1.8 匀变速直线运动规律的应用()教学案 教科必修1

1.8 匀变速直线运动规律的应用

[目标定位] 1.会推导匀变速直线运动的位移与速度的关系式v－v0＝2ax，并能利用公式解决相关题目.2.掌握匀变速直线运动的两个重要推论：平均速度和Δx＝aT，并能利用它们解决相关问题．

匀变速直线运动的速度与位移关系 1．关系式：v－v0＝2ax；

12

2．推导：由匀变速直线运动的速度公式：v＝v0＋at和位移公式：x＝v0t＋at消去时间t2即得．

3．若v0＝0，速度与位移的关系为v＝2ax. 想一想：

如图181所示，如果你是某机场的设计师，知道飞机起飞时的加速度是a，起飞速度是v，你将把飞机的起飞 跑道设计成至少多长呢？

2

2

2

2

2

2

图181

v2－v2v20

答案 飞机起飞时做匀加速直线运动，根据位移时间公式：v－v＝2ax，得x＝＝. 2a2a2

2

0

一、位移－速度公式的理解及应用

1．公式推导：物体以加速度a做匀变速直线运动时，设其初速度为v0，末速度为v，则由速度公式：v＝v0＋at 12

位移公式：x＝v0t＋at

2

得位移与速度的关系式为v－v0＝2ax

注意 如果匀变速运动的已知量和未知量都不涉及时间，则利用公式v－v0＝2ax求解问题时，往往比用两个基本公式解题方便． 2．对公式的理解：

(1)适用条件：匀变速直线运动．

2

2

2

2

(2)位移与速度的关系式：v－v0＝2ax为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．

①若物体做匀加速直线运动，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a取负值． ②若位移的与正方向相同取正值；若位移与正方向相反，取负值． (3)两种特殊形式：

①当v0＝0时，v＝2ax，(初速度为零的匀加速直线运动)． ②当v＝0时，－v0＝2ax(末速度为零的匀减速直线运动)．

例1 2013年岁末中国首艘航母“辽宁舰”在南海传出“顺利完成作战科目试验”的消息．歼-15战机成功起降“辽宁舰”，确立了中国第一代舰载机位置．如图182所示，航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知歼-15战机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s

2,

22

22

战斗机滑行100 m时起飞，起飞速度为50 m/s，则航空母舰静止时弹射系统必须使歼-15战机具有的初速度为( )

图182

A．10 m/s B．20 m/s C．30 m/s D．40 m/s

解析 根据运动公式v－v0＝2ax，解得v0＝v－2ax＝50－2×4.5×100 m/s＝40 m/s.D正确． 答案 D

针对训练 在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹．在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是14 m，假设汽车刹车时的速度大小为14 m/s，则汽车刹车时的加速度大小为( ) A．7 m/s B．17 m/s C．14 m/s D．3.5 m/s

－v02解析 设汽车开始刹车时的方向为正方向，由0－v＝2ax得a＝＝－7 m/s，A正确．

2x2

20

2

2

2

2

2

2

2

2

2

答案 A

例2 机场跑道长为2500 m，喷气式飞机以恒定的加速度a＝3.5 m/s加速，当速率达95 m/s时可升空．假定飞机在到达此速率时因故要停止飞行，则喷气式飞机的制动系统至少要产生多大的加速度？

解析 设飞机从开始起飞到达到95 m/s时前进的位移为x1 由v－v0＝2ax，代入数据解得x1＝1289.3 m. 设飞机制动过程的加速度为a′，

飞机制动过程中的最大位移x2＝2500 m－1289.3 m＝1210.7 m

2

2

2

由0－v＝2a′x2得：a′＝3.73 m/s 答案 3.73 m/s 二、平均速度公式的应用

1．平均速度的一般表达式v＝，此式适用于任何形式的运动．

1

2．匀变速直线运动中，某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，即v＝(v0＋vt)，

2此式只适用于匀变速直线运动．

1

证明：如图183所示为匀变速直线运动的vt图象，则t时间内的位移为x＝(v0＋vt)t，故

2

2

22

xtx1

平均速度为v＝＝(v0＋v)．

t2

图183

3．匀变速直线运动中，某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度，即v＝v＝

21

(v0＋vt)，此式只适用于匀变速直线运动． 2

证明：如图183所示，对0～，有：v＝v0＋a·；

222

tttttttt1

对～t有：v1＝v＋a·；由两式可得v＝(v0＋vt)＝v. 22222

例3 一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求： (1)质点4 s末的速度； (2)质点2 s末的速度．

