考研数学概率论与数理统计强化习题-大数定律与中心极限定理

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模块十 大数定律与中心极限定理

Ⅰ 经典习题

一． 用切比雪夫不等式估计事件的概率

1、设 1, 2 , n为独立同分布的随机变量，E i ,D i 2 i 1,2,.....,n ，若令

1n i，则切比雪夫不等式为P 2 _______. ni 1

二．大数定律

1n

2、设随机变量序列X1,X2,...,Xn,...相互独立，则根据辛钦大数定律，当n Xini 1依概率收敛于其期望，只要X1,X2,...,Xn,...（ ）

（A）具有相同的数学期望 （B）服从同一离散型分布

（C）服从同一泊松分布 （D）服从同一连续型分布

3、设随机变量序列X1,X2,...,Xn,...相互独立，记Yn X2n X2n 1，则根据辛钦大数定律，

1n

当n 时， Yi依概率收敛到零，只要X1,X2,...,Xn,...满足（ ） ni 1

（A）数学期望存在 （B）有相同的数学期望和方差

（C）服从同一离散型分布 （D）服从同一连续型分布

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4、假设随机变量序列X1,X2, ,Xn, 独立同分布且E Xn 0，则

n limP Xi n （ ） n i 1

（A）0 （B）11 （C） （D）1 42

三．中心极限定理

5、设随机变量X1,X2, ,Xn相互独立,Sn X1 X2 Xn则根据列维—林德柏格(Levy Lindberg)中心极限定理, 当n充分大时,Sn近似服从正态分布, 只要X1,X2, ,Xn（ ）

（A） 有相同的数学期望 （B）有相同的方差

（C） 服从同一指数分布 （D）服从同一离散型分布

6、某工厂有400台同型机器，各台机器发生故障的概率均为0.02，假设各台机器相互独立工作，试求机器出故障的台数不少于2台的概率。

7、检查员逐个地检查某种产品，每次花10秒检查一个，但有的产品需要重复检查一次再用去10秒。假设每个产品需要重复检查的概率为

个的概率。

1，试求在8小时内检查的产品数多余19002

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Ⅱ参考答案

一． 用切比雪夫不等式估计事件的概率

1、【答案】1 4n

【解析】由已知 1, 2 , n为独立同分布的随机变量，E i ,D i 2 i 1,2,.....,n ，

11n

可得E E i ，D 2ni 1n D

i 1ni 2n，这样我们就可以利用切比雪夫不等式，

2

1. P 2 2 4 4n

二．大数定律

2、【答案】（C）

3、【答案】（B）

4、【答案】（D）

【解析】由随机变量序列X1,X2, ,Xn, 独立同分布且E Xn 0，故由辛钦大数定律

1n 1nP知 Xi 0，即 0， limP Xi 1，取 1，则 n ni 1 ni 1

n 1n n n limP Xi 1 1，即limP Xi n 1，而 Xi n Xi n ，n n i 1 ni 1 i 1 i 1

n 故limP Xi n 1，选（D）. n i 1

三．中心极限定理

5、【答案】（C）

【解析】当条件（C）成立时，同分布满足.

6、【答案】0.9838

7、【答案】0.916

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