统计学3 - 图文

第五章 时间数列

时间数列分析是指从时间发展变化的角度，研究事物在不同时间上的发展状况，探索事物随时间推移的演变趋势和规律，揭示其数量变化和时间的关系 ，预测事物在未来时间上所可能达到的数量和规模。 本章内容

第一节 时间数列的概念

第二节 时间数列的指标分析法 第三节 时间数列的构成因素分析法 本 章 重 点

1、时期数列和时点数列的特点 2、平均发展水平的计算 3、平均发展速度的计算

第一节 时间数列的概念 一、时间数列的概念

时间数列是把反映某种现象（同一空间同类指标）在时间上变化、发展的一系列统计数据按时间先后顺序排列起来所形成的数列。

二、时间数列的种类

三、时间数列的编制原则

----基本原则是保证可比性 1、时间可比 2、总体范围可比

3、计算方法、计量单位可比 4、经济内容可比

第二节 时间数列指标分析法

一、时间数列水平分析指标 （一）发展水平

1、动态数列每一项指标数值就是发展水平 2、常用a0、a1、?、an表示

3、发展水平既可能是总量数据，也可能是相对数据或平均数据

4、按在时间数列分析中所处的位置和作用不同，发展水平分为最初水平、最末水平、中 间水平或报告期水平、基期水平等。

（二）平均发展水平

1、不同时间上发展水平的平均数。 2、与一般平均数（静态平均数）的异同 相同点：均能消除数量差异，反映一般水平。

不同点：动态平均数是同一现象不同时间上数值的平均，消除的是该现象在不同时间上的 数量差异；综合说明现象在一段时间的一般水平。静态平均数是同一时间上总体 各单位数值的平均，消除的是总体各单位的数量差异；综合说明总体各单位的一 般水平。

1、对绝对数动态数列计算平均发展水平 （1）由时期数列计算序时平均数 a1?a2???an?aa??

nn

（2）由时点数列计算序时平均数 ①由连续时点数列计算序时平均数 a?a? n ?afa? ?f

②间断时点数列计算平均发展水平

时点数列—间隔相等(首末折半法)

某商业企业某年第二季度某种商品的库存量如下表，求该商品第二季度月平均库存量。

4月平均库存=（66+72）/ 2 = 69 5月平均库存 =（72+64）/ 2 = 68 6月平均库存 =（64+68）/ 2 = 66 第二季度月平均库存=

（69+68+66）/ 3=67.67（百件）

a?aaa1?a2a2?a3a1????n?1n?a2???an?1?n222 a?2?2n?1n?1

间隔不等时点数列（加权序时平均法） 计算方法：假定相邻两时点间现象的数量变动是均匀的，则这两个时间段的代表值为相邻两时点数值相加除2，又分别以f1、f2、?fn-1，代表相邻时点间的时间间隔长度，则整个时间段的序时平均数可用下式表示：

a?a3a?aa1?a2f1?2f2???n?1nfn?122 a?2f?例5-2-5

时 间 1月初

a1

职工人数（人） 102

则：该年平均每月的职工人数为：

3月初 a2 105

9月初 a3 108

年底 a4 104

102?105105?108108?104?2??6??4222 a??106（人）2?6?4

“首末折半”公式和“间隔加权”公式并没有实质上的不同，前者不过是后者的特例而已。 ?a由时期数列计算：a? ?n?

??a 连续时点数列：a???n ???? ana1???a???a?2n?1??? 22?间隔相等：a?由时点数列计算??? n?1??不连续时点数列?? a2?a3a1?a2???f?f2??1? 22??间隔不等：a?? ??f????

