上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编：数列

上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编

数列

一、填空题

1、（宝山区2016届高三上学期期末）

???，则数列1，，，，，，，，，，1212312342132143218是该数列的第 项. 9的各项均为正整数，对于

，有

2、（崇明县2016届高三上学期期末）已知数列

其中k为使an?1为奇数的正整数. 若存在值为

， 当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，则p的

3、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列{an}是等差数列，a2和a2014是方程5x?6x?1?0的两根，则数列{an}的前2015项的和为__________．

4、（虹口区2016届高三上学期期末）在等差数列?an?中，a1?a3?a5?9,a2?a4?a6?15, 则数列?an?的前10项的和等于_____.

5、（黄浦区2016届高三上学期期末）若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．

6、（金山区2016届高三上学期期末）某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→?，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→?，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ．

?7、（静安区2016届高三上学期期末）在等差数列?an?（n?N ）中 ，已知公差d?2，a2007?2007，

2则a2016? .

8、（闵行区2016届高三上学期期末）若Sn是等差数列?an?的前n项和，且

S8S6??10，则86limSn? .

n??n29、（普陀区2016届高三上学期期末）在数列?an?中，a1?1，an?1?2an?1(n?N*)， 则数列

?1???的各项和为______. ?1?an?10、（松江区2016届高三上学期期末）若等比数列?an?满足a1?a3?5，且公比q?2，则a3?a5? ▲ ．

11、（杨浦区2016届高三上学期期末）无穷等比数列?an?(n?N*)的前n项的和是Sn， 且limSn?n??1，则首项a1的取值范围是_________ 212、（闸北区2016届高三上学期期末）等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式dx2?2a1x?0的解集为[0,9]，则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是 ； 13、（长宁区2016届高三上学期期末）设等差数列

14、（长宁区2016届高三上学期期末）已知数列

的通项公式分别是

的前n 项和为S n，若

，其中 a、b 是实常数，若

且a、b、c 成等差数列，则c的值是___________.

，

15、（虹口区2016届高三上学期期末）在由正整数构成的无穷数列?an?中，对任意的n?N?,都有an?an?1,且对任意的k?N?,数列?an?中恰有k个k，则a2016?________.

填空题参考答案：

1、128 2、1或5 3、1209 4、80 5、6、3 7、2025 8、5 9、1 10、20 11、?0,???,1? 12、5 13、190 14、二、选择题

1、（奉贤区2016届高三上学期期末）已知数列an?n?sin1 2??1??1?2??2?1 15、63 4n?，则a1?a2?a3???a10?2????

（ ）．

A.?48； B.?50； C.?52； D.?49

2、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零．若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则 [答] ( C )． A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形 B．对任意的d，均不存在以l1，l2，l3为三边的三角形 C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形 D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形 3、（静安区

2016

届高三上学期期末）已知数列

?an?的通项公式为

n?4???n,an??2(n?N*)，则liman?( )

n?????n?4n?n,n?4 A．?2 B．0 C．2 D．不存在

4、（青浦区2016届高三上学期期末）已知?an?是等比数列，给出以下四个命题：①?2a3n?1?是等比数列；②?an?an?1?是等比数列；③?anan?1?是等比数列；④lgan是等比数列，下列命题中正确的个数是 ………………………………………………………………………………………（ ）. （A）个 （B）2个 （C） 3个 （D）4个

5、（松江区2016届高三上学期期末）在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”. 已知数列1，2. 第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2； 那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为

A. 88572 B. 88575 C. 29523 D. 29526 6、（长宁区2016届高三上学期期末）已知数列

，则k 等于（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

的前n 项和

，第k项满足

??选择题参考答案：

1、B 2、C 3、A 4、B 5、B 6、B

三、解答题

1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知函数f(x)?logkx（k为常数，k?0且k?1），且数列?f(an)?是首项为4， 公差为2的等差数列.

