同样，是否承认数学公理的自明性与数学的可应用性是基于客观的原因，不足以区分关于数学的两种真正地互相冲突的信念，因为双方都可以承认这些客观性。我们认为，这两种信念之间的真正冲突还是在于，自明性或可应用性是否蕴涵了对客观存在的对象的真理性。换句话说，“自明性”是指对于某种独立于我们的思想的事物的认识上的自明性，还是仅仅指我们的思想对于我们自己具有显得清晰、自然等等这些特性（而且这些特征是客观的）。同样地，可应用性是由于真理性，是由于我们的思想以某种方式对应于某些外在的东西，还是由于我们的思想自身的一些别的什么特征。

从另一个角度，我们可以问，当一个实在论者说数学是客观的的时候，被承认为客观的究竟是什么？是大脑或心灵之外的某种东西？还是大脑或心灵之中的某种东西与大脑或心灵之外的某种东西之间的某种对应关系？还是仅仅是大脑或心灵之中的某种东西？如果是前两者，那么，对数学实在论者来说，那些大脑或心灵之外的东西就似乎只能是抽象数学对象，因为它们不能仅仅是宇宙时空之中的具体事物，否则那就是唯名论了。如果是第三者，即所谓客观的仅仅是大脑或心灵之中的某种东西的特征，比如，是大脑或心灵所理解的数学定理有某种客观的、大脑或心灵不能随心所欲地改变的特性，那么，这种意义上的客观性也可以被反实在论者接受。比如，反实在论者可以承认，我们思想中所接受的数学公理相对于我们的大脑或心灵来说是优美的、显得很自然的、很有益处的，等等。这些都不蕴涵着承认任何超出这个物质世界（与心灵）的事物的客观性，比如，不蕴涵着承认无穷的客观性。反实在论者还可以承认，由于我们的大脑或心灵的内在结构，这些数学公理的相对于我们的大脑或心灵的这些特征，不是我们的大脑或心灵可以随心所欲地改变的。显然，数学实在论者所想要肯定的应该不仅仅是这种意义上的客观性。所以，如果实在论者是指前两种意义上的客观性，那么它应该蕴涵着承认抽象数学对象存在，而第三种意义上的客观性似乎不是数学实在论者所想要表达的。

四、怀疑“抽象对象存在”的意义已经怀疑了数学实在论

事实上，只要你真正怀疑“无穷存在”，“抽象对象存在”等等这些说法是否有意义，你就已经隐含地假设了只有在这个物质宇宙之中存在的具体事物（也许还有人的心灵活动）才是真正的“存在”。然后，任何意义上的客观性，都只能是关于这个物质宇宙之中的具体事物（也许还有人的心灵活动）的客观性。这实际上已经是在怀疑数学实在论的信念是否有意义。数学实在论之所以为数学实在论，恰恰在于它相信一些超出这个物质宇宙又独立我们的心灵的东西。这种信念只能用某种不属于物质世界也不属于心灵的“存在”，甚至“客观存在”来表达。所以，仅仅承认数学在某种意义上的客观性还不足以刻画实在论者的信念，因为客观性可能仅仅是指物质世界中的事物或心灵的活动本身的某些特征的客观性。

五、抽象对象与抽象概念错误！未找到引用源。

当然，有些数学实在论者直接将数学实在论的信念将表达为“抽象数学对象客观存在”，而有些则更愿意将它表达为“抽象数学概念是客观的、独立于我们的思想的”。哥德尔晚年似乎更愿意采用后一种说法。这似乎可

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以回避“抽象对象存在”这种说法。这里需要强调，在哥德尔那里，抽象数学概念不是某个具体的人的大脑或心灵中的具体的内在表征，也不是人的思想的创造物。它们是客观的、独立于我们的思想的。因此也是一种“客观存在”。既然它们是抽象的，称它们为“对象（objects）”或“概念（concepts）”并没有真正的区别。对于物质世界中的东西，“对象”指的是一个个的物体，而“概念”则可以指大脑中的某种神经元结构，它们是大脑对事物的认识在神经元层次上的实现。在这里，“概念”还是一些事物，只不过我们强调它们的结构、在大脑中的功能等等，因此，“对象”与“概念”还是有明显的区别。“概念”也可以指一个心灵中的某种心灵实体（而非物质实体），所以，即使不是从大脑的角度而是从心灵的角度来看，“对象”与“概念”也有类似的区别。但对于所谓独立于思想的“抽象概念”，既然它们是独立于大脑、心灵的，称其为“概念”或“对象”可能没有什么真正的区别。事实上，称其为“概念”有可能将它们与存在于大脑或心灵之中的“概念”相混淆，从而使我们忽视了它们是被设想为独立于思想的这个事实，进而使我们忽视了它们带来的一些哲学上的困难。比如，对于作为大脑中的神经元结构的“概念”，或者对于属于心灵的作为心灵实体的“概念”，不存在什么大脑或心灵如何“把握概念”这个问题，因为“概念”已经就在大脑或心灵之中了。但是，如果所谓的“抽象概念”是独立于思想的，那么，思想如何能够“把握”它们，在什么意义上“把握”它们，这是需要有一个解释的①。

所以，我们将继续将数学实在论的基本信念表达为：抽象数学对象客观存在，而且数学公理与定理是关于抽象数学对象的客观真理。

1.5.2 数学的客观性问题

一、客观性问题

然后，前面已经提到，数学公理与定理之有用显然是一个客观事实。它们在科学中已经是很有用了。而它们之有用当然也是有客观的原因的，不会仅仅是由于数学家与科学家们的主观愿望。因此，我们认为，数学的至少在这种意义上的客观性是给定的事实，是任何数学哲学都必须解释的。另外，数学中的客观性似乎不仅仅在于数学公理与定理之有用是有客观原因。所以，关于数学的客观性错误！未找到引用源。的真正问题应该是：