解析 利用平均速度公式：4 s内的平均速度

xv0＋v4v＝＝，

t2

代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s 2 s末的速度v2＝

v0＋v42＋8

2

＝

2

m/s＝5 m/s.

答案 (1)8 m/s (2)5 m/s 三、重要推论Δx＝aT的应用

2

1．推导：以初速度v0做匀加速直线运动的物体， 12

时间T内的位移：x1＝v0T＋aT ①

212

在时间2T内的位移：x2＝v0×2T＋a(2T)

2

②

32122

连续相等时间内的位移差为：Δx＝x2－x1＝v0T＋aT－v0T－aT＝aT，

22即Δx＝aT.

进一步推导可得：x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝……＝xn－xn－1＝aT

2．应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动；二是用以求加速度．

注意：此推论常在探究物体速度随时间变化规律的实验中根据纸带求物体的加速度． 例4 (2013～2014河北高一月考)如图184所示，物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，

2

2

A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m, BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用

的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是( )

图184

A．物体的加速度为20 m/s B．CD＝4 m

C．OA之间的距离为1.125 m D．OA之间的距离为1. 5 m

解析 由匀变速直线运动的规律相邻相等的时间内位移之差为常数，即Δx＝aT可得： a＝

2

2

BC－AB122

＝ m/s＝25 m/s，故A错误；根据CD－BC＝BC－AB＝1 m，可知CD＝3 m＋1 m2t0.04AC52

＝4 m，故B正确；根据平均速度公式可得，vB＝＝，再由vB＝2axOB可得OB两点间的距

2t2tv2B离为xOB＝＝3.125 m，所以O与A之间的距离xOA＝xOB－AB＝(3.125－2)m＝1.125 m，故C

2a正确，D错误．所以选B、C. 答案 BC

位移－速度公式的理解及应用

1．如图185所示，一辆正以8 m/s速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s 的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为( )

2

图185

A．8 m/s C．10 m/s

2

2

2

B．12 m/s D．14 m/s

2

解析 由v－v0＝2ax得：v＝v0＋2ax＝8＋2×1×18 m/s＝10 m/s，故选C. 答案 C

2．(2013～2014广州高一期中)一汽车在平直的公路上以v0＝20 m/s做匀速直线运动，刹车后，汽车以大小为a＝4 m/s的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后经8 s汽车通过的位移为( ) A．50 m C．288 m

B．32 m

D．以上答案都不对

2

0－v0

解析 根据运动学公式可求出汽车的刹车时间t＝＝5 s，故汽车在5 s时就已经停止，

a0－v0所以汽车在8 s内的位移t＝＝50 m，A正确．

2a答案 A

平均速度公式的应用

3．(2013～2014云南高一期中)物体做匀加速直线运动，已知第1 s末的速度为6 m/s，第2 s末的速度为8 m/s，则下列结论中正确的是( ) A．物体的加速度为2 m/s B．物体的初速度为3 m/s

C．第2 s内物体的平均速度为7 m/s D．第1 s内物体的平均速度为5.5 m/s 解析 根据加速度的定义a＝

2

2

v2－v18－622

＝ m/s＝2 m/s，A对；根据v1＝v0＋at?v0＝4 m/s，t1

v2＋v18＋6

2

＝

2

m/s＝7 m/s，C对；

2

2

B错；根据平均速度公式，有第2 s内的平均速度为v＝同理第1 s内的平均速度为v′＝答案 AC

v0＋v14＋6

2

＝2

m/s＝5 m/s，D错．

重要推论Δx＝aT的应用

4．汽车的启动可以看做匀加速直线运动，从启动过程的某时刻起汽车第一秒内的位移为6 m，第二秒内的位移为10 m，汽车的加速度为多大？

解析 不是从汽车开始启动计时的，所以不能用位移公式，根据Δx＝aT，得a＝4 m/s.

