经典大学高数试题下集锦

????1． （3分） 若a??1,3,?2?,b???5,1,4?,则a?b? . 3. （3分） 微分方程y???y??2y?0的通解为 . 1. （4分）级数?(?1)nn?1?1为( ). n2(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性不确定

3. （4分）二重积分??f(x,y)d?在极坐标系下的面积元素为（ ）.

D(A)d??dxdy (B)d??rdrd? (C)d??drd? (D)d??r2sin?drd? 4. （4分）若可微函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值，,则下列结论中正确的是( ).

(A)f(x0,y)在y?y0处的导数大于零 (B)f(x0,y)在y?y0处的导数等于零 (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零 (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在

一、 1. ?10; 3.y?C1ex?C2e?2x. 二、 1 C; 3 B; 4 B.

三、计算题（共12分）

1. （6分）设f(x,y)?exy?(y2?1)arctanxy,求fx(x,1). 2. （6分）设z?f(x,y)由方程ez?xyz?0所确定，求dz.

四1.（6分）计算二重积分??(x2?y2?x)d?,其中D是由直线y?2,y?x及

Dy?2x所围成的闭区域.

3.（6分）在斜边边长为定数l的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.

11六2. （6分）判别级数?tan的敛散性.

nn?1n?3. （6分）求幂级数?(?1)n?1?n?1(x?1)n的收敛半径和收敛区间. n七、计算题（共12分）

1. （6分）求微分方程y???y?4xex在初始条件yx?0?0,y?x?0?1下的特解.

x三、 1 解 ?f(x,1?)e, 2分

?fx(x,1)?ex. 4分 2 解 方程两边求微分得ezdz?yzdx?xzdy?xydz?0, 3分 dz?yzdx?xzdy 3分 ze?xy四、 1 解 画图 1分

原式 ??20dy?y(x2?y2?x)dx 2分

2y

3??19???y3?y2?dy 2分 0248??2?13. 1分 6 1分 3 解 设周长和两个直角边分别为z,x,y,

则z?x?y?l,l2?x2?y2. 1分

作辅助函数为F(x,y)?x?y?l??(l?x?y), 1分 由拉格朗日乘数法，

222?Fx?1?2?x?0,??Fy?1?2?y?0, 2分 ?222?l?x?y.?22?解之得唯一可能的极值点??2l,2l??.由问题本身的性质可知最大值一定存在，并在该点

??处取得，既当两个直角边分别为22l,l，斜边为l时，周长最大. 22 2分

六、

2 解 由比较判别法的极限形式 1分

11tann?1, 2分 ?limnn??1n2而级数

1收敛,所以原级数收敛. 3分 ?2nn?1?3 解 ???limn??an?1 , 2分 ?1an?R?1, 1分

又当x?1?1时原级数收敛, 当x?1??1时原级数发散,

2分 所以原级数的收敛区间为(?2,0]. 1分 七、1 解 特征方程为r2?1?0,

特征值是r1??1,r2?1, 1分 所以齐此方程的通解为 y?C1e?x?C2ex. 1分 因为??1是特征方程的单根，故可设特解为y*?x(ax?b)ex, 1分

利用待定系数法可得a?1,b??1, 1分

于是原方程的通解为y?C1e?x?C2ex?(x2?x)ex. 1分 将初始条件代入上式得所求特解为y?e?ex?x?(x2?x)ex.

1分

一、填空题（共15分）

1. (5分) 微分方程y???3y??2y?0的通解为 . 3. (5分) 设z?f(exy),其中f可微,则dz? . 二、选择题（共15分）

1. (5分) 若?anxn在x??2处收敛，则此级数在x?1处( ).

n?1? (A)条件收敛; (B)绝对收敛; (C) 发散; (D)收敛性不确定.

2. (5分) limun?0是级数?un收敛的( ).

n???

n?1(A)充分条件; (B)必要条件;

(C)充分必要条件; (D)既不充分也不必要的条件. 三、解答题（共56分）

1.（7分）已知曲线x?t,y?t2,z?t3上P点处的切线平行于

平面x?2y?z?4,求P点的坐标.

y?2z2.（7分）设z?f(xy , ) , f具有二阶连续的偏导数,求.

x?x?y5.（7分）判别级数?(?1)nn?1?lnn的敛散性. n(x?3)n6.（7分）求幂级数?的收敛域. nn?1n?3?8.（7分）试写出微分方程2y???5y??x?cos2x的特解形式. 一、(每小题4分)

1.y?C1e?x?C2e?2x; 3.f?(exy)exy(ydx?xdy). 二、(每小题4分)1.二、解答题

(B);2.(B);3.(D).

