启迪教育圆与圆讲义

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与圆有关的位置关系三（圆与圆） 定义：圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距． 设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则 ⑴ 两圆外离?d＞R+r；有4条公切线； ⑵ 两圆外切?d=R＋r；有3条公切线； ⑶ 两圆相交?R－r＜d＜R+r（R＞r）有2条公切线； ⑷ 两圆内切?d=R－r（R＞r）有1条公切线； ⑸ 两圆内含?d＜R—r（R＞r）有0条公切线． （注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆） 补充定理：（1）两圆相切，连心线一定过切点。 （2）两圆相交，连心线一定垂直平分公共弦。 一、选择题 1. 生活处处皆学问．眼镜镜片所在的两圆的位置关系是（ ）

（A）外离 （B）外切 （C）内含 （D）内切

2. 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位

置关系是（ ）

A．内含 B．外离 C．内切 D．相交

3. 已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为1cm，那么两圆的位置关系是（ ）

A．相离 B．相交 C．内切 D．外切

4. 两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（ ）

A．d＞8 B．0＜d≤2

C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞8

5. 两圆的半径分别为3和4，圆心距为6，这两个圆的位置关系是（ ）

A．相交 B．相离 C．外切 D．内切

6. 如果半径比是2:3的两圆外切，且这个圆的圆心距是10，那么小圆的半径是

（A）2 （B）3 （C）4 （D）6

7. ⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2＝3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是

A.内含 B. 内切 C.相交 D.外切

8. 已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x-4x+3=0的两根，?那么这两个圆

的位置关系是（ ）．

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

9. ⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与⊙O?相切的圆的

半径一定是（ ）．

A．1cm或7cm B．1cm C．7cm D．不确定

210. 已知两圆的半径分别为3与5，圆心距为x，且(x?3)?x?3，x?4?4?x，

2

则两圆的公切线共有（ ）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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11. 两圆的半径分别为R、r(R?r)，圆心距为d，若关于x的方程

x2?2rx?(R?d)2 ＝0有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（ ）

A、一定内切 B、一定外切 C、相交 D、内切或外切

12. 已知两圆的半径分别为R、r(R?r)，圆心距为d，且d?R?r?2dR，则

两圆的位置关系是（ ）

A、相交 B、内切 C、外离 D、外切或内切

13. 若⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2的半径分别为2和2，公共弦为2，则∠O1AO2的度数是（ ）

000000

A、105 B、75或15 C、105或15 D、15

14. 已知两个同心圆的半径分别为R和r，其中R?r，则和两个同心圆都相切的圆的

半径为（ ）

A、

222R?rR?rR?rR?r B、R?r C、或 D、 222215. 如图，⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为3和1，过O1作⊙O2的切线，切点为A，

则O1A的长是（ ）

A．2 B．4 C．3 D．5

第9题 第8题

16. 如图，⊙O的直径为AB，周长为P1，在⊙O内的n个圆心在AB上且依次相外切的等

圆，且其中左、右两侧的等圆分别与⊙O内切于A、B，若这n个等圆的周长之和为P2，则P1和P2的大小关系是（ ）

A．P1< P2 B．P1= P2 C．P1> P2 D．不能确定 17. 如图，5个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切，若大圆直径是12，4个

小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为

A. 48? B. 24? C. 12? D. 6?

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18. 如图，三个半径为3的圆两两外切，且ΔABC的每一边都与其中的两个圆相切，

那么ΔABC的周长是

（A）12+63 （B）18+63 （C）18+123 （D）12+123

二、填空题 19. 已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都相切的圆共有

_________个．若半径为7 cm与这两圆都相切_________圆共有_________个。若半径为8 cm与这两圆都相切_________的圆共有_________个

20. 已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径为

________cm． 21. 已知两圆外离，圆心距d=12，大圆半径R=7，则小圆半径r?的所有可能的正整数值

为_________．

22. 如图9，施工工地的水平地面上有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在

一起，则其最高点到地面的距离是 .

23. 已知⊙O1和⊙O2的半径分别是3 cm和4cm，若两圆不相交，则O1O2满足 。 24. △ABC的三边长为7、8、9，以顶点A、B、C为圆心的圆两两外切，则其中最大圆

的半径为 。

25. 如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，

则∠AOB= ．

26. 半径分别为4cm和5cm的两圆相交，它们的公共弦长为6cm，则这两圆的圆心距等

于 。 27. 如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y?

图象上，则图中阴影部分的面积等于 .

1的x

3

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28. 已知A（3，0）、B（－1，0），分别以A、B为圆心的两圆相交于M（a?1，?2a），

N（1，2b?2a），则b＝ 。

29. 如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)。⊙A半径为2，

⊙B半径为1，需使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示的位置向左平移 个单位长.

a

30. 如图，⊙O1、⊙O2相交于D、C，A、B为⊙O1上的点，AD、BC交于⊙O2上E点，∠B=80

∠DCB=120，那么∠AEB=_______度。

?AO1CBDO2E，

31. 如图，在边长为3cm的正方形中，⊙P与⊙Q相外切，且⊙P分别与DA、DC边相切，

⊙Q分别与BA、BC边相切，则圆心距PQ为______________．

CD

P Q

AB

32. 如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，且⊙O2的圆心在⊙O1上，P是⊙O2上一点，已知

∠AO1B = 60°，则∠APB的度数是（ ）

A．60° B．65° C．70° D．75°

A P O2 · O1

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三．解答题

33. 已知⊙A、⊙B、⊙C两两外切，且AB=4，BC=6，AC=8，求这三个圆的半径长．

34. 如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm， 求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？ （2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．

B A C O

A

35. 如图，⊙O1的圆心在⊙O的圆周上，⊙O和⊙O1交于A，B，AC切⊙O于A，连结CB，

BD是⊙O的直径，∠D＝40°求：∠A O1B、∠ACB和∠CAD的度数。

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36. 已知：如图12，两圆相交于A、B，过点A的直线交两圆于C、D，过点B的直线交

两圆于E、F。求证：CE∥FD。

图12

37. 已知：如图，⊙O1和⊙02都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，

与⊙O2交于点D，经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。 求证：CE∥DF。

38. 如图，AB是⊙O1与⊙O2的公共弦，O1在⊙O2上，BD，OC1分别是⊙O1与⊙O2的

直径，CA与BD的延长线交于E点，AB与O1C相交于M点． （1） 求证：EA是⊙O1的切线；

E A D O1 M O2 C

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（2） 连结AD，求证：AD∥O1C；

39. 已知：如图，AB是⊙O的直径，以B为圆心的圆交OB于C，交⊙O于E、F，交AB的延长线于D，连结EC并延长交⊙O于G． （1）求证：AE是⊙B的切线；

E · A M O C B D

F

G

（2）求证：EG平分∠AEF；

（3）若M为AO上一点，且GM∥BE，求证：GM等于⊙O的半径．

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40. 如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P为⊙O2上一点，PA交⊙O1于C，PB的延长线

交⊙O1于D，过D、C的直线交⊙O2于E、F。求证：PE＝PF。

AECF?DO1B?O2P第1题图

41. 如图，ΔABC的∠C＝Rt∠，BC＝4，AC＝3，两个外切的等圆⊙O1，⊙O2各与AB，AC，

BC相切于F，H，E，G，求两圆的半径。

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