2

2

2

答案 4 m/s21.8 匀变速直线运动规律的应用 第三课时

[目标定位] 1.会分析简单的追及和相遇问题.2.理解直线运动的xt图象和vt图象．

Δv1．加速度的定义式：a＝. Δt2．匀变速直线运动的公式 (1)速度公式：v＝v0＋at； 12

(2)位移公式：x＝v0t＋at；

2(3)速度位移公式： v－v 0＝2ax. 3．运动图象

(1)xt图象：表示做直线运动物体的位移随时间变化的规律．图象的斜率表示该时刻物体的速度．

(2)vt图象：表示做直线运动物体的速度随时间变化的规律．图象的斜率表示加速度，图象与时间轴所围的面积表示位移.

一、追及和相遇问题

追及和相遇问题是匀变速直线运动规律的典型应用．两物体在同一直线上运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者是距离为零的情况，这类问题称为追及和相遇问题，讨论追及和相遇问题的实质是，两物体能否在同一时刻到达同一位置． 1．讨论追及和相遇问题要抓住一个条件、两个关系

(1)一个条件：速度相等．是讨论两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，这是解题的切入点．

(2)两个关系：时间关系和位移关系．其中通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口．

若同时出发，则两物体时间相等，则需要列速度相等方程和位移关系方程． 2．解答追及与相遇问题的常用方法

(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系．

(2)图象法：将两者的速度—时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．

(3)数学极值法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，

2

2

用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相碰．

例1 一辆汽车以3 m/s的加速度开始启动的瞬间，另一辆以6 m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．

(1)汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？

(2)当v汽v自时，两者距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？最远距离是多大？

解析 (1)因为汽车做加速运动，故汽车一定能追上自行车．汽车追上自行车时，两者位移相122v自2×6

等，x汽＝x自，即at＝v自t，得：t＝＝ s＝4 s

2a3

2

v汽＝at＝3×4 m/s＝12 m/s.

(2)开始阶段，v汽v自，两者距离又逐渐减小．所以当v汽＝v自时，两者距离最大．

设经过时间t1，汽车速度等于自行车速度，则

at1＝v自，

代入得t1＝2 s

此时x自＝v自t1＝6×2 m＝12 m

22

x汽＝at1 ＝×3×2 m＝6 m

1

212

最大距离Δx＝x自－x汽＝6 m. 答案 见解析

借题发挥 讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题．

(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断此类问题的切入点．

(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．

针对训练 2013年冬季河北地区出现严重的雾霾天气，能见度很低，给交通带来很大的障碍．已知A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度v1＝10 m/s，B车在后，速度v2＝30 m/s，B车在距A车x0＝75 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过S＝180 m才能停下来．

(1)B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？

(2)若相撞，求B车从开始刹车到两车相撞用多少时间？若不相撞，求两车的最小距离？ 解析 (1)设B车加速度大小为aB，刹车至停下来的过程中，由v2＝2aBx 解得：aB＝2.5 m/s

2

2

B车在t时刻的速度为vB＝v2－aBt B车的位移xB＝v2t－aBt2 A车的位移xA＝v1t

当两车速度相等时，vB＝v1 解得：t＝8 s

将t＝8 s代入得xB＝160 m，xA＝80 m 因xB＞ xA＋x0＝150 m 故两车会相撞

(2)设两车经历时间t相撞，则满足xB＝xA＋x0 联立得：t1＝6 s，t2＝10 s 故6 s就相撞了．

答案 (1)两车会相撞 (2)6 s时相撞 二、运动图象问题

在运动学中，图象主要是指xt图象和vt图象．

1．xt图象：图象上某点切线的斜率表示该时刻物体的速度，图象上一个点对应物体某一时刻的位置．

2．vt图象：图象上某点切线的斜率表示该时刻物体的加速度，图象上一个点对应物体某一时刻的速度；某段时间，图线与时间轴围成图形的面积值表示该段时间内物体通过的位移的大小．

