数学金融学复习题

数学金融学复习题

一、简答

1、 远期、期货、期权的定义。远期、期货、期权有什么区别？

2、 什么叫风险中性概率? 风险中性概率的引进有何意义？什么叫风险中性定价？ 3、 简述美式看涨期权与看跌期权的持有者和立权人各自的权利和义务。

4、 什么是证券的贝塔系数？其涵义何在？如何计算？不同的贝塔值代表什么不同涵义？ 5、 远期价格和远期价值是什么关系？远期价值可以为负值吗？

6、 什么叫最小方差线？什么叫有效边界？什么是市场组合？什么是资本市场线？解释最

小方差线与资本市场线的关系。

7、 简述资本资产定价模型（CAPM）的思想原理。

8、 怎样用期权复制一份远期多头合约？假设远期价格为F，到期日为T。 9、简述二叉树模型下期权定价的原理。 二、计算

1、 一项10年期分期贷款总额为50万元，利率为5%, 若采用等额本息的方式还款，每年年

末支付一次，问

（1）每期支付的金额是多少？（2）每期支付的金额中本金部分是多少？ （3）每期还款后的余额是多少？

(4) 第5年央行减息到4%,,则每个月少还多少钱?

2、上述还款计划若改用等额本金的方式，则最后的还款总额是多少？

3、若第五年年末提前归还了10万元，还是采用等额本息方式，则后续还款情况怎样变化？ 4、某股票价格服从二叉树模型，初始价格S(0)?100，第二期可能值为144、126和90.25，每一期股票的上涨概率为0.6，无风险利率为r?3%，求： （1）期数n=3的股票价格，以及各期股票价格的概率分布。 （2）风险中性概率。

（3）在风险中性概率下，S（3）的期望值。 5、计算下面两种资产的收益率信息如下：

状况 概率 收益率K1 收益率K2 衰退 0.1 -0.1 0.1 萧条 0.5 0.05 0.15 繁荣 0.4 0.25 0.3

要使得一个由两种资产组成的资产组合期望收益率为0.2， （1） 试计算两种资产的权重

（2） 求该资产组合的风险（标准差） （3） 求风险最小的资产组合配置权重。

（4） 若第二种资产为市场组合，求第一种资产的贝塔值。 6、有三种证券和市场组合的信息如下： 证券A 证券B 证券C 市场组合 期望收益率（%） 12.5 6.8 5.0 12.0 与市场组合的相关系数 0.60 -0.50 0.00 1.00 标准差（%） 20.0 9.0 0.0 12.0 (1) 三种资产中哪些是风险资产，哪些是无风险资产？ (2)求该投资组合的贝塔值。

（3）一个投资组合中证券A、B、C的比例分别为50%、30%、20%，A与B 收益率的相关系数为-0.3，求该投资组合的期望收益率和标准差。

7、一只股票预计2个月时支付1元股息，股票价格为50元，连续复利的无风险利率为年率8%。某投资者刚刚持有一个该股票6个月期限的远期多头，问： （1）该远期的理论价格是多少？（按连续复合计息）

（2）在3个月后，股票价格变为48元，无风险利率不变，该投资者所持有远期合约多头的价值是多少？ 8、一只股票在2012年1月1日收盘价格为120元，一份2012年11月1日交割的该股票远期合约在当日价格为131元。股票在2012年7月支付红利1元，2012年10月1日支付红利2元，无风险利率为10%，则是否存在套利机会？若存在，请给出套利策略。

9、一份标的为无股息股票一年期的远期合约，股票当前价格为40美元，连续复利的无风险利率为10%，（a）远期合约的初始价格是多少？（b）六个月后，股票价格变为45美元，利率不变，这时远期合约的价格和远期多头的价值分别是多少？

10、一只股票预计2个月及5个月时各支付1美元股息，股票价格为50美元，连续复利的无风险利率为年率8%。某投资者刚刚持有一个该股票6个月期限的远期空头，问： （1）远期价格和远期合约的初始价值是多少？

（2）在3个月后，股票价格变为48美元，无风险利率不变，远期价格和远期合约空头的价值是多少？

11、股票价格服从二叉树模型，S(0)=120，u=0.2，d=-0.1，r=0.1，行权价X=120，行权权期为T=2的看涨期权和看跌期权，分别计算两者的价格和复制策略。

12、假设欧式看跌期权和美式看跌期权的行权价为X=14，在时间2到期，S(0)=12，二叉树模型中，u=0.1，d=-0.05，r=0.02，（a）不支付红利；（b）股票在时间1付2元红利，分别求出这两种期权价格。

13、设欧式看涨期权和美式看涨期权执行价都为X?10元，在时间2到期。S(0)?10元，在二叉树模型中，每个节点上涨收益率u?0.1，下跌收益率d??0.05，r?0.03，在时间2支付红利1元，计算欧式看涨期权和美式看涨期权的价格。 14、假设美式看涨期权的行权价为X=120，在时间3到期，S(0)=100，二叉树模型中，u=0.15，d=-0.1，r=0.05，（a）不支付红利；（b）股票在时间3付10元红利，分别求出美式看涨期权价格。

15、某投资组合由三种证券组成，权重分别为w1?40%,w2??20%,w3?80%.证券的期望收益?1?8%,?2?10%,?3?6%;收益率的标准差?1?1.5,?2?0.5,?3?1.2;相关系数

?12?0.3,?23?0.0,?31??0.2,计算组合的期望收益与风险水平。

16、某投资组合由两种证券组成，期望收益分别为?1?15%,?2?8%，收益率的标准差

?1?0.8,?1?0.2，两者的相关系数为0.4。

（1）分可卖空和不可卖空两种情形，求方差最小的投资权重； （2）方差最小时投资组合的期望收益。

17、某股票价格服从二叉树模型，初始价格S(0)?100，第二期可能值为144、108和81，每一期股票上升的概率p?0.6，无风险利率为r?5%。 （1）求u和d，并画出三期二叉树。 （2）求时间3的股票价格S(3)的概率分布。

（3）计算风险中性概率，并求出风险中性概率下的条件期望 E*(S(3)|S(2)?108)。

18、标的股票价格为10元，且无红利支付，到期日为半年行权价为9元的欧式看涨期权和美式看涨期权价格分别为0.7元和0.8元，无风险利率为5%，试问其中是否存在套利机会？ 19、P74, Ex4.3；P90 Ex 5.4

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