大物 上海交大课后答案 第三章

习题3

3-1．原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）

解：振动方程：x?Acos(?t??)，在本题中，kx?mg，所以k?9.8； ∴??k9.8??98。 m0.1取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状

态为原长，那么：A=0.1m，

当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。

（98t??）所以：x?0.1cos即：x??0.1cos(98t)。

3-2．有一单摆，摆长l?1.0m，小球质量m?10g，t?0时，小球正好经过???0.06rad??0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：处，并以角速度?（1）

角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8） 解：振动方程：x?Acos(?t??)我们只要按照题意找到对应的各项就行了。

（1）角频率：??9.8?0.5Hz， 2?2??2s； 9.8???3.13Asin（3.13t??） （2）振动方程可表示为：??Acos（3.13t??），∴???0(1，象限）2??根据初始条件，t?0时：cos??，sin???

?0(3，象限）43.13AA?200可解得：A?8.8?10m，??227??133??2.32，

（3.13t?2.32）m。 所以得到振动方程：??8.8?10?2cos

3-3．一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t?0时，位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）t?0.5s时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于x??6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。

解：（1）由题已知A=0.12m，T=2 s，∴ ??g?l1g频率：???2?ll周期：T?2??g9.8?3.13rad/s，

2??? T又∵t=0时，x0?6cm，v0?0，由旋转矢量图，可知：????3

（?t?故振动方程为：x?0.12cos（2）将t=0.5 s代入得：

?3）m；

x?0.12cos（?t?）?0.12cos?0.104m，

36v??0.12?sin（?t?）?0.12cos??0.188m/s， 36? ??3a??0.12?2cos（?t?）??0.12?2cos??1.03m/s2， 36????P?A2xQ方向指向坐标原点，即沿x轴负向； （3）由题知，某时刻质点位于x??6cm??A， 2???t， ?2?T且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到 平衡位置Q处需要走???有：?t??3??2，建立比例式：

5s。 63-4．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在x1?A/2处，且向左运动时，另一个质点2在x2??A/2处，且向右运动。求这两个质点的位相差。 解：由旋转矢量图可知：

当质点1在x1?A/2处，且向左运动时，

?， 3而质点2在x2??A/2处，且向右运动，

4?相位为。

3相位为

所以它们的相位差为?。

3-5．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？

1211kx，Ek?mv2，有：EP?kA2cos2(?t??)， 22211Ek?m?2A2sin2(?t??)?kA2sin2(?t??)，

22A（1）当x?时，由x?Acos(?t??)，

231有：cos(?t??)?，sin(?t??)?，

22解：由EP?∴

EP1Ek3?，?； E4E41E时，有：cos2(?t??)?sin2(?t??) 2（2）当EP?Ek?∴cos(?t??)??12A??0.707A。 ，x??22

3-6．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)

（1）求合振动的振幅。

（2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。

由图可知，两个振动同频率，且

A1初相：?1??2，A2初相：?2???2，

表明两者处于反相状态，

（反相????2??1??(2k?1)?，k?0，1，，2?） ∵A1?A2，∴合成振动的振幅：A?A2?A1； 合成振动的相位：???2???2；

（A2?A1）cos（合成振动的方程：x?2??t?）。 T2

3-7．两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的位相差为

?。若第一个振动的振幅为103cm。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐6222振动的位相差为多少？

解：如图，可利用余弦定理：

由图知A2?A1?A?2A1Acos30?=0.01m ∴A２=0.1 m，

sin?sin300?再利用正弦定理：，有： AA2A?sin???1，∴??。

2A22说明A１与A２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2。

3-8. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：

????????x?4cos8?t?x?4cos8?t???????6?6?????（1）?；（2）?；

?5???y?4cos?8?t???y?4cos?8?t???????66??????????x?4cos8?t????6???（3）?。试判别质点运动的轨迹。

2???y?4cos?8?t????3???解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。

对于x?Acos(?t??x)，y?4cos(?t??y)的叠加，可推得：

x2?y2?2xycos(?x??y)?A2sin2(?x??y)

（1）将?x??663322则方程化为：x?y?xy?12，轨迹为一般的椭圆；

?5?222（2）将?x?，?y??代入有：x?y?2xycos??16sin?

6622则方程化为：x?y?2xy?0，即x?y?0，轨迹为一直线；

，?y???代入有：x2?y2?2xycos??16sin2?，

2???代入有：x2?y2?2xycos?16sin2

6322222则方程化为：x?y?4，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。

（3）将?x??，?y?

3-9．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后

?，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。 6解：根据题意，对于A、B两点，????2??1?，?x?2m， 6x?x1?x而相位和波长之间满足关系：????2??1??22???2?，

???代入数据，可得：波长?=24m。又∵T=2s，所以波速u??T?12m/s。

3-10．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y?Acos(?t??)，波速为u，求：

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何? 解：（1）设平面波的波动式为y?Acos[?（t?）??0]，则P点的振动式为：

xux1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较， ux?x1?x1有：?0?)??]； ??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?uux（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：y?Acos[?（t?）??0]，则PuyP?Acos[?（t?点的振动式为：

x1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较， ux?x1?x有：?0??1??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?)??]。

uuyP?Acos[?（t?

3-11．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为y?Acos(2??t??)，试写出：

（1）该平面简谐波的表达式；

（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。

点平面简解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原

谐波的表达式为：

xy?Acos[2??（t?）??0]，则A点的振动式：

u?lyA?Acos[2??（t?）??0]

u题设A点的振动式y?Acos(2??t??)比较，有：?0?∴该平面简谐波的表达式为：y?Acos[2??（t?2??l??， ulx?）??] uu（2）B点的振动表达式可直接将坐标x?d?l，代入波动方程：

y?Acos[2??（t?

ld?ld?）??]?Acos[2??（t?）??] uuu3-12．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?1s时的波形如图所示，且周期T为2s。 3（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。

解：由图可知：A?0.1m，??0.4m，而T?2s，u??/?T0， ms则：

2?2???，k??5?，∴波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??0) T?O点的振动方程可写成：yO?0.1cos(?t??0)

1?由图形可知：t?s时：yO?0.05，有：0.05?0.1cos(??0)

33dyO?5?考虑到此时（舍去） ?0，∴?0?，

dt33??那么：（1）O点的振动表达式：yO?0.1cos(?t?（2）波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??3)；

?3)；

（3）设A点的振动表达式为：yA?0.1cos(?t??A)

1?s时：yA?0，有：cos(??A)?0 33dyA5?7?考虑到此时（或?A?） ?0，∴?A??dt665?7?∴A点的振动表达式：yA?0.1cos(?t?)，或yA?0.1cos(?t?)；

66由图形可知：t?（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：

yA?0.1cos(?t?5?xA?)，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：

35??7?t???t?5?xA?，所以：xA??0.233m。

6330

3-13．一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。点的振动曲线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：这是一个振动图像！

?3由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：yO?5?10cos(?t??0)。 （1）当t?0时，yOt?0?已知原

?2.5?10?3，考虑到：

dyOdtt?0?0，有：?0???3，

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