2、由相对指标或平均指标动态数列计算序时平均数

???基本公式c?a ba 数列的序时平均数 b 数列的序时平均数

公式表明：相对指标或平均指标动态数列的序时平均数，是由a、b两个数列的序时平均数 对比得到的。

该例中，公司销售额三年总的计划完成（也就是三年的平均计划完成）如果用简单平均公式

C??C，显见应当等于100%，

n 但实际上为97.86%。这主要是由于销售额所占比重较大的第二年没有完成计划所至。可见，各年度的销售额（准确说是各年度销售额在全部销售额中的比重）在三年总的销售额计划完成（或称为三年的平均计划完成）中起着权衡轻重的作用。

c?105%?95%?100%?100%(错误)3原因在于没有考虑权数的作用。abc?a ?c??a?bcbcbc?（这是一个加权算术平均数，以计划任务数为权数）b?aa200?380?200?nc?b???b?100?400?200n?685?97.86p0例5-2-7：有某企业产量和职工人数资料如下：

（三）增长量

1、增减量= 报告期水平 - 基期水平 逐期增减量 累计增减量 年距增减量

实际工作中，为了消除季节因素的影响，对于月度或季度数据，也可以本月（季）发展水平与上年同月（季）发展水平相减，表示本月（季）较之上年同月（季）增减的绝对数量，称为年距增减量。

1、各逐期增减量的和等于相应时期的累计增减量

2、两相邻时期累计增减量之差等于相应时期的逐期增减量。

（四）平均增长量。

是逐期增减量的序时平均数，用以说明现象在一段时期内平均每期的绝对增减数量。

平均增长量?逐期增长量之和累积增长量

?逐期增长量个数观察值个数?1平均增减量??(a?aii?1ni?1)?nan?a0 n

练习题

以2003年为基期，某企业2004年 ～ 2007年产量的累计增长量分别为60、70、75、80吨。 要求：

⑴ 计算2004～ 2007年的年平均增长量； ⑵ 判断哪几年的增长量超过了平均增长量。

二、时间数列速度分析指标 （一）发展速度

1、发展速度= 报告期水平/基期水平 环比发展速度：ai / ai-1

定基发展速度：ai / a0 （也称总速度） 2、环比发展速度与定基发展速度的关系

1）定基发展速度等于相应的各环比发展速度的连乘积

2）相邻两个定基发展速度的商等于相应时期的环比发展速度

3、年距发展速度：

? 年距发展速度本期发展水平

上年同期发展水平 年距发展速度消除了季节变动的影响，表明本期水平相对于上年同期水平发展变化的 方向与程度，是实际统计分析中经常使用的指标。

（二）增减速度 1、增减速度是增减量与基期水平之比，用以说明报告期水平较基期水平增减变化的相对 程度

增减量报告期水平?基期水平? 基期水平基期水平?发展速度?1增减速度? 环比增长速度=环比发展速度 – 1

定基增长速度=定基发展速度 – 1 注意：

1）环比增减速度的连乘积并不等于相应时期的定基增减速度； 2）两相邻定基增减速度之商也不等于相应时期的环比增减速度。

2、应用速度指标时应注意的问题： 1）定基增长速度与环比增长速度不能象定基发展速度与环比发展速度那样互相推算； 2）定基增长速度与环比增长速度之间的推算，必须通过定基发展速度和环比发展速 度才能进行。

3、增长1%绝对值

增长1%绝对值是绝对指标，反映1%的增长速度在绝对数上所包含的实际内容，即在报 告期与基期的比较中，报告期比基期每增长1%所包含的绝对量是多少，其算式如下： 增长1%绝对值=基期水平/100

（三）平均发展速度和平均增长速度 1、概念：

平均发展速度反映现象在一定时期内逐期发展变化的一般程度。

平均增长速度反映现象在一定时期内逐期增长（降低）变化的一般程度。 平均增长速度不能直接计算，只能通过与平均发展速度的数量关系来进行： 平均增长速度 = 平均发展速度－1 2、计算平均发展速度的两种方法： （1）几何平均法（水平法）

三个公式的实质是一致的，应视不同条件灵活运用。其中n都是指环比发展速度 的个数，也即时间数列项数减1。

例5-2-11:已知某地区钢产量1997～2001年各年的环比发展速度分别为107.82%、 105.6%、103.63%、107.73%、107.01%。求钢产量平均每年的发展速度。 若1996年的钢产量为5220吨，平均每年的发展速度为105%，则2001年的 钢产量为多少？