(1)求证：数列?an?是等比数列； (2) 若bn?an?f(an)，当k?1时，求数列?bn?的前n项和Sn的最小值； 2（3）若cn?anlgan，问是否存在实数k，使得?cn?是递增数列？若存在，求出k的范围；若不

存在，说明理由．

2、（崇明县2016届高三上学期期末）设m 个正数圈．其中

是公比为q 的等比数列． 的所有项的和S m；

依次围成一个圆

(k＜m,k∈N*)是公差为d 的等差数列，而⑴ 若⑵ 若

，求数列

，求m的最大值；

⑶ 当q ＝2时是否存在正整数k ，满足

？若存在，求出k 值；若不存

在，请说明理由．

3、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列?an?的前n项和记为Sn若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn?am， 则称?an?是“H数列”．

(1)、若数列?an?的通项公式an?2n，判断?an?是否为“H数列”； （2）、等差数列?an?，公差d?0，a1?2d，求证：?an?是“H数列”； （3）、设点?Sn,an?1?在直线?1?q?x?y?r上，其中a1?2t?0，q?0．

若?an?是“H数列”，求q,r满足的条件．

4、（虹口区2016届高三上学期期末）已知数列?an?的前n项和为Sn，且

S2?0,2Sn?n?nan(n?N?).

（1） 计算a1,a2,a3,a4,并求数列?an?的通项公式；

（2） 若数列?bn?满足b1?3b2?5b3???(2n?1)bn?2n?an?3,求证：数列?bn?是等比数列； （3）由数列?an?的项组成一个新数列?cn?：c1?a1,c2?a2?a3,c3?a4?a5?a6?a7,?,

n??的值.cn?a2n?1?a2n?1?1?a2n?1?2???a2n?1,?. 设Tn为数列?cn?的前n项和，试求limTnn4

5、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知a1，a2，?，an是由n（n?N*）个整数，2，?，n按任意次序排列而成的数列，数列{bn}满足bk?n?1?ak（k?1,2,?,n），c1，c2，?，cn是，2，?，

n按从大到小的顺序排列而成的数列，记Sn?c1?2c2???ncn．

（1）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak?bk（k?1,2,?,n）的数列{an}． （2）写出ck（k?1,2,?,n），并用含n的式子表示Sn．

（3）利用(1?b1)2?(2?b2)2???(n?bn)2≥0，

证明：b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)及a1?2a2???nan≥Sn． （参考：12?22???n2?n(n?1)(2n?1)．）

6、（金山区2016届高三上学期期末）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且

26Sn?an?3an?2(n?N*)．

1616(1) 求{an}的通项公式； (2) 设数列?bn?满足bn???an,n为偶数，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn； an?2,n为奇数(3) 设Cn?bn?1，问是否存在正整数N，使得当任意正整数n > N时恒有,(n为正整数）bnCn>2015成立？若存在，请求出正整数N的取值范围；若不存在，请说明理由．

7、（静安区2016届高三上学期期末）李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.

(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？

8、（闵行区2016届高三上学期期末）已知数列?an?的各项均为整数，其前n项和为Sn．规定：若数列?an?满足前r项依次成公差为的等差数列，从第r?1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列?an?为“r关联数列”．

（1）若数列?an?为“6关联数列”，求数列?an?的通项公式；

（2）在（1）的条件下，求出Sn，并证明：对任意n?N，anSn?a6S6；

（3）已知数列?an?为“r关联数列”，且a1??10，是否存在正整数k,m(m?k)，使得

*

于是(n?2)an?(n?1)an?1?1?ana11?n?1??, ??(4分) n?1n?2n?2n?1从而anaaaaaa?(n?n?1)?(n?1?n?2)???(3?2)?a2n?1n?1n?2n?2n?321故

11111111111?1?(?)?(?)?(?)???(?)?(?)?2?122334n?3n?2n?2n?1n?1an?2n?3(n?3). 于是数列?an?的通项公式为：an?2n?3(n?N?).??(6分)

证：（2）当n?1时， b1?2a1?3?1,当n?2时，由条件得

(2n?1)bn??b1?3b2?5b3???(2n?3)bn?1?(2n?1)bn???b1?3b2?5b3???(2n?3)bn?1???2n?an?3???2n?1an?1?3??2n(2n?3)?2n?1(2n?5)?2n?1(2n?1)?(8分)

n?1从而bn?2. 故数列?bn?是以1为首项，2为公比的等比数列. ??(10分)

解：（3）由题意，得

cn?a2n?1?a2n?1?1?a2n?1?2???a2n?1?(2?2n?1?3)?(2?2n?1?1)?(2?2n?1?1)???(2?2n?7)?(2?2n?5)?n?1n2n?1??(2?2?3)?(2?2?5)???

