高中数学-圆锥曲线练习题及答案-历年高考试题精选

更新时间：2023-04-09 00:09:01 阅读量：实用文档文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

高中数学圆锥曲线题型及归纳推荐度：
相关推荐

决战高考

高考数学试题分类汇编——圆锥曲线含答案

一、选择题

1.（2017全国卷Ⅰ理）设双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )（A

（B ）2 （C

（D

解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x y x ==.由题意有000

2y x x =又2001y x =+ 解得

: 201,2,b x e a =∴

=== 2.（2017全国卷Ⅰ理）已知椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF =

(A). (B). 2

(C). (D). 3

解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =

.又由椭圆的第二定义,

得2||233

BF =

=||AF ∴=故选A 3.（2017浙江理）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12

AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A

答案：C

【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ??- ?++--??

，则有22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ??=-=- ?--++??，

因

222,4,AB BC a b e =∴=∴= 4.（2017浙江文）已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（） A

．2 B

．2 C ．13 D ．12

5．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．

【解析】对于椭圆，因为2AP PB =，则12,2,2

OA OF a c e =∴=∴= 7.(2017山东卷理)设双曲线122

22=-b

y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. 4

5 B. 5 C. 25 D.5 【解析】:双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ?=???=+?,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,

决战高考

所以△=2()40b a

-=,

所以2b a =,2c e a ====,故选D. 答案:D.

【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

8.(2017山东卷文)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).

A.24y x =±

B.28y x =±

C. 24y x =

D. 28y x =

【解析】: 抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4

a y x =-,它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242

a a ?=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±,故选B. 答案:B.

【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.

9.（2017全国卷Ⅱ文）双曲线13

2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r= （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）6

答案：A

解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r ，可求r=3

10.（2017全国卷Ⅱ文）已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。若FB FA 2=,则k= (A)31 (B)32 (C)3

2 (D)322 答案：D

解析：本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由2FA FB =及第二

定义知)2(22+=+B A x x 联立方程用根与系数关系可求k=

。

11.（2017（A ）22

124x y -= （B ）22142x y -= （C ）22146x y -= （D ）221410x y -=

[解析]由2e =得222222331,1,222

c b b a a a =+==，选B 12.（2017安徽卷文）下列曲线中离心率为

的是

A. B. C. D.

【解析】依据双曲线22221x y a b -=的离心率c e a

=可判断得.2c e a ==.选B 。 13.（2017安徽卷文）直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是

A ． B.

决战高考

C. D.

【解析】可得l 斜率为33:2(1)22

l y x -∴-=-+即3210x y +-=，选A 。 14.（2017江西卷文）设1F 和2F 为双曲线22

221x y a b

-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为

A ．32

B ．2

C ．52

D ．3 答案：B

【解析】由tan 62c b π==2222344()c b c a ==-,则2c e a

==,故选B. 15.（2017江西卷理）过椭圆22

221x y a b

+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为

A ．

2 B C ．12 D ．13

答案：B

【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有2

32,b a a

=从而可得3c e a ==，故选B 16.（2017天津卷文）设双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（） A x y 2±= B x y 2±= C x y 22±= D x y 2

1±= 【解析】由已知得到2,3,122=-===b c a c b ，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为

x x a b y 2

2±=±

= 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。

17.(2017湖北卷理)已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22

214x y b

+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是 A. 11,22K ??∈-???? B. 11,,22K ????∈-∞-+∞ ???????

C. K ?∈???

D. 2,,K ???∈-∞+∞ ?? ????? 【解析】易得准线方程是2212

a x

b =±=±=± 所以222241

c a b b =-=-= 即2

3b =所以方程是22143

x y += 联立 2 y kx =+可得22 3+(4k +16k)40x x +=由0?≤可解得A 18.（2017四川卷文）已知双曲线)0(122

2>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点

),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝

A. －12

B. －2

C. 0

D. 4

【解析】由渐近线方程为x y =知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是222=-y x ，于是两焦点坐标分别