可以看出，用几何平均法计算平均发展速度的特点：着眼于期末水平，不论中间水平变化过程怎样，只要期末水平确定，对平均发展速度的计算结果没有影响，所以几何平均法也称为“水平法”。 例5-2-12 、

1982年末我国人口是10.15亿人，人口净增长率14.49?，如果按此速度增长，2000年末将有多少亿人？若2000年要将人口控制在12亿人以内，人口年均净增长率应控制在多少？

a2000?a1982x18?10.15?1.0144918?13.15

x?1?1812/10.15?1?0.9345%例5-2-13、

某地区1980年国内生产总值为450亿元，若每年能保持8%的增长速度，问经过多少年能实现翻2番？经过多少年能达到1000亿元？

n?logR/logx?log4/log1.08?18.013（年）

1000450?log2.2222?10.3755(年) n?log1.08log1.08log例：某地区社会总产值1994-1997年每年平均发展速度为115%，1998-1999年每年平均发展速度为112%，2000-2003年每年平均发展速度为109%，则十年来社会总产值年平均发展速度为多少？

例：有人估计，1976-1986年美国经济将以4.8%的速度增长，而这以后年平均增长速度将只达到2.7%左右，美国1976年GNP为1.667万亿美元。试推算2004年美国GNP将达多少？

a0x?a0x?......?a0x??ai2nn

i?1

（3) 水平法与累计法的侧重点不同：

水平法：侧重于考察现象最末一期水平：按平均发展速度计算的最末一期水平与实际 的最末一期水平相等。

累计法：侧重于考察现象整个发展过程：按平均发展速度计算的各期水平之和等于实 际的各期发展水平之和。 3.应用平均发展速度指标应注意的问题

·平均发展速度应与各环比发展速度结合分析 ·总平均发展速度和分段平均发展速度结合分析 ·平均发展速度要联系基期水平进行分析

·注意每增长1%所包含的绝对数量

第三节 时间数列构成因素分析

将时间数列看作是由许多因素共同影响的结果，任何一个时间数列都是由这些因素的全部或部分所构成，通过对这些构成因素的分解分析，揭示现象随时间变化而演变的规律；并在揭示这些规律的基础上，假定事物今后的发展也遵循这些规律，从而对事物的未来发展做出预测。

一、时间数列的构成因素及基本模型 （一）时间数列的构成因素:

·长期趋势（T）

是一种对事物的发展普遍和长期起作用的基本因素。受长期趋势因素的影响，事物表 现出在一段相当长的时期内沿着某一方向的持续发展变化。任何一个时间数列，都必 然受长期趋势因素的影响而呈现出某种长期趋势形态。 向上、向下、平稳 ·季节变动（S）

是一种使现象以一定时期（如一年、一月、一周等）为一周期呈现较有规律的上升、 下降交替运动的影响因素。通常表现为现象在一年内随着自然季节的更替而发生的较 有规律的增减变化。 ·循环变动（循环周期）（C）

这种因素的影响使现象呈现出以若干年为一周期、涨落相间、扩张与紧缩、波峰 与波谷相交替的波动。

不同于长期趋势：不是沿着某一方向的持续运动，而是一种兴衰交替的周期波动。 不同于季节周期：周期变化规律是一种自由规律，周期的长短很不一致；而季节周期 的变化是一种固定规律，通常以一年十二个月或一年四个季度为一 周期，每年重复出现。 ·不规则变动（I）

是一种偶然性、随机性、突发性因素。受这种因素影响，现象呈现时大时小、时 起时伏、方向不定、难以把握的变动。

由于这种因素具有偶然性，如果这类原因很多，而且互相独立，则有相互抵消的 可能；但若这些因素相互之间有联系而且受一、两个重大因素所支配，则难以互相抵消。

（二）时间数列的组合模型

在加法模型中，各种影响因素是相互独立的，均为与Y同计量单位的绝对量。 季节周期和循环周期的数值在各自的周期时间范围内平均为零；若无突发重大因素的影 响，不规则变动的数值从长时间来看，其总和（或平均）也应为零。