如果抽象数学对象不存在，那么数学在哪些方面是客观的，它的客观性的基础又是什么？

这个问题主要是针对反实在论者的，因为，对于实在论者来说，数学的客观性的基础显然就是客观存在着的抽象数学对象，以及数学公理与定理是关于它们的客观真理这一客观事实。反实在论数学哲学则需要作一些努力，在不承认数学对象存在，不承认数学公理与定理是真理的前提下，说明数学在各方面的客观性。

二、概念的客观性错误！未找到引用源。

前面已经提到，数学的成功应用，应该是基于一些客观的原因。这是数学的客观性的一个方面。除此之外还有其他方面的客观性问题。从哲学的角度看，对反实在论者来说最困难也最重要的，也许是关于概念的客观性问题。我们在直观上承认，“不同的人可以理解同一个概念”。这里的“概念”不是物质性的对象。如果不同的人可以在某种意义上把握“同一个概念”，那么这个“概念”似乎应该也是独立于人心的。所以，接受这一点似乎意味着，所谓的“同一个概念”应该是一个非物质的、也独立于人心的抽象的实体。一些实在论者的确是这么认为的。比如，弗雷格就强调，概念是客观的、独立于我们的思想的，虽然它们可以被思想“把握”。弗雷格认为，只有承认这一点，才能说明我们为什么可以成功地互相交流、可以在科学中表达客观的真理。哥德尔则更直接地承认我们有一种直觉能力，使得我们能够“把握”独立于我们的心灵的抽象数学概念，就象我们有视觉能力，使得我们能够看到那些独立于我们的心灵的物体。反实在论者认为，实在论者的这种所谓的“把握”是神秘的东西，实在论者并没有说清楚它究竟是什么。但另一方面，在常识意义上的“不同的人可以理解同一个概念”，似乎是我们都应该认可的。因此，反实在论者应该对此做出解释。他们必须在不承认任何独立于心灵的、非物质的实体的前提下，解释什么是概念，在什么意义上我们可以“理解同一个概念”，为什么我们可以成功地交流等等。也就是说，反实在论者必须能够承认“不同的人可以理解同一个概念”之中蕴含的客观性，而又不必承认存在着独立于心灵的、作为抽象实体的概念。

与概念的客观性相关的问题还不仅仅在于“不同的人可以把握同一个概念”。我们一般也承认，一个人在一个特定的场合是否正确地使用了一个概念，这一点也是客观的。一个概念自身可能已经包含了一些一般性，因此，承认“正确地使用了那个概念”之中的客观性，有可能蕴涵着必需将那个概念视为一个独立于人心的抽象实体。比如，假设一个人学习了“猫”这个概念，但有一天他将这个概念用于描述一只狗。我们说这是一个错误，但这似乎蕴含着假设了“猫”这个概念是独立于那个人的心灵的，是相对于那个独立的概念我们才能说这个人犯了个错误，将这个独立的概念错误地应用到某个事物上。否则，如果那个人心灵中的东西就是一切，那么我们似乎必须说，那个人在应用概念方面无所谓错误，因为，既然他有时将他心中的一个概念用于猫，有时又将它用于

①

比如，弗雷格就认为，“抽象概念”不是“对象”。但对我们的究竟如何“把握”所谓的抽象概念，他没有解释。

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狗，那么它就应该既表示猫又表示狗，也就是说，他心灵中的一个概念就是表达任何被他实际地应用了这个概念的事物。

三、规则的客观性错误！未找到引用源。

这尤其体现在所谓的规则错误！未找到引用源。概念中。一个规则概念是人们一般说的一个规则，比如，指导我们进行某种操作的操作规则（operational rules），如对十进制数字表达式作加法、乘法运算的规则，逻辑推理规则等等。一个操作规则可以被应用在许多场合，包括以前从未遇到过的新场合。我们一般承认，一个人在一个特定的场合可能是正确地使用了一个操作规则，也可能是错误地使用了一个操作规则。或者反过来说，一个实际的操作可以是符合或不符合一个给定的操作规则。而且，我们一般承认，一个实际的操作符合或不符合一个给定的操作规则这一点是客观的。这一般称为遵循规则错误！未找到引用源。的操作的正确性问题①。比如，我们一般承认，给定了数学公理和推理规则，一个从公理推导出定理的实际的数学推导过程是否正确，这一点是客观的。这里我们不考虑由于用模糊的自然语言表达一个数学证明，以及由于证明中有步骤跳跃而可能产生的问题。我们假设证明已经被形式化了。因此，证明的正确性，仅仅指证明中的操作符合了给定的公理和推理规则。又比如，按加法规则（包括进位规则等等）对自然数的十进制表达式作加法运算，也是一种遵循规则的操作。对此，正确性指的是，一个由一系列的步骤构成的这样的运算过程，是符合了加法运算规则。直观上，承认这种正确性的客观性应该是无疑义的。比如，如果一个人作加法运算时在该进位的地方没有进位，那么我们认为他客观上没有正确地遵循给定的加法规则。