2?3n?4?2n?14??(12分)故Tn?c1?c2???cn?3(4?42???4n)?(22?23???2n?1)4n234(4?1)2?(2n?1)????4n?4?2n?3 44?12?1nn

??(14分)?1??1??从而 limTn?lim?1?4??3???????1.n??4nn??2???4????? ??(16分)

注：在解答第（3）小题时，可直接求出Tn.

5、[证明]（1）若ak?bk（k?1,2,?,n），则有ak?n?1?ak，于是ak?当n为正偶数时，n?1为大于1的正奇数，故

n?1．（2分） 2n?1不为正整数， 2因为a1，a2，?，an均为正整数，所以不存在满足ak?bk（k?1,2,?,n）的数列{an}4分 [解]（2）ck?n?(k?1)（k?1,2,?,n）．（6分）

因为ck?(n?1)?k，于是Sn?c1?2c2???ncn?[(n?1)?1]?2[(n?1)?2]???n[(n?1)?n]

111?(1?2???n)(n?1)?(12?22???n2)?n(n?1)2?n(n?1)(2n?1)?n(n?1)(n?2)．（10分）

2661[证明]（3）先证b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)．

6222222(1?b1)?(2?b2)???(n?bn)?(1?22???n2)?2(b1?2b2???nbn)?(b12?b2???bn) ①， 这里，bk?n?1?ak（k?1,2,?,n），因为a1，a2，?，an为从到n按任意次序排列而成，所以b1，

22b2，?，bn为从到n个整数的集合，从而b12?b2???bn=12?22???n2，（12分）

于是由①，得0≤(1?b1)2?(2?b2)2???(n?bn)2?2(12?22???n2)?2(b1?2b2???nbn)， 因此，b1?2b2???nbn≤12?22???n2，即b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)．（14分） 再证a1?2a2???nan≥Sn．

由bk?n?1?ak，得b1?2b2???nbn?(n?1?a1)?2(n?1?a2)???n(n?1?an)

16n(n?1)2?[1(n?1)?2(n?1)???n(n?1)]?(a1?2a2???nan)??(a1?2a2???nan)16分

21因为b1?2b2???nbn≤n(n?1)(2n?1)，

62n(n?1)1?(a1?2a2???nan)≤n(n?1)(2n?1)， 即

26n(n?1)21n(n?1)(n?2)?n(n?1)(2n?1)?所以a1?2a2???nan≥， 266即a1?2a2???nan≥Sn．（18分）

6、解：（1）n?1时，6a1?a1?3a1?2，且a1?1，解得a1?2

2n?2时，6Sn?an2?3an?2,6Sn?1?an?12?3an?1?2，两式相减得：

6an?an?an?1?3an?3an?1即(an?an?1)(an?an?1?3)?0，?an?an?1?0， ?an?an?1?3，??an?为等差数列，an?3n?1． ???????????4分

（2）bn??22?3n?1,n为偶数，Tn?b1?b2???bn． 3n?1?2,n为奇数当n为偶数时，Tn=(b1+b3+?+bn–1)+(b2+b4+?+bn)

n (5?3n?1)4(1?8)24nn(3n?4), ???(8?1)?1?642634n当n为奇数时，Tn=(b1+b3+?+bn)+(b2+b4+?+bn–1)

n?1(5?3n?4)4(1?8)4(n?1)(3n?1)2???(8n?1?1)?. 1?642634n?1n(3n?4)?4n(8?1)?,n为偶数?634????????????10分 ?Tn??4n?1(n?1)(3n?1)?(8?1)?，n为奇数4?63?2an?123n?2?,n为偶数??an3n?1(3)Cn??, ?an?1?3n?2,n为奇数?23n?1?2an3n?83n?21当n为奇数时，Cn?2?Cn?3n?5?3n?1?3n?5[3n?8?64(3n?2)]?0，

