工科概率统计练习册-解答题(第三版-2015)

概率论与数理统计练习题（1）

随机试验 样本空间 随机事件 概率的定义 古典概型

3．设A,B,C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?求A,B,C至少有一个发生的概率． 解：由于P(AB)?0，所以

11,P(AB)?P(BC)?0,P(AC)?， 48P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?

4．设A,B是两事件，且P(A)?0.6,P(B)?0.7．问： （1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由于P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)，所以

11115????． 44488（1）当P(A?B)?0.7时，P(AB)取最大值0.6； （2）当P(A?B)?1时，P(AB)取最小值0.3．

5．某工厂有10个车间，每个车间选出2名代表出席职工代表会议，又从这20名代表中任选出10人组成工会委员会．求：

（1）第二车间在工会委员会中有代表的概率； （2）每个车间在工会委员会中都有代表的概率

解：令A?{第二车间在工会委员会中有代表}，

B?{每个车间在工会委员会中都有代表}，则

10C18（1）P(A)?1?10；

C20210（2）P(B)?10．

C20．

概率论与数理统计练习题（2）

1

条件概率 独立性

3．甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各台机床加工的百分比依次是50%，30%，20%．各机床加工的优质品率依次是80%，85%，90%，将加工的零件放在一起，从中任取1个，求取得优质品的概率． ．解：令B1?{取到的产品是甲机床加工的}，

B2?{取到的产品是乙机床加工的}， B3? {取到的产品是丙机床加工的}，

A?{取得优质品}．则

P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?P(B3)P(A|B3)

?0.5?0.8?0.3?0.85?0.2?0.9?0.835．

4．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，信息A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01．信息A与信息B传送的频繁程度为2∶1．若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？ 解：令H?{原发信息是A}，C?{收到的信息是A}，则

2?0.98P(H)P(C|H)1963P(H|C)????0.995

P(H)P(C|H)?P(H)P(C|H)2?0.98?1?0.01197335．甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落．求飞机被击落的概率．

解：令A?{飞机被击落}，Bi?{恰有i人击中飞机}，i?0,1,2,3，则

P(B0)?0.6?0.5?0.3?0.09，

P(B1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36， P(B2)?0.6?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.4?0.5?0.3?0.41， P(B3)?0.4?0.5?0.7?0.14．

2

从而

P(A)??P(Bi)P(A|Bi)?0.09?0?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458

i?03概率论与数理统计练习题（3） 离散型随机变量、连续型随机变量

姓名 学号 班级

3．一汽车沿街行驶，需通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿不依赖于其他信号灯，而且红绿两种信号显示的时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的分布律． 解 X则

表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，其可能取值为0，1，2，3，

P{X?0}?1111}???， ， P{X?12224P{X?2}?

11111111???， P{X?3}????． 222822284．设随机变量X~N(108,9)，求：（1）P{101.1?X?117.6}；（2）常数a，使

P{X?a}?0.90；（3）常数a，使P{|X?a|?a}?0.01．

解 (1)P{101.1?X?117.6}?P{101.1?108117.6?108?X?}

33??(3.2)??(?2.3)??(3.2)??(2.3)?1?0.9886．

(2)由于

P{X?a}?P{X?108a?108a?108?}??()?0.9，

333所以

a?108?1.28，因此a?111.84．

3(3)由于

P{|X?a|?a}?P{X?2a}?P{X?0} ?1?P{X?2a}?P{X?0}?0.01，

X?1082a?108?}?0.99，

33

所以

P{X?2a}?0.99，即P{于是

2a?108?2.33，从而a?57.495．

3

3

?ksinx,0?x??,设随机变量X的概率密度为f(x)??求：（1）常数k；（2）X的分

0,其他.?布函数； 解 (1)k?1； 2x?0,?0,?11?(2)F(x)???cosx,0?x??,

?22x??.??1,(3)P{011?X?}??2sinxdx?

0222??概率论与数理统计练习题（4） 二维随机变量、边缘分布与条件分布

姓名 学号 班级

3．已知X服从参数p?0.6的（0-1）分布，在X?0及X?1下关于Y的条件分布律分别为

Y P{Y|X?0} 1 2 3 Y P{Y|X?1} 1 2 3 1 41 21 41 21 61 3求(X,Y)的分布律．

解 依题意，P?X?0??1?p?0.4，P?X?1??p?0.6， 于是有 P?X?0,Y?1??P?X?0?PY?1X?0?0.4???11?， 41011?， 2511?， 410 P?X?0,Y?2??P?X?0?PY?2X?0?0.4? P?X?0,Y?3??P?X?0?PY?3X?0?0.4?????P?X?1,Y?1??P?X?1?P?Y?1X?1??0.6?13?， 21011?， 610P?X?1,Y?2??P?X?1?P?Y?2X?1??0.6?

