灰色模型在房价预测中的运用

灰色GM(1,1)模型在房价预测中的运用

—以西安市为例

摘要:本文用灰色GM(1,1)模型针对西安市的房价进行了简要的预测。首先用西安市连续五

个季度的房价建立GM(1,1)模型，得到一个一阶的微分方程，然后通过残差检验、关联度检验和后验差检验三种方法对该预测模型进行检验，判断出该模型的精度较高，最后用此方程求出所要预测的房价。

关键词：灰色GM(1,1)模型; 残差检验; 关联度检验; 后验差检验

住房问题是百姓关注的焦点，而房地产价格的高低涉及社会生活中多方面的经济利益，因此较为准确的预测未来房地产的销售价格，对社会发展和人民生活极其重要。本文首先对西安市2008年第一季度至2010年第二季度共十个季度的房价进行记录，并且以每个季度房价的平均值记录为该季度西安市的房价值，具体数据值在表一中示出。然后根据2008年第一季度至2009年第一季度共五个季度西安市的房价值通过一阶灰色GM(1,1)预测模型确定出新的房价预测方程，用此预测方程预测出2009年第二季度至2010年第二季度共五个季度的房价，再将此房价与收集到的真实房价值进行比较，分别通过绘制图表和残差检验、关联度检验和后验差检验判断出该预测模型在预测房价时误差较小，准确度较高。最后用该模型对西安市2010年第三季度至2012年第四季度共十个季度西安市的房价进行了预测，以便市民在购房的过程中做出正确的选择。 1.灰色模型

1.1 灰色GM(1,1)预测模型

所谓灰色预测法是一种对既含有已知信息又含有不确定因素的系统进行预测的方法。它广泛用于对随机、有序的灰色过程进行预测，从而去寻找其潜在的规律。灰色模型用GM(m,n)来表示，其中G为Grey灰，M为Model模型，m为m阶方程，n为n个变量。GM(1,1)表示一阶的并且只有一个变量的灰色系统模型，此模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程，而房价在一段时期内的变化符合此要求，所以本文在预测房价时使用GM(1,1)模型，它的一阶微分方程为

dX(t)?aX(t)?u （1） dt 其中X(t)为原始数据序列，-a为发展灰数，?为内生控制灰数 1.2符号说明

表1：符号说明

符号 说明 一个一阶的并且只有一个变量的灰色系统理论 原始数据序列 原始数据序列的平均值 发展灰数 内生控制灰数 待估参数向量 原始数据序列作1-AGO累加生成的数据 数据矩阵 常数 预测数据 预测数据序列作1-AGO累加生成的数据 原始数据绝对误差 原始数据绝对误差的平均值 原始数据相对误差 关联系数 分辨率 关联系数的算术平均值 原始序列标准差 绝对误差序列标准差 方差比 GM(1,1) X(t) X(t) ?a u a ^X(1)(t) B,yN c ?(t) X?(1)(t) XD(t) D(t) F(t) ?(t) ? r S1 S2 E 1

F 小误差概率 原始序列标准差与0.6745之积 S0 et 1.3GM(1,1)模型运用的条件 1.3.1数据符合预测的条件

D(t)?D(t) 对于一组从表面看来并无规律的数据，如果对它们进行一次累加生成后所得的数据呈明显的递增或递减的规律，则该数据适合符合GM(1,1)模型预测的条件。 1.3.2发展灰数符合预测的条件

?(t)和X?(1)(t)的发展态势，它的大小关系着GM(1,1)预测 发展灰数-a反映了X模型的适用范围。以下为用发展灰数-a来判断模型适用范围的一些结论： 1)当?a?0.3时，GM(1,1)可用于中长期预测；

2) 当0.3??a?0.5时，GM(1,1)可用于短期预测，中长期预测慎用； 3) 当0.5??a?0.8时，用GM(1,1)作短期预测应十分谨慎； 4) 当0.8??a?1时，应采用残差修正GM(1,1)模型； 5) 当?a?1时，不宜采用GM(1,1)模型； 6) 当?a?2时，GM(1,1)模型无意义。 1.4 模型的建立 1.4.1整理数据