加法模型中，各因素的分解是根据减法进行（如Y – T = S + C + I）。

在乘法模型中，只有长期趋势是与Y同计量单位的绝对量；其余因素均为以长期趋势为基础的比率，通常以百分数表示。

季节周期和循环周期的数值在各自的周期时间范围内平均为1（100%）；若无突发重大因素的影响，不规则变动的数值从长时间来看，其平均也应为1（100%）。 乘法模型中，各因素的分解是根据除法进行（如Y/T = SCI）。 时间数列的不同组合模式： ·趋势模式：Y = T ×I

·趋势季节模式：Y = T×S×I

·趋势季节循环模式：Y =T×S×C×I

二、长期趋势的测定和分析 1、时距扩大法

·这是测定长期趋势最原始、最简便的方法；

·消除较小时距单位内偶然因素的影响，显示现象变动的基本趋势。 ·只适用于时期数列；

·扩大的时距应与社会经济现象本身的变化周期一致； ·扩大后的时距要一致，保持其可比性。

2、移动平均法

所谓移动平均，是选择一定的平均项数（常用N表示），采用逐项递移的方法对原时 间数列计算一系列移动平均值，这些移动平均值消除或削弱了原数列中的不规则变动和其 他变动，揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势。 移动平均法具有如下一些特点：

⑴ 移动平均对数列具有平滑修匀作用，平均项数（N）越大，对数列的平滑修匀作 用越强。

⑵ 平均项数N为奇数，只需一次移动平均，其平均值所代表的时期即可与数列中的 某一时期相对应；而平均项数k为偶数时，尚需再进行一次中心化或移正平均， 其平均值所代表的时期才能与数列中的某一时期相对应。

⑶ 移动平均后，移动平均值数列较原数列项数要少。N为奇数时，新数列首尾各少 （N-1）/2项；N为偶数时，新数列首尾各少N/2项。

⑷ 若数列中包含周期变动，平均项数k必须与周期长度一致，才能消除数列中的周 期波动，揭示数列中的长期趋势。 3、数学模型法（趋势方程拟合法）

这是利用数学中的某一种曲线形式对原数列中的趋势进行拟合，以消除其他变动，揭 示数列长期趋势的一种方法。趋势方程拟合法在Y=T×I数列的长期趋势测定中应用较为 广泛。