3．形状一样的图线，在不同图象中所表示的物理意义不同，因此在应用时要特别注意看清楚图象的纵、横轴所描述的是什么物理量．

例2 如图1所示，表示一质点在6 s内的xt图象，试据此分析质点的运动情况并画出它的vt图象．

12

图1

解析 xt图象上直线斜率表示速度，所以 6 m－0

0～2 s的速度v1＝＝3 m/s

2 s2～4 s的速度v2＝0

－6 m－6 m

4～6 s的速度v3＝＝－6 m/s

2 s

质点的运动情况：0～2 s内做匀速直线运动，速度大小为3 m/s，2 s末离开出发点6 m；2～4 s内物体静止于离出发点6 m处；4～5 s质点反方向做匀速直线运动，速度大小为6 m/s,5 s末回到出发点，5～6 s质点继续以6 m/s的速度反方向做匀速直线运动，6 s末位移为－6 m．vt图象如图所示． 答案 见解析

针对训练 若将图1中的纵坐标由“x”改为“v”，即如图2所示．

图2

(1)试分析各段的运动情况； (2)画出它的at图象．

Δv16－022解析 质点在0～2 s内加速度a1＝＝ m/s＝3 m/s，方向为正方向，做匀加速直线

Δt12Δv3－6－6

运动；在2～4 s内加速度a2＝0，做匀速直线运动；在4～6 s内加速度不变，a3＝＝ Δt32m/s＝－6 m/s，方向为负方向，这段时间内质点先做正方向的匀减速直线运动， 后做负方向的匀加速直线运动． (2)如右图

答案 (1)0～2 s内做正方向的匀加速直线运动 在2～4 s内做匀速直线运动 4～6 s内先做正方向的匀减速直线运动，后做负方向的匀加速直线运动 (2)见解析

针对训练 (2013辽宁高一期末)在如图3所示的位移(x)—时间(t)图象和速度(v)—时间(t)图象中，给出的四条图线甲、乙、丙、丁分别代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是( )

2

2

图3

A．t1时刻，乙车追上甲车

B．0～t1时间内，甲、乙两车的平均速度相等

C．丙、丁两车在t2时刻相遇

D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等

解析 它们由同一地点向同一方向运动，在t1时刻前，甲的位移大于乙的位移，在t1时刻甲、乙位移相等，则A正确；在t1时刻两车的位移相等，由v＝，甲、乙两车0～t1时间内平均速度相等，B正确；由图象与时间轴围成的面积表示位移可知：丙、丁两车在t2时刻面积差最大，所以相距最远，C错误；0～t2时间内，丙的位移小于丁的位移，时间相等，平均速度等于位移除以时间，所以丙的平均速度小于丁的平均速度，故D错误． 答案 AB

追及和相遇问题

1．当交叉路口的绿灯亮时，一辆客车以a＝2 m/s 的加速度由静止启动，在同一时刻，一辆货车以10 m/s的恒定速度从客车旁边同向驶过(不计车长)，则： (1)客车追上货车时离路口多远？

(2)在客车追上货车前，两车的最大距离是多少？

12解析 (1)客车追上货车的过程中，两车所用时间相等，位移也相等，即v2t1＝at 1，代入

21212

数据解得t1＝10 s，x＝at1 ＝×2×10 m＝100 m.

22

(2)两车距离最大时，两车应具有相等的速度，即v2＝at2，代入数据解得t2＝5 s．Δx＝v2t21212

－at 2＝10×5 m－×2×5 m＝25 m. 22答案 (1)100 m (2)25 m

2．(2013贵州期中)在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车．请分析一下，我国高速公路的最高车速限制为108 km/h.设某人驾车正以最高时速沿平直高速公路行驶，该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s，司机的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s．计算行驶时的安全车距至少为多少？

解析 本题运动情景图如图所示，汽车原来的速度v＝108 km/h＝30 m/s.在反应时间t＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为s1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m