下表为2008年第一季度-2010年第二季度西安市的房价，以季度为单位：

表2：2008年第一季度-2010年第二季度西安市的房价

年份（季度） 售价（千元/m2） X(t)

2008（1） 4.1 X(1) 2008（2） 4 2008（3） 4.3 2008（4） 4.3 2009（1） 4.2 X(2) 2009（3） 4.5 X(3) 2009（4） 4.5 X(4) 2010（1） 4.95 X(5) 2010（2） 5.05 年份（季度） 售价（千元/m2） 2009（2） 4.4 X(t) X(6) X(7) X(8) X(9) X(10) 注： 括号内的数字表示该年份的季度，如2008（3）表示2008年第三季度。

1.4.2 建立灰色GM(1,1)模型 1.4.2.1 作1-AGO生成。

对表2中前五组数据序列作一次累加生成即1-AGO(Accumulated Generating Operation)生成，得到X(1)(t)结果如表二所示。其中AGO表示对该数据进行一次

2

累加计算，方法为：

X(t)?X(t?1)?X(t)??X(i) （2）

(1)(1)i?1t表3：一次累加生成的结果

序号k 1 4.1 2 8.1 3 12.4 4 16.7 5 20.9 X(1)(t) 从一次累加生成数据的结果来看，数据是呈递增趋势的，所以可以用灰色

GM(1,1)预测模型进行数据的预测。

1.4.2.2 确定数据矩阵B、yN。

矩阵B为：

?1(1))X??2(X(1????1(X(1)(2?)X?2 B????1(X(1)(3?)X?2?1??(X(1)(4?)X?2矩阵yN为：

(1)?(2))?1???6.1?1(1)(3)?)?1????10.25?1 ?????14.551(1)(4)?)?1????18.8?1?(1)(5)?)1??X(2)??4?????X(3)4.3???? yN???X(4)??4.3?????X(5)???4.2?1.4.2.3 计算(BTB)?1.

??6.1????6.1?10.25?14.55?18.8???10.25T?1(BB)??????111??14.55??1???18.81????1?? ??1??1????1?6000.58125????208.95?208.95?? 9??1 3

?0.000869974???0.0201979110.020?19?

0.580?0393011.4.2.4 求参数?????a??u?? 按参数算式（最小二乘估计）：

???(BTB)?1BTyN ???0.0008699740.020197911??0.0201979110.580039301???6.1?10.25????11????0.026??3.85?6? 1.4.2.5 确定模型

首先我们对（1）式进行求解：

给（1）式两边同乘以eat得 eatdX(t)dt?aeatX(t)?ueat 即 ddt[eatX(t)?]eat u两边同时积分

eatX(t)??ueatdt?c（其中c为常数）即

X(t)?e?at?(ueatdt?c)

?e?at(uaeat?c) ?ce?at?ua把t?0代入到（2）式中，可得

c?X(0)?ua 于是由（2）得到的时间函数X(t)的估计值为：

X(1()t)?X[(0?u)ae?at]?ua

4

??14.55?18.8??4??11????4.3???4.3??4.2?? (3)

(4)

公式（3）称为预测方程。

其中X(0)表示初值，故此时X(0)?X(1)?4.1;

最后将X(0)?4.1,a??0.0266,u?3.85带入（3）式中则有：

0.t0266 X(1()t)?148.8368e42?1 7 3 6 8 4 2 1 （5） 144.由于?a?0.0266?0.3，故此模型可用于中长期预测；所以比较适合对西安市2010年第三季度至2012年第四季度共十个季度西安市的房价进行预测。 2. 模型的求解与检验 2.1 模型的求解

?(t)的值，在 将t?6,7,?,10分别代入式（4）中，依次计算出预测值X?(t)?X?(1)(t)?X?(1)(t?1)计算出预测值X?(t)的值。具体数据如下表所示： 公式X表4：2009年第二季度-2010年第二季度西安市房价真实值与预测值

年份 2009（2） 2009（3） 2009（4） 2010（1） 2010（2） 序号 6 7 8 9 10 X(t) 4.4 4.5 4.5 4.95 5.05 ?(t) X4.583 4.7064 4.8334 4.9636 5.0974 X(1)(t) 29.8550 34.5614 39.3948 44.3584 49.4558 将表4中的预测值与真实值用Excel表格绘制出曲线如下所示： 西安市2009年第二季度至2010年第二季度房价的真实值与预测值5.2房价（千元）54.84.64.44.24123季度45真实值预测值