222∴Cn+2

7、解法1：（1）设n个月的余款为an，则

a1?100000?1.2?0.9?3000?105000，

a2?100000?1.22?0.92?3000?1.2?0.9?3000?110400，

。。。。。。

a12?100000?1.212?0.912?3000?1.211?0.911???3000，

[1?(1.2?0.9)12]?194890（元）， =100000?1.2?0.9?3000?1?1.2?0.91212法2：a1?100000?1.2?0.9?3000?105000， 一般的，an?an?1?1.2?0.9?3000，

构造an?c?1.2?0.9(an?1?c)，c??37500

an?37500?(105000?37500)(1.2?0.9)n?1 an?37500?67500?1.08n?1， a12?194890。

（2）194890-100000?1.05=89890（元）， 能还清银行贷款。

8、[解]（1）??an?为“6关联数列”，??an?前6项为等差数列，从第5项起为等比数列

?a6?a1?5,a5?a1?4,且

a6a?5?2， 即1?2，解得a1??3 ????2分 a5a1?4?n?4,n?5?n?4,n?6?n?4,n?4（或an??n?5）． ????????4分 ?an??n?5??n?5?2,n?5?2,n?6?2,n?7?127?127?127?n?n,n?4?n?n,n?5?n?n,n?6（2）由（1）得Sn??2（或Sn??2） ??2222n?4??2n?4?7,n?6??2n?4?7,n?7?2?7,n?5??????????????6分

?a4n?:?3,?2,?1,0,1,2,22,23,2,25,?，?Sn?:?3,?5,?6,?6,?5,?3,1,9,25,? ?anSn?:9,10,6,0,?5,?6,4,72,400,?，可见数列?anSn?的最小项为a6S6??6，

?证明：a?1n(n?4)(n?7),n?5nSn???2，

?2n?5(2n?4?7),n?6列举法知当n?5时，(anSn)min?a5S5??5； ???????????????8分当n?6时，an?5(n?6)，设2n?5?t，则t??2,2nSn?2?(2n?5)2?7?22?,at2?7t?2(t?74)2?49nSn?28?2?22?7?2??6． ????????10分

（3）?{an}为“r关联数列”，且a1??10,d?1,q?2

?ar?1?a1?(r?2)d?r?12,ar?r?11，?ara?2?r?13 r?1??a?n?11,n?12??1n2?21n,n?12n?? ??????????12分 ??2n?12,n?13,Sn???22?2n?11?56,n?13①当k?m?12时，由

12k2?211212k?2m2?2m得(k?m)(k?m)?21(k?m) k?m?21,k,m?12,m?k，???m?12或?m?11?k?9?．

?k?10②当m?k?12时，由2k?11?56?2m?11?56得m?k，不存在 ??????14分 ③当k?12,m?12时，由

1k2?212k?2m?11?56，2m?102?k2?21k?112 当k?1时，2m?10?92,m?N*；当k?2时，2m?10?74,m?N*； 当k?3时，2m?10?58,m?N*；当k?4时，2m?10?44,m?N*； 当k?5时，2m?10?25,m?15?N*；当k?6时，2m?10?22,m?N*； 当k?7时，2m?10?14,m?N*；当k?8时，2m?10?23,m?13?N*； 当k?9时，2m?10?22,m?12舍去；当k?10时，2m?10?2,m?11舍去

m,?2?，,

当k?11时，2m?10?2,m?11舍去；当k?12时，2m?10?22,m?12舍去??16分 综上所述，?存在? 9、

?m?15?m?13?m?12?m?11或?或?或?． ???????18分

?k?5?k?8?k?9?k?10

*10、解：（1）因为P、都在直线y?kx?b上，所以(a,S)P(a,S),n?Nnnnn?1n?1n?1Sn?1?Sn ?k，

an?1?an即(k?1)an?1?kan，又k?0，且k?1，所以

an?1k为非零常数，所以数列?an?是等比数列 ?ank?1（2）由bn?log1an得an?()212bn?2n?3，即

k?2得k?2． k?1*n?1得 由Pn(an,Sn),n?N在直线y?kx?b上得Sn?kan?b上，令

1b?S1?2a1??a1??