??1．(7分) 解 曲线在任一点的切向量为T??1,2t,3t2?,┄┄┄┄2分

? 已知平面的法向量为n??1,2,1?,┄┄┄┄3分

???1令T?n?0,得t??1,t??,┄┄┄┄5分

3于是

111P).┄┄┄┄7分 1(?1,1,?1),p2(?,,?3927解

2．(7分)

?z?3x2f?x3yf1??xyf2?, ┄┄┄┄3分 ?x?2z???yf22??┄┄┄┄7分 ?4x3f1??2xf2??x4yf11?x?y

lnn(?1)n5．(7分) 解 ?lim?limlnn???,

n??n??1nn(?1)nlnnlnn1(或?当n?3时,??) ┄┄┄┄2分

nnn1而?发散,n?1n?lnn ??(?1)n?1n?n发散. ┄┄┄┄4分

令un?lnn,则当n?3时un?1?un,且limun?0,┄┄┄┄6分

n??n由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛. ┄┄┄┄7分

an?1n?3n16．(7分) 解 ?lim?lim?,?R?3, ┄┄┄┄3分 n?1n??an??(n?1)?33n(?1)n又当x?3??3,即x?0时,级数?收敛; ┄┄┄┄5分

n?1n?1当x?3?3,即x?6时,级数?发散 ┄┄┄┄6分

n?1n?故原级数的收敛域为[0,6). ┄┄┄┄7分 8. (7分) 解 特征方程为2r2?5r?0,┄┄┄┄1分

5特征根为r1?0,r2??. ┄┄┄┄2分

211f(x)?x??cos2x, ┄┄┄┄3分

22?0 是特征根,?2y???5y??x?y1*?x(ax?b),┄┄┄┄4分

又

1的一个特解形式为 210?2i不是特征根, ?2y???5y??cos2x的一个特解形式为

2y2*?ccos2x?dsin x2 , ┄┄┄┄5分

故 原方程的一个特解形式为

y*?y1*?y2*?x(ax?b)?ccos2x?dsin2x.┄┄┄┄6分

一、

填空题(每题4分,共16分)

?1.(4分) 级数?un收敛的必要条件是 .

n?12. (4分) 交换二次积分的次序?0dy?0f(x,y)dx= . 3. (4分) 微分方程y???4y??4y?2xe2x的一个特解形式可以设为 .

二、 选择题(每题4分,共16分) 2. (4分) 级数?(?1)n?1?n?11y1n32为（ ）.

A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定. 4. (4分) 幂级数?(?1)n?1?n?13nxn的收敛半径为( ). nA. R?2; B.R?; C.R?3; D.R?. 三、

解答题(每题7分,共63分)

xy12131．(7分) 设z?sin(x?y)?e,求dz.

2． (7分) 求I???(1?y?z)dS,其中?是平面y?z?5被圆柱面x?y?25截

?22出的有限部分.

(?1)n(x?1)n的收敛域. 3． (7分) 求幂级数?nn?1?4． (7分) 求微分方程y??2xy?4x在初始条件yx?0?3下的特解. 5． (7分) 求微分方程y??2xy?4x在初始条件yx?0?3下的特解.

评 分 标 准

一、 1.limun?0; 2.?0dx?xf(x,y)dy;

n??11 3.y?x(Ax?Bx?C)e; 4.d??rdrd?. 二、 1. C; 2. A; 3.D. 4.D.

*222x

三、 1.解 zx?cosx????3 分 (?y?)yexy?(?y?)xe ? zy?cosx????3 分

xy dz?[cosx(?y?)yexy????7]d?x[cos?x(y?x)yxe?dy分

3.解 ?:z?5?y?????1分

????2分 D:x2?y2?25?22I???(1?y?5?y)1?zx?zydxdy ?????4分

D?62??dxdy?????6分

D????7分 ?1502? ?4. 解 R?1??????2分 当x?2时收敛?????4分 当x?0时发散?????6分

收敛域为(0,2]. ?????7分 7.解y?e??2xdx?C??4xedx??????x23分

?e ?Ce?x2[C?2?ed(x2)]?????4分

x2?x2?2?????5分

将yx?0?3代入上式得 C?1?????6分 所求特解为y?e

一、 单项选择题（6×3分）

?x2?2?????7分

1、设直线

( )

，平面，那么与之间的夹角为

A.0 B. C. D.

2、二元函数（ ）

在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的

A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件

3、设函数，则等于（ ）

A. B.

C． D.