图1：西安市2009年第二季度至2010年第二季度房价的真实值与预测值

将上面表4和图1中的预测值与原来房价的真实值进行比较，我们可以看到，真实值与预测值的差异比较小，因此此模型可以用来对房价问题进行预测，并且预测值比较准确，误差比较小。 2.2模型的检验

5

灰色模型的检验通常要进行残差检验、关联度检验和后验差检验。 3.2.1 残差检验

?(t) t?6,7 绝对误差D(t)=X(t)?X （6） ?,,；10 相对误差F(t)=

D(t) （7） ?,,；10?100% t?6,7X(t)将表三中的数据分别代入式（5）、（6）得:

表5:绝对误差与相对误差值表

序号 6 7 8 9 10 D(t) 0.183 0.2064 0.3334 0.0136 0.0474 F(t)(%) 4.15909 4.58667 7.40889 0.27475 0.93861 相对误差较小，所以模型的精度较高。 2.2.2 关联度检验 2.2.2.1关联系数的计算

关联系数这一指标描述了预测值和真实值在某一时刻的关联程度。

?(t)?min?D(t)???max?D(t)? t?6,7,?.10D(t)??max?D(t)???0.5 (8)

其中?称为分辨率，0???1， ?越大，分辨率也越高，关联系数越大；反之，?越小，分辨率也越低，关联系数越小。一般而言，当?=0.5时，关联度大于0.6就满意了。

由表四中的数据知min?D(t)?=0.0136 max?D(t)?=0.3334 由（8）得到关联系数为：

?(t)=?0,515585,0.483248,0.360528,1,4.84213?

2.2.2.2关联度的计算

1n 令r???(t)， （9）

nt?2?(t)序列的关联度。 此处n=5，且称算术平均值r为X(t)序列与X 将数据代入（9）式得r=0.651736;

6

满足当?=0.5时， r>0.6的检验准则。所以误差较小，模型精度较高。 2.2.3 后验差检验

1）计算原始序列标准差

S1???[X(t)t?6nn?110X(t2)] =?[X(t)?4.466667]t?629 =0.32059 2）计算绝对误差序列标准差

S2???[D(t)t?6nn?110D(t2)] =?[D(t)?0.142311]t?629

=0.104143 3）计算方差比 E?S2=0.324849 S14）计算小误差概率

()t?D()t?0.67S5 P?pD 14

?? 令et?D(t)?D(t),S0?0.6745S1, 则P?p?et?S0?

表6:模型合格程度对照表

P >0.95 E <0.35 合格程度 好 7

>0.80 >0.70 <0.50 <0.65 合格 勉强合格 不合格 ?0.70 小误差概率:

?0.65 S0?0.6745S1=0.6745?0.32059=0.216238

et?D(t)?D(t)

=?0.040689,0.064089,0.191089,0.12871,0.09491?

所有的e都小于S0，故P=1，又E<0.35,故模型好。

3. 对西安市2010年第三季度至2012年第四季度房价的预测

根据表5和图1中的预测值与原来房价的真实值进行比较，我们可以看到，真实值与预测值的差异比较小。且对模型用三种方法检验后，均发现用此预测方程预测的数据准确性比较高，所以此模型可以用来对房价问题进行预测，并且预测值比较准确，误差比较小。因此我们用此模型对西安市2010年7月-2012年10月共十个季度的房价进行预测。预测后得到的结果如下表：

表7：对2010年第三季度至2012年第四季度西安市房价的预测 年份 2010（3） 2010（4） 2011（1） 2011（2） 2011（3） 2011（4） 2012（1） 2012（2） 2012（3） 2012（4）

序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ?(t) X5.2348 5.376 5.5209 5.6694 5.8225 5.9795 6.1407 6.3062 6.4762 6.6508 X(1)(t) 54.6906 60.0666 65.5875 71.2572 77.0797 83.0592 89.1999 95.5061 101.9823 108.6331 将表7中的预测值用Excel表格绘制出曲线如下所示：