4

11P?X?1,Y?3??P?X?1?P?Y?3X?1??0.6??．

35所以(X,Y)的分布律为

Y X 0 1

1 2 3 1/10 3/10

1/5 1/10

1/10 1/5

?ke?3x?4y,x?0,y?0;4．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??（1）求常数k；

其他.?0,（2）求(X,Y)的分布函数F?x,y?；（2）求P?0?X?1,0?Y?2?． 解 (1)由

??0??0ke?3x?4ydxdy?1，知k?12．

yx?3x?4y?dxdy,x?0,y?0,??0?012e(2)F(x,y)??

??0,x?0,y?0?(1?e?3x)(1?e?4y),x?0,y?0, ??

?0,x?0,y?0.(3)P{0?X?1,0?Y?2}??20(?12e?3x?4ydx)dy?(1?e?3)(1?e?8)

015．已知平面区域D由曲线y?1及直线y?0,x?1,x?e2围成，(X,Y)在D上服从x均匀分布．求（1）(X,Y)的联合密度函数；（2）X和Y的边缘密度函数． 解 由于m(D)??e211e2dx?lnx|1?2，故 x1?12?,1?x?e,0?y?,(1)f(x,y)??2x；

??1,其他.

5

X P 1 2 3 ?2 2?(1??) (1??)2 其中?（0

?1?EX?1??2?2?2?(1??)?3(1??)2?3?2?，

143?X，而x?(1?2?1)?，

332??令3?2??X，解之得?的矩估计量 ???由此得?的矩估计值 ?

5． 6?2e?2(x??)x??（2）设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x,?)??，其中

?0x????0为未知参数．又x1,x2,?xn是X的一组样本观测值，求参数?的极大似然估计值．

解 因为L(x1,x2,?,xn;?)??2ei?1n?2(xi??)?2en?2(?xi?n?)i?1n,xi??,i?1,2,?,n，

所以lnL(?)?nln2?2(?xi?n?)，从而

i?1ndlnL(?)?2n?0， d?于是，?越大似然函数越大，但??min{x1,x2,?,xn}，

??min{x,x,?,x}． 因此?的极大似然估计值为?12n

（3）设总体X～N???,??，X,X,X2123为总体的一个样本，试证明：

??131115111?1?X1?X2?X3，?2?X1?X2?X3，?3?X1?X2?X3都是

51023412362?的无偏估计量，并分析哪一个最好

?1?(? 5．证 因为E?131191382?1?(??)???,D??)?2??，

510225100410011511252502?2?(??)???,D??2?(??E?)???，

3412916144144

11

11111114?3?(??)???,D??3?(??)?2??2， E?362936436?2最好． ?1,??2,??3都是?的无偏估计量，且D??2?D??1?D??3，从而?所以? ．

1n（4）证明在样本的一切线性组合中，X??Xi是总体期望值?的无偏估计中有效

ni?1的估计量． 证 设Y?nnn?kXii?1i是?的无偏估计，则EY?E(?kX)???kiii?1i?1i??，故

?ki?1ni?1，

2即kn?1?(k1?k2???kn?1)．设总体方差为?，则DY?D(?kX)???k2iii?1i?1nn2i，

??DY??k?2k1?2(1?(k1?k2???kn?1))?0,1???DY?2k2?2(1?(k1?k2???kn?1))?0,? 解之得k1?k2?k3???kn， ??k2?????????????????,???DY??k?2kn?1?2(1?(k1?k2???kn?1))?0,?n?111n所以当k1?k2?k3???kn?时，DY取得极小值，即X??Xi是?的此种类

nni?1型的无偏估计中有效的估计量．

概率论与数理统计练习题（10） 区间估计、假设检验

姓名 学号 班级

3．计算题

（1）岩石密度的测量结果X~N(??,2，)现抽取12个样品，测得

?xi?112i． ?32.1,?xi2?89.92．当?未知时，求方差?2的置信区间（??0.1）

i?112（2）若总体X~N(?1,?12)与Y~N(?2,?22)相互独立，已知样本数据

12

n1?80,x?200,s1?80；n2?100,y?100,s2?100．求取??0.01时，?1??2的

置信区间．

（3）设某次考试学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩X为66.5分，标准差s为15分．问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程．

（4）某项考试要求成绩的标准差为12，现从考试成绩中任意抽取15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否不合要求(??0.05)？

______ 13

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