)1,32(2--=PF .∴1PF ·2PF ＝01)32)(32()1,32)(1,32(=+-+-=-----

19.（2017全国卷Ⅱ理）已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，

若||2||FA FB =，则k =

A. 13 C. 23

解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线 ()()20y k x k =+>恒过定

点P ()2,0- .如图过A B 、分别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N ,

由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则

1||||2

OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为222

(,22)1(2)3k ∴==--故选D 20.（2017全国卷Ⅱ理）已知双曲线()22

2210,0x y C a b a b

-=>>：的右焦点为

F ,过F 且斜率为的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,

则C 的离心率为

A ．65 B. 75 C. 58 D. 95

解：设双曲线22

221x y C a b

-=：的右准线为l ,过A B 、分别作AM l ⊥

,知直

于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为线AB 的倾斜角为16060,||||2

BAD AD AB ?∴∠=?=, 由双曲线的第二定义有1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11||(||||)22

AB AF FB ==+. 又15643||||25

AF FB FB FB e e =∴?=∴= 故选A 21.（2017湖南卷文）抛物线28y x =-的焦点坐标是【 B 】

A ．（2，0）

B ．（- 2，0）

C ．（4，0）

D ．（- 4，0）

解:由28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2

p -=-，故选B. 22.（2017辽宁卷文）已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为

（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++=

【解析】圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可答案B

决战高考

23.（2017宁夏海南卷理）双曲线24x -2

y =1的焦点到渐近线的距离为（A

）（B ）2 （C

（D ）1 解析：双曲线24x -2

12y =1的焦点(4,0)

到渐近线y =

的距离为d ==选A 24.（2017宁夏海南卷理）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________.

解析：抛物线的方程为24y x =，()()()211112212222

221212121212

4,,,,4441y x A x y B x y x x y x y y y y x x x x y y ?=?≠?=??--=-∴==-+∴则有，两式相减得，，直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x

答案：y=x

25.（2017陕西卷文）过原点且倾斜角为60?的直线被圆学2240x y y +-=所截得的弦长为科网

（A

（B ）2 （C

（D ）

答案:D.解析

:22,(2)4x y +-=直线方程圆的标准方程,圆心(0,2)

到直线的距离1d ==，由垂径定

理知所求弦长为

*d == 故选D.26.（2017陕西卷文）“0m n >>”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件

（C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

答案:C.

解析:将方程221mx ny +=转化为 22111x y m n

+=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足110,0,m n

>>所以11n m

>，故选C.

27.（2017四川卷文）已知双曲线)0(1222

2>=-b b

y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点

),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝

A. －12

B. －2

C. 0

D. 4

【解析】由渐近线方程为x y =知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是222=-y x ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且)1,3(P 或)1,3(-P .不妨去)1,3(P ，则)1

,32(1---=， )1,32(2--=PF .∴1PF ·2PF ＝01)32)(32()1,32)(1,32(=+-+-=-----

28.（2017全国卷Ⅰ文）设双曲线()22

2200x y a b a b

－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于

（A

（B ）2 （C

（D

【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题。

解：由题双曲线()22

2200x y a b a b －＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得

29.（2017全国卷Ⅰ文）已知椭圆

C y

+=的右焦点为F,右准线l，点A l

∈

，线段AF交C于点B。若3

FA FB

=,则

AF=

(A) (B) 2 (C) (D) 3

【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。

解:过点B作BM l

⊥于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知

FN=1.由题意3

FA FB

,故

BM=.又由椭圆的第二定义,

得

233

BF==||

∴=故选A

30.（2017湖北卷文）已知双曲线1

的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=

A.3

B.5

C.3

D.2

【解析】可得双曲线的准线为

=±=±,又因为椭圆焦点为(1

=.即b2=3故

M0）的直线与抛物线相交于A，B两点，

BF=2，则?BCF与?ACF的面积之比BCF

ACF

（C）

（D）

三点共线的坐标关系，和综合运

，

即

，故?A

ACF

32.（2017四川卷理）已知双曲线

1(0)

x y

-=>的左右焦点分别为

F F，其一条渐近线方程为y x

=，点0

)

P y在该双曲线上，则

PF PF

A. 12

- B. 2- C .0 D. 4

【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）

解析：由题知2

b，故)0,2(

0,2

(

=，

∴0

(

?PF

PF，故选择C。

解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程

x y

-=，则左、右焦点坐标分别为

(2,0),(2,0)

F F

-，

再将点

)

P y代入方程可求出1)