4、二次积分交换次序后为（ ）

A. B.

C. D.

5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（ ）

A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 C.不能确定其敛散性 6、设是方程处（ ）

的一个解，若

，则

在

A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、 填空题（7×3分）

1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影

＝

2、设，，那么

3、D为，时，

5、函数展开为的幂级数为

6、7、

＝

为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为

三、计算题(4×7分)

1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。

3、计算二重积分，其中

5、求级数

五、证明题 (6分)

的和。

设

收敛，证明级数绝对收敛。

一、 单项选择题（6×3分）

1、 A 2、 C 3、 C 4、 B 5、 A 6、 D 二、 填空题（7×3分）

1、2 2、5、

3、 4 、

6、0 7、

三、计算题(5×9分) 1、解：令

则

，

故

3、解：＝＝＝

5、解：令则

，

即

令，则有

＝

五、证明题 (6分)

证明：

即

而与都收敛，由比较法及其性质知：

收敛

故 绝对收敛。

一，单项选择题（6×4分）

1、直线一定 ( )

A.过原点且垂直于x轴 B.过原点且平行于x轴 C.不过原点，但垂直于x轴 D.不过原点，但平行于x轴

2、二元函数在点处

①连续 ②两个偏导数连续 ③可微 ④两个偏导数都存在 那么下面关系正确的是（ ） A ②③① B. ③②① C. ③

④

① D. ③

①

④

3、设，则等于（ ）

A.0 B.

C. D.

4、设

，改变其积分次序，则I＝（

）

A. B.

C. D.

5、若与都收敛，则（ ）

A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 C.不能确定其敛散性 6、二元函数

的极大值点为（ ）

A.(1,0) B.(1,2) C.(-3,0) D.(-3,2) 二、 填空题（8×4分）

1、过点（1，3，－2）且与直线垂直的平面方程为

2、设，则＝

3、设D：，，则

4、设为球面，则＝

5、幂级数6、以

的和函数为

为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为

7、若收敛，则＝

8、平面上的曲线绕轴旋转所得到的旋转面的方程为

三、计算题(4×7分)

1、设可微，由确定，求及。

2、计算二重积分，其中。

3、求幂级数的收敛半径与收敛域。

4、求曲线积分

边界取顺时针方向。 四、综合题(10分) 曲线上点标，求此曲线方程。 五、证明题 (6分)

，其中是由 所围成区域

的横坐标的平方是过点的切线与轴交点的纵坐

设正项级数收敛，证明级数也收敛。

一、 单项选择题（6×4分）

1、 A 2、 A 3、 C 4、 B 5、 B 6、 D 二、 填空题（8×4分） 1、

2、

3、 4 4、

5、 6、 7、1 8、

三、计算题(4×7分)

1、解：令

2、解：＝＝

===

3、解：令对于，

当时＝发散

当时，＝也发散

所以在时收敛，在该区间以外发散，即

解得

故所求幂级数的收敛半径4、解：令

，

为2，收敛域为（0，4）

则

，由格林公式得到

＝＝

＝

＝4

四、综合题(10分) 解： 过

的切线方程为：

令X＝0，得

依题意有：即…………………………..(1)

对应的齐次方程解为令所求解为将

代入（1）得：

故（1）的解为：五、证明题 (6分)

证明：由于收敛，所以也收敛，

而

由比较法及收敛的性质得： 收敛。

一、填空题（每小题3分，共计15分）

?xzy?ze? z???xzy?xe?xz。 z?f(x,y)xy?yz?e1．设由方程确定，则? x23)向l?(4,0,-12) 2．函数u?2xy?z?xyz在点P0(0?,?1,沿2方

的方向导数最大。

二、解答下列各题（每小题7分，共35分）

1．设f(x, y)连续，交换二次积分

I??dx?012?x1?1?x2f(x,y)dy的积分顺序。

12?xI??dx?01?1?x2f(x,y)dyf(x,y)dx??dy?122?y0解：

??dy?011?(y?1)20f(x,y)dx

??222．计算二重积分D，其中D是由y轴及圆周x?(y?1)?1所

围成的在第一象限内的区域。

?x2?y2dxdy 解：

??Dx?ydxdy??2d??0222sin?0r2dr?169

x3．求微分方程y???2y??y?e的通解。 解：y???2y??y?0的通解为y?(c1?c2x)e。 设原方程的一个特解y?ce，代入原方程，得

1y?(c1?c2x)ex?e?x4

22五、(10分)求z?x?y?1在y?1?x下的极值。

*?x?xc?14。其通解为

222解：z?x?(1?x)?1?2x?2x?2

11x?x?222。z???4?0，2为极小值点。故z?x?y?1令z??4x?2?0，得

113(,)在y?1?x下的极小值点为22，极小值为2。

22六、(10分)求有抛物面z?1?x?y与平面z?0所围立体的表面积。 22解：z?1?x?y (z?0)的面积为

S1???dS??2?100x2?y2?1??1?4x2?4y2dxdy.............4分??d??r1?4r2dr............................2分 ?(55?1)??z?0?6 平面部分的面积为。故立体的表面积为。

??(55?1)6...............1分xn?1?n七、(10分)求幂级数n?1n3的收敛区间与和函数。

???xn?1xnxn?11???s(x)(xs(x))?()?????nnn[?3,3)n3n33?x。n?1n?13解：收敛区间为。设n?1，?ln31x?0?x?xln(3?x)s(x)??1?x?03?故。

?