这看起来简单，但它其实是数学反实在论者的一个潜在难题。首先，正确性作为一种规范性，似乎假设了有一个独立于每个人的心灵的、作为抽象实体的公共的规则。因为，假如没有独立于我们的心灵的规则，那么我们就是各自依着自己心灵中的东西的指导去进行操作，因此凭什么说某人的操作是错了？换句话说，当我们说一个人在作加法的时候在该进位的地方没有进位，是犯了一个错误，我们似乎假设了一个独立于那个人的，其实也独立于我们自己的，公共的规则。错误是相对于那个公共的规则而言的。否则，那个人就是凭他自己的心灵的指导而进行操作，为什么称他错了？而这样一个公共的规则，如果果真存在的话，应该是一个独立于各个人的心灵的抽象实体。

四、规则的客观性与无穷的实在性

其次，更进一步，这样的规则中似乎蕴含着无穷。换句话说，如果我们承认，这种客观正确性对想象中的任意长的一系列遵循规则的操作都适用，那么它实际上是在断言，有一些关于不存在于这个有限宇宙中的事物的客观真理。比如，想象一个极其长的形式化的证明，或一个将两个极其长的十进制表达式相加的运算式。想象它们是长到如此程度以至于它们不可能存在于这个有限的宇宙之中。现在问，这样的一个证明或一个加法运算式，是否也是客观地、独立于我们的思想地正确或错误的？普通人很自然地有一种信念，认为一个加法运算式，不论它是在加多长的数字表达式，不论人类有没有能力实际地写下这个运算，其正确与否都应该是客观的。但是，假如宇宙真的是有限的，因此这种想象中的证明或运算式不可能在宇宙中实际存在，那么，相信这种客观性，实际上是相信这种想象对应于某种不属于这个宇宙的客观实在，也就是相信一些超出这个有限的宇宙的客观真理。因此，这是在肯定数学实在论。当然，我们今天并不确定宇宙是否是有限的。但重要的是，假如有人确信这其中的客观性，那么他只能是在肯定实在论，既然我们还不确定宇宙是否有限。

事实上，相信这里的客观性，是将所谓“任意长的形式化证明”或“任意长的加法运算式”当作独立存在的抽象实体，将关于它们的正确性的判断当作关于这种抽象实体的客观真理。这也是将加法运算规则，当成一个可以作用于无限多的、任意长的数字表达式的数学函数，因而是一个蕴含了无穷的实体。这些都已经在一定程度上接受了实在论。

五、解释规则客观性的难点

应该承认，我们关于这种类型的客观性的直觉是很强的。比如，考虑乘法交换律： （1） 对任何m，n，m ? n = n ? m。

假如将（1）理解为关于作为抽象数学对象的自然数m，n的论断，那么我们也许容易接受反实在论者的一些说法，比如，认为（1）是像一个故事中的陈述，没有客观的真假。因为，所谓的抽象对象的存在性确实有一些难解。也许它们就是我们想象的，因此（1）就是我们编的一个故事中的陈述。但是，如果我们将（1）理解为关于十进制数字表达式的论断，即断言对十进制表达式做乘法运算的结果满足交换律，那么直观上我们似乎更愿意认为，（1）有客观的真理性（而不仅仅是我们的数学故事中接受的一个陈述），而且是对所有的十进制数字表达式为真的，不论那些数字表达式是否真的在宇宙中实际存在。但这实际上已经将所谓“任意的十进制数字表达式”当成了独立于物质世界而存在着的抽象对象，而且将（1）当成了关于这种抽象对象的客观真理。类似地，

①

参见Kripke (1982)。自克里普克（Kripke）的这本书出版以后，出现了大量关于遵循规则的讨论。我们这里只讨论其中与数学实在论与反实在论之争相关的一些问题。

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在可计算性理论中，我们将一个图灵机设想为一个可以有无限长的存储带的机器。我们可以设计一个实现乘法运算的图灵机。然后，（1）也可以被解释为关于这样一个图灵机的论断，即断言对任何一对输入，不论它们有多长，将它们的位置交换后，所得的输出不变。直观上，我们也似乎愿意认为，在这样的解释下，（1）应该是客观真理（而不仅仅是我们编出的故事）。但是，一个可以有无限长的存储带的图灵机不能在有限的宇宙中存在。因此，相信对（1）的这种解释的客观真理性，也是将图灵机当成客观存在着的抽象对象，将（1）解释为关于它们的客观真理。

这些例子都有这样一个共同的特征：当只考虑那些有限的、在宇宙中实际存在的事物的时候，相关的论断明显地有客观真理性。比如，对于一个实际存在的加法运算式，我们都承认，它是否正确地遵循了加法运算规则应该是客观的。类似地，如果实际地将两个很小的数字表达式依乘法运算规则相乘，然后问乘法交换律是否成立，我们也都承认，答案是客观的，即交换律是客观地真的。然后，我们似乎有一种很强的直觉，认为这些关于有限的事物的论断可以推广到一般，推广到“任意长”的数字表达式，有“任意长”的存储带的图灵机，等等。而且，我们似乎愿意相信，推广以后的论断还是有客观的真理性，虽然那些所谓“任意长”的数字表达式，有“任意长”的存储带的图灵机等等，也许不可能在宇宙中存在。

这里我们处于一种两难的境地。一方面，我们的确有这样的很强的关于客观性的直觉；而另一方面，承认这种客观性似乎已经意味着承认抽象实体的客观存在性，即承认实在论。反实在论者在这里的任务，就是在坚持反实在论的基本原则的基础上，即在否认任何超出这个有限宇宙的客观存在性的基础上，对我们的这种很强的直觉提出一种解释。一方面，反实在论者需要说明这种直觉在一定程度上的合理性，而另一方面他们也需要解释，为什么这种直觉不必真的蕴涵实在论的结论。

但是，二十世纪的种种反实在论数学哲学似乎都还没有做到这一点，有些甚至没有意识到这是反实在论的数学哲学的一个重要任务。这也是笔者提出下一章将要介绍的那种彻底地自然主义的数学哲学的主要动机之一。

