设而不求巧解立体几何

“设而不求”巧解立体几何题

广州市75中学 卢云凌

对于某些立几题，巳知量很少，在解题过程中要设很多的未知量，如果将这些未知量一一求出是不明智的。通常采用“设而不求”的方法，则往往会起到事半功倍之效果。请看下面几例：

例1 半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且切于AB、BC、CD分别于A、E、D点，将其图形绕AD所在直线旋转一周，得到一个球与一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为3：4，求球的体积与圆台的体积之比。

解： 如左图所示，设球的半径为R，则圆台的高为2R，设圆台上、下底半径为意得

、，母线为依题

。

评注：设圆台的上下底面半径为高为，母线为，以及内切球半径R，借助于轴截面将它们集中在一个平面，运用平面几何知识把圆

台的体积用R表示，是解决此题的基本思想。像这样一类求比值的问题，可用“设而不求”的方法。

例2 巳知A、B、C、D四点共面且AB∥平面，CD∥平面，AC=E，AD=F, BD

=H, BC =G,若AB=CD=a试求四边形EFHG的周长。

解： ∵AB∥α，面ABC∩α=EG，∴AB∥EG。同理AB∥FH，∴EG∥FH。同理可证EF∥GH，∴四边形EFHG是平行四边形。

设在中，∥即，

。在，∥，即

， 的周长为。

评注：此解中巧设了，最后却自动离去，体现了计算的技巧性和简洁性。

例3 如左图，正四棱台上、下底面面积分别为侧面积为，求一个对角面的面积。

解： 设上下底面边长分别为，斜高为，棱台的高为，则对角面面积为：

。

评注：此题用了整体代入法，设而不求，减少运算量，简化过程，提高了演算的准确性。

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