《常微分方程》习题解答

《常微分方程》习题解答

习题1.2

1 求下列可分离变量微分方程的通解： (1) ydy?xdx 解：积分，得 (2)

1212y?x?c1 即 x2?y2?c 22dy?ylny dx解： y?0,y?1为特解，当y?0,y?1时，

dy?dx， ylny积分，得lnlny?x?c1,(3)

lny??ec1ex?cexc?0，即y?ece

xdy?ex?y dxyx解： 变形得 eydy?exdx积分，得e?e?c (4) tanydx?cotxdy?0

解：变形得

dytanycosysinx?dy?dx. ，y?0为特解，当y?0时，dxcotxsinycosx积分，得lnsiny??lncosx?c1,即sinycosx??e1?c,clnsinycosx?c1,

c?0

2．求下列方程满足给定初值条件的解： (1)

dy?y(y?1),y(0)?1 dx解： y?0,y?1为特解，当y?0,y?1时，(11?)dy?dx， y?1y积分，得 lny?1?x?c1,yy?1??ec1ex?cex,c?0 y将y(0)?1代入，得 c?0，即y?1为所求的解。 (2) (x?1)y??2xy?0,y(0)?1

22dy2xy2??2,解： dxx?1积分，得 ?y?0为特解，当y?0时，

dy2x??dx， 22yx?11??lnx2?1?c y1lnx?1?12将y(0)?1代入，得 c??1，即y?为所求的解。

2 (3) y??33y,y(2)?0

解： y?0为特解，当y?0时，

dy3y23?dx，

积分，得 y?x?c,13y?(x?c)3

将y(2)?0代入，得 c??2，即y?(x?2)3和y?0均为所求的解。 (4) (y2?xy2)dx?(x2?yx2)dy?0,y(1)??1 解： x?0,y?0为特解，当x?0,y?0时，

1?x1?ydx?dy?0， 22xy??xc1xyxy??ee?ce,c?0y111111积分，得 ??lnx??lny?c1,xy

?x?2?2xy将y(1)??1代入，得 c??e，即??ee为所求的解。

y11

224．求解方程 x1?ydx?y1?xdy?0

解：x??1(?1?y?1),y??1(?1?x?1)为特解，

当x??1,y??1时，

x1?x2dx?y1?y2dy?0

积分，得

1?x2?1?y2?c(c?0)

6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x轴可围成一个等腰三角形(以x轴为底)，且通过点(1,2). 解：设所求曲线为 y?y(x)对其上任一点(x,y)的切线方程：

Y?y?y'(X?x)于x轴上的截距为a?x?yy'由题意建立方程：

x?y?x?x?0y'即y'??y,xy(1)?2

再由2?ec得c = ln2 , 得所求曲线为

求得方程的通解为xy?ec,为xy?2

c?0

7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比

（1） 如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？

（2） 如果在3小时时的细菌数为得10个，在5小时时的细菌数为得4?10个，那么

在开始时有多少个细菌？

解：设t时刻的细菌数为q (t) , 由题意建立微分方程

kt44dq?kqdtk?0

求解方程得q?ce 再设t = 0时，细菌数为q0,求得方程的解为q?q0ekt （1） 由q(4)?2q0 即q0e4k?2q0 得k?ln2 4q(12)?q0e

12k?q0e12ln24?8q0

（2）由条件 q(3)?q0e3k?104,q(5)?q0e5k?4?104

ln423ln4比较两式得k?， 再由q(3)?q0e3k?q0e2?8q0?104

得q0?1.25?103

习题1.3

1 解下列方程：

(2) (y?2xy)dx?xdy?0 解：方程改写为

22dyyy?2()?()2 dxxxydu11dx?2u?u2 整理为 (?)du?令 u?，有 u?xdxuu?1xx积分，得 ln(u?0,1)

u?lnc1xu?1 即u?c1x

c1x?1代回变量，得通解x(y?x)?cy,(4) xy??y?xtany?0也是方程的解

y xdyyy??tan 解：方程改写为

dxxxydusinudx?tanu?令 u?，有 x 即cotudu?(sinu?0)

xdxcosux积分，得 sinu?cx

代回变量，得通解sinyx?cx

(5) xy??y?(x?y)lnx?yx

解：方程改写为 dydx?yx?(1?yx)lnx?yx 令 u?ydux，有 xdx?(1?u)ln(1?u) 当u?0,u??1时

dudx(1?u)ln(1?u)?x

积分，得 ln(1?u)?cx 代回变量，得通解ln(1?yx)?cx (6) xy??x2?y2?y

解：方程改写为

dydx?1?(yx)2?yx 令 u?ydux，有 xdx?1?u2 分离变量 du1?u2?dxx积分，得 arcsinu?lncx 代回变量，得通解arcsinyx?lncx,y??x也是方程的解

2 解下列方程：

(1) (2x?4y?6)dx?(x?y?3)dy?0

解：方程改写为

dydx?4y?2x?6x?y?3 令???2??4??0??3?0，解得 ??1,??2

???(?1?u?1) 作变换x???1,y???2 有

d?4??2? ?d????再令u?

?du4u?2 上方程可化为u?? ??d?1?uu?1d?du??(u?1)(u?2)?u?22)??c u?1整理为

(u?1,2)

积分，得 (u?2)(代回变量，得通解(y?2x)3?c(y?x?1)2,(2) (2x?y?1)dx?(4x?2y?3)dy?0

y?x?1也是方程的解

解：方程改写为

dy2x?y?1? dx4x?2y?3du5u?52u?3?du?5dx(u?1) 分离变量 dx2u?3u?1令 u?2x?y，有

积分，得 2u?lnu?1?5x?c1 代回变量，得通解2x?y?1?ce2y?x (4) y??2(y?22)

x?y?1v?y?2 则原方程变为

解：令u?x?1,dvv2?2() duu?vvdzz2?2() 再令 z?，则方程化为 z?uudu1?z(1?z)2du分离变量 dz??(z?0)

uz(1?z2)积分，得 lnzu??2arctanz?lnc 代回变量，得通解y?2?ce

3 解方程 (2x?3y?7)xdx?(3x?2y?8)ydy?0

2222?2arctany?2x?1

2ydy2x2?3y2?7dy22x2?3y2?7解：方程改写为 即 ?2?22222xdx3x?2y?8dx3x?2y?8

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