1.6 数学的可应用性

从前面的讨论可以看出，反实在论数学哲学面临的许多问题，可以最终归结为如何解释数学在科学中的可应用性错误！未找到引用源。这个事实，包括说明数学可应用的客观原因。数学可以在科学应用中推导出科学真理，这是不争的事实。它意味着数学不仅仅是一个任意地设计的游戏，或一个任意地编撰的故事。任何一种数学哲学都需要对此作出解释。

1.6.1 数学实在论并未清楚解释可应用性

一、数学实在论对可应用性的解释

从表面上看，数学实在论错误！未找到引用源。似乎更容易解释数学的可应用性。数学实在论认为，抽象数学对象客观存在，数学公理与定理是关于抽象数学对象的客观真理，因此，数学在科学应用中可以推导出真理是因为数学公理与定理本身是真理。

更确切地说，一个科学理论中的前提一般可分为三类：（I）数学公理及定理；（II）关于宇宙中的具体事物的陈述，包括关于具体事物的观测结果的陈述，以及一些不用数学语言表达的，关于宇宙中的具体事物的一般规律的陈述；（III）用数学语言表达的，关于宇宙中的具体事物的一般规律，比如物理定律。前提（III）中的语句一般直接陈述数学对象与物理对象之间的联系，以此表达某个自然规律。比如，一个经典力学中的前提可能说，

（1） 存在一个满足如此这般的微分方程的数学函数，它表示如此这般的一个物体的运动轨迹。

又比如，一个量子力学的前提可能说，存在一个如此这般的数学函数，它是某个粒子的波函数。在数学实在论看来，在一个成功的科学理论中，这三类前提都是真理：（I）是关于抽象数学对象的真理；（II）是关于具体事物的真理；（III）则是关于抽象数学与具体事物之间的联系的真理。这样，由这些前提逻辑地推导出的科学结论，自然也是真理。这也许是一般数学实在论者所天然地假设的，对数学的可应用性的解释。比如，蒯因错误！未找到引用源。在描述科学应用如何核证数学真理的时候，就是将数学公理、物理定律等等同等地看作我们的科学理论中的前提。然后说，既然从这些前提推导出的关于经验观察的结论得到了经验的验证，这就反过来核证了这些推导的所有前提，同时包括其中的数学前提与物理前提，即数学公理与物理定律。也就是说，一方面，数学定理之为真解释了所推导出的观察结论之为真，另一方面，所推导出的观察结论之为真核证了作为推导的前提的数学定理为真。

二、实在论解释的问题：用无穷数学表达的科学定律一般并非精确地真的

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但是，如果我们作更仔细的分析就会发现，事情不是那么简单。主要的原因是，模拟物理对象的数学模型一般被描述为无穷的、连续的，但我们并不真的假设物理世界是无穷、连续的。比如，我们用一个连续、可微分的数学函数表示流体的质量分布，或者甚至表示地球上的人口的增长。这是用一个无穷、连续的数学模型，近似地模拟有限、离散的物理对象。这样的模型不是精确地为真的。鉴于今天的物理学只能描述普朗克尺度以上的事物，在所有今天的科学应用中，任何使用无穷、连续数学模型的地方，从广义相对论、量子力学，到金融数学或人口研究，都是在用无穷、连续的数学模型来近似地模拟有限、离散的事物。因此，即使抽象数学对象真的存在，而且纯数学的公理与定理是关于它们的真理，前面提到的科学应用中的第（III）类前提中的语句，也常常不是严格地真的。因此，上面的对数学应用的描述并不准确。

1.6.2 什么是真正的可应用性问题？

一、对数学应用的更准确的描述

对数学应用的更准确的描述应该是这样的。由于这些无穷、连续的数学模型只是近似地模拟那些有限、离散的具体事物，第（III）类前提中的语句本身必需包含“近似地表示”、“近似地模拟”等等表达近似性且带有模糊性的词汇。比如，对于模拟人口增长，象（1）那样的前提应该写为这种形式：

（2） 存在一个满足如此这般的微分方程的数学函数p(t)，它近似地表示地球上的人口（相对于时间）的增

长。

也许这里的“近似地表示”可以更严格、精确地表达，但在实际应用中我们一般是依赖我们对它的直观的理解。然后，再以模拟人口增长为例，数学应用中的推理步骤大致是这样的：首先，利用前提（III）中关于数学对象近似地模拟具体事物的假设，从前提（II）中的关于具体事物的假设，可推导出关于相应的数学对象的数学假设，一般是作为初始条件等等。比如，前提（II）中可能包含一个关于人口数量的初始值的假设。由此，并利用（2）中蕴涵着的关于函数p(t)“近似地表示”人口增长这个假设，就可推出关于函数p(t)的初始值的一个数学假设。然后，由这些数学假设，加上前提（I）中的数学公理与定理，及前提（III）中所蕴涵的其它数学假设，严格、精确地推导出一个关于抽象数学对象的数学结论。比如，由关于函数p(t)的初始值的数学假设，数学分析与微分方程理论中的定理，及（2）中蕴涵的关于函数p(t)的微分方程，推导出一个关于p(t)的数学结论。最后，再利用前提（III）中关于数学对象近似地模拟具体事物的假设，从那个关于抽象数学对象的数学结论，得出关于所应用的具体事物的一个结论。比如，再利用（2）中蕴涵着的关于函数p(t)“近似地表示”人口增长这个假设，从前面所得出的关于p(t)的数学结论，再得出关于人口增长的结论。