P±，则可得

PF PF

?=，故选C。

决战高考

33.（2017四川卷理）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线

2l 的距离之和的最小值是

A.2

B.3

115 D.37

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。

解析：直线2:1l x =-为抛物线24y x =的准线，由抛物线的定义知，P 到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点)0,1(F 的距离，故本题化为在抛物线24y x =上找一个点P 使得P 到点)0,1(F 和直线2l 的距离之和最小，最小值为)0,1(F 到直线

1:4360l x y -+=的距离，即25|

604|min =+-=

d ，故选择A 。解析2

：如下图，由题意可知2d =

= 34.（2017宁夏海南卷文）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为

（A ）2(2)x ++2(2)y -=1 （B ）2(2)x -+2(2)y +=1

（C ）2(2)x ++2(2)y +=1 （D ）2(2)x -+2(2)y -=1

【解析】设圆2C 的圆心为（a ，b ），则依题意，有11

1022

111

a b b a -+?--=???-?=-?+?，解得：22a b =??=-?，对称圆的半径不

变，为1，故选B 。

35.（2017福建卷文）若双曲线()22

2213

x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于

A. 2

B. C. 3

D. 1

解析解析

由222123x y a -

===c 可知虚轴e=a ，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.

36.（2017重庆卷理）直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）

A ．相切

B ．相交但直线不过圆心

C ．直线过圆心

D ．相离

【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=

的距离2d ==

，而01<<，选B 。 37.（2017重庆卷理）已知以4T =

为周期的函数(1,1]

()12,(1,3]

x f x x x ?∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程3()f x x =恰

有5个实数解，则m 的取值范围为（）

．8(

)33 B

．(3 C ．48(,)33 D

．4(3

【解析】因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程

21(0)y x y m

+=≥，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，

同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图像，再根据周期性作出函

数其它部分的图像，由图易知直线3

y =与第二个椭圆

2(4)1(0)y x y m

-+=≥相交，而与第三个半椭圆

决战高考

2(4)1(0)y x y m -+=≥无公共点时，方程恰有5个实数解，将3

x y =代入222(4)1(0)y x y m -+=≥得 2222(91)721350,m x m x m +-+=令229(0)(1)8150t m t t x tx t =>+-+=则

由22(8)415(1)0,15,915,0t t t t m m m ?=-?+>>>>>得由且得

同样由x y =与第二个椭圆222(8)1(0)y x y m -+=≥由0?<可计算得m <

综上知3

m ∈ 38.（2017重庆卷文）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）

A ．22(2)1x y +-=

B ．22(2)1x y ++=

C ．22(1)(3)1x y -+-=

D ．22(3)1x y +-=

解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b 1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。

解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-=

解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。

39.（2017年上海卷理）过圆22(1)(1)1C x y -+-=：

的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ?被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+￥则直线AB 有（）

（A ） 0条（B ） 1条（C ） 2条（D ） 3条

【解析】由已知，得：,

IV II III I S S S S -=-，第II ，IV 部分的面积是定

值，所以，IV II S S -为定值，即,III I S S -为定值，当直线AB 绕着圆心

C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有一条，故选B 。

二、填空题

1.（2017四川卷理）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的

切线互相垂直，则线段AB 的长度是 w

【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。

解析：由题知)0,(),0,0(21m O O ，且53||5<

525)52()5(222±=?=+=m m ，∴45

2052=??=AB 。 2.（2017全国卷Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75

其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。

解：两平行线间的距离为21

1|13|=+-=d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1l 的倾斜角为o 45，所以直线m 的倾斜角等于00754530=+o 或00153045=-o 。故填写①或⑤

3.（2017天津卷理）若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为则=a ___________。

【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。

解析：由知22260x y ay ++-=的半径为26a +，由图可知222)3()1(6=---+a a 解之得1=a

4.（2017湖北卷文）过原点O 作圆x 2+y 2-－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ

的长为。

5.（2017重庆卷文）已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221

sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为． . 解法1，因为在12PF F ?中，由正弦定理得211221

sin sin PF PF PF F PF F = 则由已知，得1211

a c PF PF =，即12aPF cPF = 设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF a ex =+=-则00()()a a ex c a ex +=-