4（3）由bn?log1an知an?1恒成立等价于bn?0恒成立．

2因为存在t,s?N*,s?t使得点?t,bs?和?s,bt?都在直线在y?2x?1上，所以bs?2t?1，

bt?2s?1即bt?bs?2(s?t)，另s?t?1,t?2，易证bt?bt?1?2(t?1?t)??2，又bs?b1?(s?1)(?2)?2t?1?b1?2(t?s)?1?0，

即?bn?是首项为正，公差为?2的等差数列．

?bM?0?2(t?s)?1?(M?1)(?2)?0M所以一定存在自然数，使?即?，解得

b?02(t?s)?1?M(?2)?0?M?1?t?s?11?M?t?s．?M?t?s?，?M?N*，存在自然数M，其最小值为t?s使得当n?M22（n?N*）时，an?1恒成立时，an?1恒成立．

11、解：（1）由题意1?x? 解得x?1?x?x?2，即1?x?x?2??????2分

23 ??????4分 2（2）由已知，设bn?b1qn?1(b1?0)，因b1?0且0?q?1，故对任意的k?2,k?N*，都有

bk?1?bk ??????5分

1(b1?b2?b2?b3???bk?1?bk)∴P(bk)? k?11b(1?q)?(b1?b2?b2?b3???bk?1?bk)?1(1?q?q2???qk?2)k?1k?1b(1?q)P(bk?1)?1(1?q?q2???qk?1)， ??????7分

k因0?q?1∴qi?qk?1(i?k?1)

k?1k?12k?1k?2k?1?1?qq?qq?qq?q∴,,,,,

∴1?q?q???q222k?2?(k?1)qk?1

∴k(1?q?q???qk?2)?(k?1)(1?q?q2???qk?2?qk?1)2k?2k?1???????8分

(1?q?q???q)(1?q?q???q?q)? ∴

k?1kb1(1?q)(1?q?q2???qk?2)b1(1?q)(1?q?q2???qk?2?qk?1)? ∴

k?1k即对任意的k?2,k?N*，都有P(bk)?P(bk?1)，故?bn?是“趋稳数列”??10分

k?211(S1?S2?S2?S3???Sk?1?Sk)?(a2?a3???ak) k?1k?11(a2?a3???ak?1) 当k?3时，P(Sk?1)?k?2∴(k?1)P(Sk)?(k?2)P(Sk?1)?ak

(3) 当k?2时，P(Sk)?同理，(k?1)P(ak)?(k?2)P(ak?1)?ak?1?ak因3P(Sk)?2P(ak)

∴3(k?1)P(Sk)?2(k?1)P(ak) 即3ak?2ak?1?ak

?????? 12分

3(k?2)P(Sk?1)?2(k?2)P(ak?1)

?????? 14分

所以3ak?2(ak?1?ak)或 3ak??2(ak?1?ak)

所以 ak??2ak?1或 ak?2ak?1

5 因为a1?1，且ak?Z，所以ak??2ak?1， 从而ak?(?2)k?1???? 16分

13(2k?1)2k?1k(1?(?2)?(?2)?(?2)???(?2)?(?2))?所以P(ak)?k?1k?1

234nCnP?a2??2CnP?a3??3CnP?a4????(n?1)CnP?an?

234n234n?3[(Cn?2?Cn?22?Cn?23???Cn?2n?1)?(Cn?Cn?Cn???Cn)]

13?3[(3n?2n?1)?(2n?n?1)]?(3n?2n?1?1) ???? 18分

22

12、

13、

将2016代入，可知2016不是其中一项。

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