二、真正的可应用性问题

这是对数学应用的一种更准确的描述。然后，要解释数学的可应用性，就是要解释为什么最后得出的关于具体事物的结论，比如关于人口增长的结论，是真的。这里的难点是，“近似地模拟”、“近似地表示”等等都不是有严格定义的数学概念。因此，象（2）那样的前提不是严格的数学陈述，它的意义不是非常清晰。而且，上面所描述的，最后得出关于具体事物的结论的推导过程，也不完全是严格的数学推导，尤其是那些利用了前提（III）中关于数学对象近似地模拟具体事物的假设的推导，比如，最后一步从数学结论到物理结论的推导。因此，究竟为什么某些这样的推导能够得出关于具体事物的真结论，在逻辑上不是很清楚。这就是一个对数学的可应用性的解释，包括实在论的解释，应该解释清楚的。

更具体地说，首先，显然不是每个关于抽象数学对象的数学结论都能蕴涵某个有意义的关于具体的应用对象的结论。对可应用性的解释应该能够描述哪些关于抽象数学对象的结论可以蕴涵有意义的关于具体的应用对象的结论，也就是说，哪些数学结论是有实际意义的。比如，在人口增长的例子中，如果一个数学结论被翻译为“在某个非常短的时间区间内总人口增加了0.03个人”，那它当然是没有实际意义的。又比如，我们可以想象，我们用一个抽象的、很强的、蕴涵无穷的数学公理（如集合论中的一种大基数公理），非构造性地证明了一个关于函数p(t)的存在性定理，比如，存在一个p(t)的导数为0的时刻。这样一个数学结论是否在这个应用中有实际意义就不是很清楚。p(t)的导数等于0意味着在那一时刻函数的增长率等于0。但是，既然人口增长实际上是离散的、跳跃式的，当然存在许许多多很短的时间区间，在其中人口的总数没有变化，即增长率等于0。如果这个数学证明蕴涵着，在一个足够大的时间区间中，函数p(t)的导数都非常的小，那么直观上它可能有实际意义，它可能蕴涵着离散的人口增长也在某个大致的时刻停滞。要说明哪些数学结论是有实际意义的，哪些可能是无实际意义的，显然需要我们更仔细地分析前提中的“近似地表示”、“近似地模拟”等等。

其次，我们还需要在逻辑上清楚、严格地解释，为什么所推导出的有实际意义的结论是真的。比如，如上面所提到的，假设用了一个很抽象的、很强的集合论公理以后我们证明了

（3） 存在一个足够大的时间区间[t1, t2]（比如有一个月长），在其中，函数p(t)的导数（的绝对值）都非

常小。

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直观上（3）是有实际意义的，而且可以解释为，

（4） 在时间区间[t1, t2]中，出生与死亡大致地达到了平衡。

直观上我们也会相信这样得出的结论。但问题是，我们需要在逻辑上清楚、严格地解释，为什么这个结论（4）是真的。尤其是，我们希望能够找出，究竟是哪些前提逻辑地蕴涵了这个结论（4）。比如，既然人口增长是离散的，我们有理由怀疑，涉及实无穷的数学公理是否真的是推导出（4）的绝对必要的前提。也许，从一些关于离散的人口增长的前提，就足以推导出（4）。这需要将前提（III）中的“近似地表示”、“近似地模拟”等等，用精确的数学化语言严格地表达出来，然后将（I）、（II）、（III）等三类前提，都用精确的语言表达，然后才能准确地回答，究竟在这个推导中，（4）是逻辑地、必不可少地依赖于哪些前提假设。还有，我们希望能够说明，数学推导如何保持了“近似地模拟”这个关系。数学推导需要保持这个关系，这样，由前提中的数学对象近似地模拟具体事物，才能得到（3）那样的数学结论也是近似地模拟具体事物，然后才能得到（4）那样的关于具体事物的结论。

这些是解释数学的可应用性中需要做到的。在二十世纪的各种实在论数学哲学流派中，还没有任何一种流派作了这个工作，因此，还没有任何一个实在论哲学真正完整地解释了数学的可应用性。关于这一点，本书后面的相关章节还要对每个具体的实在论哲学思想作更细致的分析、论证。

1.6.3对可应用性的解释可能支持反实在论

一、无穷数学的定理也许不是在应用中逻辑上绝对地不可缺的

也许实在论者们认为，这些只是技术性的细枝末节，但事实上，它对实在论与反实在论之间的争议可能会有重大的影响。因为，这种对数学应用的解释要能够支持数学实在论，它的结果应该显示，在一个数学应用中，最后得出的关于有限、离散的具体事物的结论，确实在逻辑上依赖于关于抽象数学对象的那些公理，而且是必不可少地依赖于那些公理。比如，对前面的例子，它应该显示，最终得出的结论（4）是必不可少地依赖于某些关于抽象数学对象的数学公理。这样，成功的数学应用才能够反过来核证那些关于抽象数学对象的数学公理。但是，如果我们真正地去完成那些技术性的细节，所得出的结果有可能恰好相反。也就是说，有可能我们会发现，之所以应用无穷、连续的数学模型会最终得出关于有限、离散的事物的真理，就是因为关于无穷、连续的数学模型的那些前提，其实不是必不可少的。也就是说，我们的关于有限、离散的具体事物的结论真正依赖的前提，仅仅是关于有限、离散的事物本身的一些前提。