一、选择题（共 5 小题，每题 3 分，共计 15 分）

x?2y?2z?3???2?73与平面4x?2y?2z?3的位置关系是（ ） 1. 直线

（A）垂直 （B）平行 （C）直线在平面上 （D）不确定

2．下列说法正确的是（ ）

（A）若fx?x0,y0?、fy?x0,y0?存在，则函数f?x,y?在点?x0,y0?可微分. （B）若fx?x0,y0?、fy?x0,y0?存在，则函数f?x,y?在点?x0,y0?连续. （C）若函数f?x,y?在点?x0,y0?可微，则函数f?x,y?在点?x0,y0?连续.

（D）若fx?x0,y0??0、fy?x0,y0??0，则点?x0,y0?是函数f?x,y?的极值点. 3．交换二次积分?（A）（C）

10dy?2y0f?x,y?dx??dy?133?y0f?x,y?dx的积分次序为（ ）

??202dx?1dx?1?3?xxf?x,y?dyf?x,y?dyn2 （B） （D）

??202dx?1dx?13?xxf?x,y?dyf?x,y?dy2

3?xx3?xx1212n的收敛区间是（ ） 4．幂级数n?1（A）??1,1? （B）?4,6? （C）??1,4? （D）?1,6? 5．级数n?1??x?5????1??n?112n?1（ ）

（A）绝对收敛 （B）发散 （C）条件收敛 （D）不确定

二、填空题（共 5 小题，每题 3 分，共计 15 分）

rrrrrrra?2i?j?2k1．向量x与向量共线，且a?x??18，则

rx? .

8xylim?x?02xy?1?12．y?0 3．函数z?e，则dz? . 5．级数n?1yx???1??n?n?1?2n102n （填收敛或发散）.

三、（本题8分）求与两平面x?4z?3和2x?y?5z?1的交线平行且过点??3,2,5?的直线的方程.

四、（共 2小题，每题7分，共计 14分）计算下列偏导数.

1．求函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）.

xz?z?z?lny，求?x及?y. 2．设z五、（共 2小题，每题7分，共计 14 分）计算下列重积分. 1．计算

Du?f?x2?y2,exy???xyd?D2，其中D是由抛物线y?x及直线y?x?2所围成的闭区域.

22x?y?1及坐标轴所围成的在第一象D，其中是由圆周

2．

限内的闭区域.

22ln1?x?y??d???六、（本题12分）求函数极大值.

f?x,y??e2x?x?y2?2y?的极值，并判断是极小值还是

答案

一、选择题

1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 二、填空题

y1x?y?11?x21?e?dx?dy?dx?dy?22f?x,y,z?dz??4,2,?4???1?1?x2x?yxx8??1. 2. 3. 4.

5. 收敛

三、解

?????????s?n1?n2?10?4??4i?3j?k2?1?5?i?j?k??............................6分

x?3y?2z?5??431................................2分 因此所求直线方程为

?u?f1??2x?f2??yexy?2xf1??yexyf2?四、1.解 ?x............................4分

?u?f1????2y??f2??xexy??2yf1??xexyf2??y...............................3分 xz?lnzy 2. 解 令

1F??y??z??1F??x?y?1??x?zFx?y?2?z22zyyzzyzz??则，，................3分

Fy?zz2Fx?zz??????Fzy?x?z?............................4分 Fzx?z，?y所以?xF?x,y,z??五、1. 解

??xyd???D2?1dy?y?2y2xydx.....................................3分

?12?25?yy?2?ydy??????12............................................3分

?458.............................................................1分

222ln1?x?yd??ln1???????d?????DD12. 解

?.............................1分

?11??2d??ln?1????d???2d??ln?1??2?d?1??2?00020...................4分

21????2?2ln2?1?d???2ln2?1?204.....................................2分

2x2?fx,y?e2x?2y?4y?1??0???x??fy?x,y??e2x?2y?2??0??六、解 由............................2分

?1?,?1???....................................................2分 解得驻点?2fxx?x,y??e2x?4x?4y2?8y?4?2x2xfx,y?e4y?4fx,y?2e??????，xy，yy....3分

?1??1??1?A?fxx?,?1??2e?0B?fxy?,?1??0C?fyy?,?1??2e?2??2??2?因此， ，......3分

?1?,?1??22f?x,y??e?x?y?2y??处取得极小值由于AC?B?4e?0，因此函数在点?22x2e?1?f?,?1???2................................................. ?为?2

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