中考专题数学解答组二次函数综合应用(线段)

二次函数综合——多边形边长

1.如图所示,抛物线y=ax+bx?3与x轴交于A(?1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式；

(2)如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行于x轴交直线BC于点F，求△DEF周长的最大值；

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解答：

(1)把A(?1,0),B(3,0)两点坐标代入抛物线y=ax2+bx?3， 得到：a?b?3=0，9a+3b?3=0， 解得：a=1，b=?2，

∴抛物线的解析式为y=x2?2x?3.

(2)如图,连接PB、PC.设P(m,m2?2m?3)， ∵B(3,0),C(0,?3)， ∴OB=OC， ∴∠OBC=45°， ∵PF∥OB， ∴∠PFE=∠OBC=45°， ∵PE⊥BC， ∴∠PEF=90°， ∴△PEF是等腰直角三角形， ∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大， 1193327则有S△PBC=S△POB+S△POC?S△BOC=×3·(?m2+2m+3)+×3·m?=?(m?)2+ 2222283∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大， 2315此时P(,?)， 24∵直线BC的解析式为y=x?3， 315∴F(?,?)， 449， 4∵△PEF是等腰直角三角形， ∴PF=∴EF=EP=92， 81929281∴S△PEF最大值=××=. 264882.如图,已知抛物线y=?x2+bx+c与一直线相交于A(?1,0),C(2,3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D. (1)求抛物线及直线AC所对应的函数表达式. (2)设点M(3,m)，直接写出使得MN+MD的值最小时m的值. 解答： (1) 由抛物线y=?x2+bx+c过点A(?1,0)及C(2,3),可得： ?1+b+c=0，?4+2b+c=3， 解得：b=2，c=3， 故抛物线为y=?x2+2x+3， 设直线AC解析式为y=kx+n,将点A(?1,0)、C(2,3)代入得： ?k+n=0，2k+n=3， 解得：k=1，n=1， 故直线AC为y=x+1. (2)作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4)， 121可求出直线DN′的函数关系式为y=?x+， 55当M(3,m)在直线DN′上时，MN+MD的值最小， 12118则m=?×3+=. 555313.如图1,直线y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,?1),抛物线y=x2+bx+c经过点B，点C42的横坐标为4. (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)如图2,点D在抛物线上,DE∥y轴交直线AB于点E,且四边形DFEG为矩形,设点D的横坐标为x(0

(2)当x=0时,y=?当y=0时,?3x+3=3,则C(0,3)， 43x+3=0,解得x=4,则D(4,0)， 4所以CD=5, 设P(m,?m2+4m+5),则E(m,?3m+3),F(m,0)， 4∵EF∥OC， ∴CE:OF=CD:OD，即CE:m=5:4， 5∴CE=m(0

1故抛物线的解析式为：y=?x2+8； 8(2)正确， 1理由：设P(a,?a2+8),则F(a,8)， 8∵D(0,6)， 1∴PD2=(a2+2)2， 81∴PD=a2+2， 811∵PF=8?(?a2+8)=a2， 88∴PD?PF=2； 2226.如图,抛物线y=x2+bx+c经过点B(3,0),C(0,?2),直线l:y=?x?交y轴于点E,且与抛物线交于A,D333两点,P为抛物线上一动点(不与A,D重合). (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线l下方时,过点P作PM∥x轴交l于点M,PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值。 解答： (1)把B(3,0),C(0,?2)代入y=∴b=?4，c=?2 3224x?x?2； 332222x+bx+c得,×3+3b+c=0，c=?2， 33∴抛物线的解析式为：y=(2)设P(m,224m?m?2)， 33∵PM∥x轴,PN∥y轴，M，N在直线AD上， 2224∴N(m,?m?),M(?m2+2m+2,m2?m?2)， 3333222455105115∴PM+PN=?m2+2m+2?m?m??m2?m?2=?m2+m+=?(m?)2+， 3333333324115∴当m=时,PM+PN的最大值是； 2427.如图,抛物线y=?x+bx+c经过直线y=?x+5与坐标轴的交点B,C.已知D(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)M，N分别是BC，x轴上的动点，求△DMN周长最小时点M，N的坐标，并写出周长的最小值； (3)连接BD,设M是平面上一点,将△BOD绕点M顺时针旋转90°后得到△B1O1D1,点B,O,D的对应点分别是B1,O1,D1,若△B1O1D1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点O1的坐标。

解答：

(1)由题意C(0,5),B(5,0)，

把C(0,5),B(5,0)的坐标代入y=?x2+bx+c得到：c=5，?25+5b+c=0， 解得：b=4，c=5，

∴抛物线的解析式为y=?x2+4x+5.

(2)如图1中,作点D关于BC的对称点D′,点D关于x轴的对称点D″,连接D′D″交BC于M，交x轴于N，连接DM，DN.此时△DMN的周长最小。

易知D′(2,5),D″(0,?3)， 设直线D′D″的解析式为y=kx+b,则有：b=?3，2k+b=5， 解得：k=4，b=?3， ∴y=4x?3， 3∴N(,0)， 4817由y=?x+5，y=4x?3,解得：x=，y=， 55817∴M(,)， 558173∴△DMN周长最小时点M(,),N(,0)， 554△DMN的周长的最小值=D′D″=217. (3)①如图2中,当O′和D′在抛物线上时,易知点O′与点C重合,CD′=OD=3,此时O′(0,5).

②如图3中,点B′、D′在抛物线上时,设点B′(x,?x2+4x+5)的横坐标为x+1,则点D′的坐标为(x+3,?x2+4x+10).

把D′坐标代入y=?x2+4x+5中,得到?x2+4x+10=?(x+3)2+4(x+3)+5， 1解得x=?， 3132∴B′(?,)， 39177∴O′(?,)， 39177综上所述,满足条件的点O′的坐标为(0,5)或(?,). 39

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