二、人口增长的例子

比如，直观上，前提（2）是合理的，是因为那个微分方程在某种意义上“近似地”刻画了人口增长。前提（2）本身直接地提到了那个数学函数p(t)，同时断言p(t)严格地满足那个微分方程，然后它断言p(t)近似地表示人口增长。但是，可以想象，我们也许可以改写前提（2），使它不提那个数学函数，而直接地将“那个微分方程在某种意义上近似地刻画了人口增长”这一点，表达为关于在不同时刻的人口总量的变化的陈述。比如，可以用一个差分方程代替那个微分方程，也就是将微分方程离散化，然后将差分方程叙述为不是关于函数或一系列实数（或有理数）的论断，而是关于地球上不同时刻的人口数量这个物理属性的论断。这很可能会比原来的前提（2）更冗长得多，但直观上，这似乎才是我们的关于地球上的人口增长的真正的前提假设，是真正严格准确地（而不仅仅是近似地）表达了人口增长的规律。直观上，真正蕴涵我们的关于人口增长的结论（4）的，也许应该是这样的前提。既然这样的前提直接谈论人口增长，而不谈论抽象数学对象，它应该是属于类型（II）的前提。

换句话说，象前提（2）那样引入一个可微分的数学函数来表达人口增长的规律，也许只是为了用简化的方式，因而不是最精确的方式，来表达人口增长的规律。更一般地，类型（III）中的前提，是表达如何用无穷数学模型简化地、近似地模拟有限的具体事物。直观上，也许我们可以去掉其中的简化手段，将类型（III）中的前提直接表达为关于所应用的有限的具体事物的论断。这实际上是将它们转化为类型（II）的前提。结果将是，类型（I）中的纯数学的公理就不必要了，因为没有类型（III）的前提将它们与类型（II）的前提联系起来，而最后的关于有限的具体事物的的结论，比如结论（4），就将只是一些类型（II）的前提的逻辑推论。

这样做的结果应该会使得类型（II）的前提非常地冗长、繁琐，因而从实用的角度来说是不可取的。利用数学定理以及（2）那样的将数学对象与具体事物联系起来的前提，可以更简单地推导出我们所感兴趣的关于有限的具体事物的结论，比如结论（4）。但是，只要这原则上可行，它在理论上就能够真正地解释为什么所得出的关于有限的具体事物的结论，比如结论（4），是真的。它意味着，利用数学定理可以更简单地推导出我们所感兴趣的关于有限的具体事物的结论，但之所以一个这样的推导能够保证所得出的结论是关于有限的具体事物的真理，恰恰是因为，原则上，我们也可以消除数学定理，而仅仅从我们真正地假设的关于有限的具体事物的前提，即从如上描述的消去类型（III）的前提后所得的类型（II）的前提，推导出那个结论。

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三、因此实在论的假设将与解释可应用性无关

这将是一个反实在论者也可以接受的对数学应用的解释，而且更进一步，它支持了反实在论。因为，它将说明实在论的信念是与解释数学的可应用性无关的。也就是说，表面上谈论抽象数学对象的数学公理与定理在应用中可以帮助推导出关于具体事物的真理，不是由于这些数学公理与定理本身是真的，而恰好是由于，它们虽然帮助简化了我们的推导，但却不是绝对地不可或缺的，消除这些数学公理与定理以后，我们将得到一个逻辑上更清晰的（虽然是过于繁琐的，因而从实用的角度是不可取的），从关于有限的具体事物的前提，到所考虑的关于有限的具体事物的结论的直接的推导。换句话说，解释那些数学公理的可应用性将恰好在于证明，那些数学公理，虽然带来很大的简化，却是原则上可消除的，因此应用的成功仅仅证明了它们的便利性，却不能帮助核证它们的真理性。

下一章介绍的那种彻底自然主义的数学哲学将沿着这个思路解释数学的可应用性。关于这方面的研究已有一些成果，将在下一章给出相应的文献。反之，二十世纪的其它反实在论数学哲学都还没有对数学的可应用性作出合理的解释。而且，有一些作者似乎没有意识到这是他们的反实在论数学哲学的最重要的问题①。

1.7 数学哲学研究的意义

1.7.1 二十世纪数学哲学的演变

一、二十世纪早期的数学哲学主要试图为数学提供基础

二十世纪的数学哲学经历了一些演变。作为一个相对独立的研究领域，二十世纪的数学哲学源于二十世纪初的数学基础研究。十七、十八世纪的微积分中使用了许多模糊不清的概念，因而导致了一些悖论与争议。在十九世纪，数学分析经历了一个严密化的过程。经过柯西（Cauchy）错误！未找到引用源。②、魏尔斯特拉斯（Weierstrass）错误！未找到引用源。③等人的工作，极限、收敛、连续、微分、积分等等数学分析中的基本概念有了较清晰、严密的定义。在十九世纪末，戴德金（Dedekind）错误！未找到引用源。④等人进一步建立了作为数学分析的基础的实数理论，康托尔（Cantor）错误！未找到引用源。⑤则发明了集合论，使得实数理论可以最终建立在集合论的基础之上。康托尔的集合论并没有立即被数学家们接受。一些与集合论有关的悖论在世纪之交被陆续发现，更使得一些数学家强烈地批评集合论，包括当时的一些最出色的数学家，如彭加勒（Poincaré）

⑥⑦

错误！未找到引用源。，赫尔曼?维尔（Hermann Weyl）错误！未找到引用源。等等。另一方面，弗雷格在十九世纪末发明了现代数理逻辑，并试图在逻辑的基础上建立严密的算术与数学分析理论，而1903年罗素（Russell）⑧在弗雷格的系统中发现了矛盾。这些一般被称为十九世纪末至二十世纪初的关于数学基础的危机。