8

西安市2010年第三季度至2012年第四季度房价的预测值76房价（千元）54321012345季度预测值678910

图2：西安市2010年第三季度至2012年第四季度的房价的预测

从表4和图2中预测后的房价值来看在未来的十个季度里，西安市房价呈明显的上升趋势，且大概一每季度增长100元的趋势增长，所以建议人们应及早购房。

4. 模型的推广与优缺点 4.1 模型的推广

灰色预测模型模型在日常生活中的应用非常的广泛，它的应用范围已拓展到工业、农业、经济、交通等众多科学领域。如可以用它来预测人口问题、传染病问题，可以帮助人们基本准确的预测出一些信息，给人们的日常生活带来了许多方便。

4.2模型的优缺点 优点：

1）所需数据量少，对信息量的要求不是特别的严格。 2）灰色预测法可以较为精确地进行预测。 3）应用广泛，可以应用其他多个预测领域。 缺点：

1）在预测过程中，忽略了外界因素对房价的影响。 2）如果信息量不足，结论不直观。

结束语

本文主要用灰色GM（1,1）模型对西安市的房价进行了预测，并且通过了三

种检验方法确定了预测方程的准确性。通过分析得到的结果，我们发现在没有外界因素干扰（如政府对房价的调控）的情况下，西安市的房价呈增长趋势，所以建议人们根据自己的实际情况及早购房。

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[参考文献]

[1]王庚，王敏生.现代数学建模方法[M].第一版.科学出版社，2008:145-156. [2]陈东彦，李冬梅，王树忠.数学建模[M].第一版.科学出版社，2007:353-372.

[3]刘思峰，党耀国，方志耕.灰色系统理论及其应用[M].第三版.科学出版社，2004:125-146. [4]邓聚龙.灰色系统[M].第一版.国防工业出版社，1985:93-127.

[5]王泽昊，潘虹.灰色模型模型在我国人口数量预测中的应用[J].理论新探.2005,（1）:19. [6]李东月，房价预测模型的比较研究[J].工业技术经济.2006,25（9）:96-98.

[7]刘大江，灰色—马尔科夫预测模型在房地产价格预测中的应用[J].唐山学院报.2004, 17（4）:44-46.

[8]郝永红，王学萌.灰色动态模型及其在人口预测中的应用[J].数学的实践与认识.2002,25（9）:813-820.

[9]杨楠，邢力聪.灰色马尔科夫模型在房价指数预测中的应用.[J]统计与信息论坛.2006, 25（9）:52-55.

[10]朱红兵，刘建通，王港,等.GM(1,1)灰色灰色模型预测法及其在体育成绩中的应用[J].首都体育学院学报.2003,15（1）:118-121.

Aplication of grey GM(1,1) model in the

building pirce predicition — Example of Xi’an city

WangDanDan

（Department of Mathematics, Xi’an University of Arts and Science, Xi’an

710065,China）

Abstract: In this paper, the grey GM(1,1) model is used to estimate the xi’an building price at a

certain future time. Fristly, according to the building price of xi’an in five continuous quarters the grey GM(1,1) model is established to obtain the first order differential equation. Then we use three methods including residual error test, relational coefficient test and posterior poor test to judge the accuracy of this predicition model. It shows this model is higher accuracy. Finnally, the building price can be forecasted by the equation.

Keywords: grey GM(1,1) model; residual error test; relational coefficient test; posterior poor test

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[参考文献]

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Aplication of grey GM(1,1) model in the

building pirce predicition — Example of Xi’an city

WangDanDan

（Department of Mathematics, Xi’an University of Arts and Science, Xi’an

710065,China）

Abstract: In this paper, the grey GM(1,1) model is used to estimate the xi’an building price at a

certain future time. Fristly, according to the building price of xi’an in five continuous quarters the grey GM(1,1) model is established to obtain the first order differential equation. Then we use three methods including residual error test, relational coefficient test and posterior poor test to judge the accuracy of this predicition model. It shows this model is higher accuracy. Finnally, the building price can be forecasted by the equation.

Keywords: grey GM(1,1) model; residual error test; relational coefficient test; posterior poor test

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b6zr.html