2

2

xt

0－30

刹车后，汽车做匀减速直线运动，滑行时间为t2＝ s＝6 s，汽车刹车后滑行的位移为

－5

22

s2＝v0t2＋at2 ＝30×6 m＋×(－5)×6 m＝90 m，所以行驶时的安全车距应为s＝s1＋s2＝

1

212

15 m＋90 m＝105 m. 答案 105 m

运动图象问题

3．(2013四川宜宾期中)某物体沿水平方向做直线运动，其vt图象如图4所示，规定向右为正方向，下列判断正确的是( )

图4

A．在0～1 s内，物体做曲线运动

B．在1～2 s内，物体向左运动，且速度大小在减小 C．在1～3 s内，物体的加速度方向向左，大小为4 m/s D．在3 s末，物体处于出发点右方

解析 运动图象只能表示直线运动， 1～2 s内，物体向右运动；1～3 s内，由斜率可知物体的加速度方向向左，大小为4 m/s；由图象面积可知在3 s内，物体为正位移． 答案 CD

4．我国“蛟龙号”深潜器经过多次试验，终于在2012年6月24日以7020 m深度创下世界最新纪录(国外最深不超过6500 m)，这预示着它可以征服全球99.8%的海底世界．在某次实验中，深潜器内的显示屏上显示出的深度曲线如图5a所示、速度图象如图5b所示，则下列说法中正确的是( )

2

2

图5

A．图中h3是本次实验下潜的最大深度

B．本次实验中深潜器的最大加速度是0.025 m/s

C．在3～4 min和6～8 min的时间段内深潜器具有向上的加速度 D．在6～10 min时间段内深潜器的平均速度为0

2

解析 根据(a)深度显示，可以直接看出蛟龙号下潜的最大深度是h3，A正确；根据速图象可以求出各时间段蛟龙号的加速度， 0～1 min内蛟龙号的加速度

a1＝

－2 m/s－012

＝－ m/s；

60 s30

3～4 min内d的加速度

a2＝

0－－60 s

＝

12

m/s； 30

3 m/s－012

6～8 min内加速度a3＝＝ m/s；

120 s408～10 min内的加速度a4＝

0－3 m/s12

＝－ m/s；

120 s40

所以此过程中蛟龙号的最大加速度为 122

m/s≈0.0333 m/s，B错误； 30

3～4 min和6～8 min的时间段内潜水器的加速度方向向上，C正确；

6～10 min时间段内潜水器在向上运动，位移不为零，所以平均速度不为零，D错误．故选A、C. 答案 AC

六、词语点将（据意写词）。 1．看望；访问。 （ ） 2．互相商量解决彼此间相关的问题。 （ ） 3．竭力保持庄重。 （ ） 4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。 （ ） 5．弯弯曲曲地延伸的样子。 （ ） 七、对号入座（选词填空）。 冷静 寂静 幽静 恬静 安静 １．蒙娜丽莎脸上流露出（ ）的微笑。 2．贝多芬在一条（ ）的小路上散步。 3．同学们（ ）地坐在教室里。

4．四周一片（ ），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。 八、句子工厂。 1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？（陈述句） ___________________________________________________________________________ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文化宝库中一颗璀璨的明珠。（缩写句子） ___________________________________________________________________________ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。她已经成了我灵魂的一部分。（用关联词连成一句话） ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她的人。 “把”字句：_________________________________________________________________ “被”字句：_________________________________________________________________ 九、要点梳理（课文回放）。 作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了《蒙娜丽莎》画像，具体介绍了__________，__________，特别详细描写了蒙娜丽莎的__________和__________，以

及她__________、__________和__________；最后用精炼而饱含激情的语言告诉大家，蒙娜丽莎给人带来了心灵的震撼，留下了永不磨灭的印象。 综合能力日日新 十、理解感悟。 （一） 蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（ ）的嘴角，好像有话要跟你说。在那极富个性的嘴角和眼神里，悄然流露出恬静、淡雅的微笑。那微笑，有时让人觉得舒畅温柔，有时让人觉得略含哀伤，有时让人觉得十分亲切，有时又让人觉得有几分矜（ ）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是那样耐人寻味，难以捉摸。达·芬奇凭着他的天才想象为和他那神奇的画笔，使蒙娜丽莎转瞬即逝的面部表情，成了永恒的美的象征。

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