面对这种危机，在二十世纪初产生了几个数学基础研究的流派。有三个是基于一些哲学思想的数学基础流派：罗素与怀特海（Whitehead）的逻辑主义、布劳魏尔的直觉主义与希尔伯特的形式主义；还有不那么顾忌哲学基础的集合论公理化运动。由于种种原因，最后被数学家们普遍认可为现代数学的基础的，是公理化的集合论。

二、二十世纪中期以后的数学哲学退回到考虑哲学问题

进入二十世纪三、四十年代以后，关于数学基础的争议再没有引起一般数学家们的注意力。公理化以后的集合论似乎已经排除了所有可能的矛盾，以及数学概念上的不清晰之处等等，成为数学家们普遍接受的基础；关于数学的哲学问题也都离开了几乎所有数学家们的视野。对数理逻辑与数学基础的研究还在少数逻辑学家中继续着，但它们对绝大多数数学家们不再产生任何影响。

从二十世纪三、四十年代起，对数学中的哲学问题的思考，主要是在哲学家们中间进行，当然也包括个别的对哲学有特别兴趣的数学家或逻辑学家。比如，卡尔纳普继续了逻辑经验主义对逻辑真理、数学真理的分析；蒯因则开始了对逻辑经验主义的严厉批评，并在此基础上发展他的数学实在论思想；哥德尔从四、五十年代起也基

①

②③

见Ye (forthcoming-a)中对一些当代反实在论数学哲学的批评。

Augustin-Louis Cauchy（1759 – 1857），法国数学家。 Karl Weierstrass（1815 – 1897），德国数学家。 ④

Richard Dedekind （1831 – 1916），德国数学家，以戴德金分割方式定义实数的发明者。 ⑤

Georg Cantor（1845 – 1918），德国数学家，集合论的发明者。 ⑥

Henri Poincaré（1854 – 1912），法国数学家与理论物理学家。 ⑦

Hermann Weyl（1885 – 1955），德国数学家。 ⑧

Bertrand Russell （1872 – 1970），英国哲学家与逻辑学家。

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本专注于思考哲学问题。到了二十世纪后半叶，在英语国家，数学哲学完全成为分析哲学的一个分支。其中最受到关注的问题，就是我们前面介绍的本体论问题、认识论问题、意义理论问题等等，即最中心、也最经典的哲学问题在数学这一知识领域的反映。

1.7.2 数学哲学研究的意义

一、对一般哲学研究的意义

由于现代数学这个知识领域的一些特殊性，使得关于现代数学的这些哲学问题，成为一般的哲学思想的试验场。具有经验主义、实用主义、理性主义、或自然主义等等各种一般性的哲学倾向的哲学家，都很自然地尝试将这些一般性的哲学思想运用于数学这个知识领域，以检验这些一般性的哲学世界观。现代数学的特殊性在于，一方面，它被认为是整个科学的基础，而且是提供了最可靠的知识，而另一方面，它所研究的对象表面上超出了经验的范围，是所谓抽象对象，甚至无穷的抽象对象。因此，如前面几节所描述的，关于数学的本体论、认识论、语义学、可应用性等等问题，对每一种哲学思想都是挑战。还有，由于二十世纪的数理逻辑与数学基础研究，数学理论可以说已经得到了最彻底的分析，而且，数学理论的形式化、公理化，使得数学概念、推理中的任何模糊性、不确定性都被消除，也使得由于这些模糊性、不确定性而导致的回答哲学问题的困难都被消除。因此我们一般相信，假如本体论、认识论、意义理论、分析性、先天性等等这些哲学问题有可能得到确定的回答，那么关于数学的这些问题也许应该首先得到回答。因此数学哲学问题常常成为各种哲学思想首先尝试回答的哲学问题，成为哲学思想的试验场。这是数学哲学研究对一般哲学的意义。

二、二十世纪数学哲学与数学实践的关系

自从大约二十世纪三十年代起数学家们普遍地接受公理化的集合论作为数学基础以后，数学哲学研究就没有对数学实践产生影响。但是，这当然不等于说，对数学的哲学上的思考永远不会对数学实践产生影响。从科学史的角度来说，一般认为，在科学研究的所谓“范式转换”时期，或所谓的“科学革命”时期，哲学思考可能对科学实践产生一些影响。比如，许多学者认为，马赫对绝对时空观念的分析、批评，正面地影响了爱因斯坦。这种影响，似乎是由于一些哲学上的分析、思考，动摇了一些旧的观念上的教条，比如绝对时空的观念，从而鼓励科学家放弃一些教条，去探索新观念。当然，一种哲学思考也可能表现为对一些新观念的抵触，比如爱因斯坦早期对量子力学的抵触。这也许是负面的影响。它也许是由于一些新观念与一些已有哲学信念相冲突，从而导致了对新观念的疑虑，而新观念后来被实践证明是正确的。当然，也有可能新观念后来被证明是无根据的幻想。已有的哲学信念，本身也是对过去的所有知识的概括。并不是任何新观念都是对的。所以，应该说，哲学思考对科学实践的可能的影响是复杂的。

就现代数学来说，接近于这种所谓“研究范式转换”的，就是十九世纪末至二十世纪初现代数学被确立这一时期。其间，由于新观念的产生，激活了许多对数学的本性与基础的哲学思考。今天回过头来看，也许其中多数哲学思考并没有对二十世纪的数学实践产生正面的影响。比如，直觉主义与逻辑主义所提出的，更多的是从哲学动机出发的数学基础，并没有被数学家们接受。希尔伯特的试图为集合论与无穷数学作辩护的形式主义，也事实上没有成功，虽然希尔伯特始终还是坚持接受集合论与无穷数学。数学家们似乎更多的是基于实用上的考量而接受了集合论，比如，集合论能够使得数学语言更严密而没有矛盾或歧义，能够定义更多的数学结构、发展更多的数学理论，能够证明更多的数学定理，而且更简单、方便等等。数学家们似乎不再顾虑关于集合论的哲学上的问题。而且，似乎正是这种实用的、回避哲学问题的精神，才使得二十世纪的经典数学得以迅速发展。