(1) 趋势方程的选择

·定性分析。如人口增长、耐用消费品的销售量等通常选择S曲线进行拟合。

· 绘制观测值散点图或折线图。这些图形常能很直观的表现出数列的趋势类型，是最 常用也是比较有效的一种方法。

根据数列的数据特征加以判断。

常用的判断方法有：若数列各项数据的K次差（K级增长量）大致为一常数，可 拟合K次曲线；若数列的环比发展速度大致为一常数，可对该数列拟合指数曲线。

[a?bt]?[a?b(t?1)]?bn次曲线的n阶导数恒为常数

y?abtabt/abt?1?b

(2)直线趋势模型

（3） 抛物线方程

当现象的发展，其二级增长量大体上相等时。

逐期增长量： 50 69 90 110 例：

二级增长量： ? 19 21 20

则给该资料配合抛物线方程

三、 季节因素的测定和分析

（一）资料要求：长时间短时距的资料。

·短时距：一年以内短时间单位（月、季）的资料； ·长时间：至少有三个周期以上的统计资料。 （二）测定季节变动的常用方法 1、同期平均法 1、同期平均法

适用于y=a×S×I 数列，其中a代表水平趋势值。 直接对原数据按平均的方法分离出季节因素。

原理和步骤：

（1）求各年同期月或季平均数（yi i=1、2、?、L）。这一步骤的目的是为了消除体 现在各年同期数据上的不规则变动，相当于a?S?I?I?a?S

?。这一步骤的目的 （2）求全部数据的总平均数y，并以y作为水平趋势值的估计值a 是为了找出数列中的水平趋势值。

?（通常称为季节比率）（3）以yi/y，得到季节因素估计值S，并注意小数保留位数， i 使

??Si?1Li。这一步骤相当于：a?S/a?S ?L（L=4或12）

2. 趋势（或趋势—循环）剔除法

同期平均法只适合水平趋势的季节数列，如果数列中包含有明显的上升（下降）趋势或循环周期变动，即Y=T×S×I或Y=T×S×C×I数列，测定其中的季节因素应首先剔除数列中的趋势（或趋势—循环），再对剔除趋势（或趋势—循环）以后的数列计算季节比率。 这种计算季节比率的方法称为“趋势（或趋势—循环）剔除法”。 趋势（或趋势—循环）剔除法的基本原理

对于Y=T×S×I或Y=T×S×C×I数列，首先从数列中分解出趋势（或趋势—循环）因素，并从数列中将这些因素剔除，将余下的部分通过平均的方法消除不规则变动，最后得到季节比率。 步骤：

1、用移动平均法求出原数列中的趋势值（趋势—循环值) （移动平均项数N必须与季节周期长度L一致）。

2、以原数列各项数值分别除以其对应的趋势值(趋势—循环值)， 相当于（T×S×I）/T=S×I或（T×S×C×I）/（T×C）= S×I。 3、对新数列用同期平均法求季节指数。 一、判 断 对 错

1、将某企业年末固定资产净值编制成的动态数列属于时期数列（ ） 2、平均增长量既属于算术平均数，也属于序时平均数（ ） 3、若逐期增长量每年相等，则各年的环比发展速度年年下降（ ）

4、利用首末折半法计算间断相等时点数列的序时平均数，需假定指标值在两个时点之间的 变动是均匀的（ ）

5、相邻两个累计增长量的差等于相应的逐期增长量（ ） 6、平均增长速度不是根据各个增长速度直接求得的，而是根据平均发展速度计算的（ ） 7、用水平法计算的平均发展速度只取决于最初和最末发展水平与中间各期发展水平无关。 8、发展水平就是动态数列中的每一项具体指标数值，它只能表现为绝对数。（ ） 9、如果季节指数等于1，说明没有季节变动（ ） 二、选 择 题

1、说明现象在较长时期内发展的总速度的指标是（ ）。 A、环比发展速度 B、平均发展速度 C、定基发展速度 D、定基增长速度

2、以1960年为基期，1993年为报告期，计算某指标的平均发展速度，应开（ ）次方。 A、 33 B、32 C、31 D、30

3、某企业产品产量年年增加5万吨，则产量的环比增长速度（ ） A、年年下降 B、年年增长 C、年年相等 D、无法下结论 4、按几何平均法计算的平均发展速度，属于（ ）

A、算术平均数 B、序时平均数 C、几何平均数 D、众数 5、下列哪些属于序时平均数（ ）。 A、某产品产量某年各月的平均增长量 B、某商场职工某年月平均人均销售额

C、某地区近几年出口商品贸易额平均增长速度 D、某商场职工第四季度人均产值

E、某企业第一季度平均每月的职工人数

6、在一个较长时期的时间数列中，对数列数值影响最大的因素是（ ）。 A、长期趋势 B、季节变动 C、循环变动 D、不规则变动 三、计算题部分

1、某厂三个车间一季度生产情况如下：

车 间 计划完成百分比 实际产量单位成本（元/

（件） 件）

198 15 第一车间 90%

315 10 第二车间 105% 220 8 第三车间 110%

根据以上资料计算：

（1）一季度三个车间产量平均计划完成百分比。 （2）一季度三个车间平均单位产品成本。

2、某地区1999年下半年各月的社会劳动者人数和国内生产总值资料如下：

3、已知某地区2000年工业总产量为7015万元，1996年至2000年各年的环比增长速度如 下：

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