三、数学哲学对数学实践的可能的影响

这是我们对二十世纪的数学哲学对数学实践的影响的评价。但即使这样，它也没有完全排除哲学思考将来还有可能会对数学实践产生正面的影响。前面已经提到，哲学思考的影响可能是复杂的。而且，如果哲学上的分析能够消除一些仅仅由于习惯而产生的、没有真实依据的、教条式的信念，从而鼓励我们去探索新的观念、新的方法，那么它有可能产生正面的影响。正是在这一点上我们认为，一种反实在论的数学哲学，有可能对未来的数学实践产生正面的影响。因为，数学实在论相信数学提供了对某种客观实在的绝对真理，而如果反实在论的分析是正确的，那么它意味着实在论者的这种信念是没有真实根据的，仅仅是我们将我们自己的一些想象投射到外部世界的结果。而且，这种教条式的信念有可能正在在阻碍着我们去探索新的数学语言，或者新的数学想象。

换句话说，如果数学是关于某种客观实在的客观真理，那么我们期望已知的这些客观真理是相对稳定的，也就是说，我们期望今天的数学会永远被保留。而且我们一般还相信，客观真理总有其内在价值，不论它们是否在其它方面有用。但是，反实在论是将数学看成一种工具。一种工具的价值仅仅在于它有助于达到某个目的。就数学来说，这个目的应该是科学应用。而且，一种工具的价值还可能由于其它情况的变化而被改变。比如，就无穷数学这个工具来说，有可能，在计算机出现之前，用无穷、连续的数学模型来模拟有限、离散的事物是对于我们来说最有效的。但是，在功能越来越强的计算机出现以后，有可能用计算机来模拟有限、离散的事物会变得更有

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效。这意味着，有可能，用一种谈论象计算机程序那样的东西的数学语言来表达我们的科学理论，会变得比用谈论无穷的抽象数学对象的经典数学语言更有效。反实在论数学哲学很自然地鼓励这一类探索。

四、对数学教育的可能影响

对数学的不同哲学理念，也会很自然地影响到我们对数学教育的看法。如果数学，特别是抽象数学，是关于某种客观实在的客观真理，那么，数学教育的目的之一很自然地就是帮助学生认识这些真理，以及学习认识这些真理的方法，而且这可能被认为具有内在价值。这种理念很自然地导致了试图将越来越多的抽象数学放在非数学专业的高等教育中，甚至中等或初等教育中。反之，如果数学在本质上是一种工具，那么我们很自然会采取另外一种态度，即更多地考虑教导学生如何使用这种工具。比如，考虑到在现实世界中求体积等数学运算，如果精度达到了普朗克尺度，那一定是无意义的。因此，任何现实世界中的求体积等运算都只要很有限的精度，都在原则上只能是有限和等等。因此有可能，仅仅是由于缺乏很好的计算机及求体积的数学软件，才使得我们需要用积分公式求体积，因此才需要学生去学习严格的极限、积分等等数学分析中的较复杂、抽象的概念，去记忆那些复杂的积分公式与求积分的技巧。这是将无穷数学视为一种工具的很自然的推论。如果这是对的，那么，很自然的想法是，也许我们应该做的是更多地设计方便实用的数学软件，然后在数学教育中更多地教学生运用数学软件解决问题的方法，而不是教学生抽象的极限、积分等概念，教学生积分公式与求积分的技巧，乃至教学生严格地表达极限、连续等概念的所谓的?-?语言等等。这种数学教育理念，应该能够使得非数学专业的学生能够掌握相当复杂、相当有力的数学工具，节省许多学习时间，极大地提高他们在自己的专业领域中的数学应用的程度，提高他们的工作效率与创造性。当然，数学专业的学生，或生产数学软件的研究人员，还是需要掌握最抽象的数学。这正是许多科学技术领域中所不断发生的事情，即由于专业分工带来了一个人在自己的专业领域中的创造性获得极大的提高。

五、自然主义数学哲学研究的价值

最后，本书将采纳自然主义的基本世界观①。从自然主义的角度看，数学哲学研究是广义的科学研究的一部分。对自然主义者来说，人是自然的产物；人的思维活动原则上可归结为大脑的活动，因而是自然现象；人的数学思维活动因此也是自然现象。所以，数学哲学就是研究人的数学思维活动这种自然现象的科学，是科学的一部分。当然，人的数学思维活动这种自然现象包含许多方面。比如，有心理的方面，那应该属于心理学。自然主义的数学哲学则关注其中与逻辑及哲学有关的方面，包括在自然主义框架下描述数学语言的意义，讨论关于数学知识的认识论问题，分析数学的先天性、必然性，分析数学的客观性，从逻辑上解释数学的可应用性等等。由于它是对人的数学思维活动这种自然现象的分析、描述，它与一般的科学研究在实质上是一样的②。所以，即使不论数学哲学研究对一般哲学研究的意义以及对数学实践与数学教育的可能的影响，作为对一类自然现象的科学研究，自然主义数学哲学也有其自身的价值，就像所有其它的对自然现象的科学研究。这是自然主义的数学哲学在另一个层面上的意义。

①②

见下一章对什么是自然主义的说明。 下一章将详细说明这些。

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