记得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==-+由椭圆的几何性质知0(1)(1)

a e x a a e e ->->

-+则，整理得

2210,e e +->解得1

1(0,1)e e e <<∈或，又，故椭圆的离心率1,1)e ∈

解法2 由解析1知12c PF PF a

=由椭圆的定义知 2

12222222c a PF PF a PF PF a PF a c a

+=+==+则即，由椭圆的几何性质知2

2222,,20,a PF a c a c c c a c a

<+<++->+则既所以2210,e e +->以下同解析1. 6.（2017重庆卷理）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c

=，则该双曲线的离心率的取值范围是．解法1，因为在12PF F ?中，由正弦定理得211221

sin sin PF PF PF F PF F = 则由已知，得1211

a c PF PF =，即12aPF cPF =，且知点P 在双曲线的右支上，设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF ex a =+=-则00()()a a ex c ex a +=-

解得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e ++==--由双曲线的几何性质知0(1)(1)

a e x a a e e +>

>-则，整理得

2210,e e --<解得

11(1,)e e <<∈+∞，又，故椭圆的离心率1)e ∈

解法2 由解析1知12c PF PF a

=由双曲线的定义知 2

12222222c a PF PF a PF PF a PF a c a

-=-==-则即，由椭圆的几何性质知2

2222,,20,a PF c a c a c ac a c a

>->---<-则既所以2210,e e --<以下同解析1. 7.（2017北京文）椭圆22

192

x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .

【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距

之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.

∵2

29,3a b

==， ∴

c ==

∴12F F =

决战高考

又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，

又由余弦定理，得(2

12241

cos 2242

F PF +-∠=

=-??， ∴12120F PF ?∠=，故应填2,120?.

8.（2017北京理）设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________.

【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算的考查.

取()2f x x =，如图，采用数形结合法，

易得该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为1-.

故应填1-.

9.（2017北京理）椭圆22

192

x y +

=的焦点为12,F F ，点P 在

椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________； 12F PF ∠的小大为__________.

【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、

焦距之间的关

系以及余弦定理. 属

于基础知识、基本运算的考查. ∵229,3a b ==，

∴c ==

∴12F F =

又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =

，又由余弦定理，得(2

241cos 224

F PF +-∠=

=-??，

∴12120F PF ?∠=，故应填2,120?.

10.（2017江苏卷）如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的四个顶点，F

为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的

离心率为 .【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。

直线12A B 的方程为：1x y

a b +=-；

直线1B F 的方程为：1x y c b +=-。二者联立解得：2()

(,)ac b a c T a c a c

+--，

则()

(

,)2()

ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上， 22222

()1,1030,1030()4()

c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--，解得：5e =

11.（2017全国卷Ⅱ文）已知圆O ：522=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。

解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=2

-(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5

和25，所以所求面积为4

2552521=??。（第11题解答图）

两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为．【解析】23=e ，122=a ，6=a ，3=b ，则所求椭圆方程为19

362

2=+y x . 13.(2017年广东卷文)以点（2，1-）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 .

【答案】2225(2)(1)2

x y -++= 【解析】将直线

6x y +=化为

60x y +-=,圆的半径r ==所以圆的方程为2225(2)(1)2x y -++=

14.（2017天津卷文）若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a=________.

【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为a

y 1= ，利用圆心（0，0）到直线的距离d 1

|1|a =为13222=-，解得a=1 【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。

15.（2017四川卷文）抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 .

【解析】焦点F （1，0），准线方程1-=x ，∴焦点到准线的距离是2

16.（2017湖南卷文）过双曲线C ：22

221x y a b

-=(0,0)a b >>的一个焦点作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A ，B ，若120AOB ∠=（O 是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为 2 .

解: 12060302AOB AOF AFO c a ∠=?∠=?∠=?=, 2.c e a

∴== 17.（2017福建卷理）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线

段AB 的长为8，则p =________________

解析：由题意可知过焦点的直线方程为2p y x =-，联立有22223042

y px p x px p y x ?=??-+

=?=-??，又82AB p ==?=。 18.（2017辽宁卷理）以知F 是双曲线22

1412

x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为。

【解析】注意到P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),

于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a ＝4

而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5

两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A 、P 、F’三点共线时等号成立.

【答案】9

19.（2017四川卷文）抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 .

【解析】焦点F （1，0），准线方程1-=x ，∴焦点到准线的距离是2

20.（2017宁夏海南卷文）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为。【解析】设抛物线为y 2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得：x 2－kx ＝0，21x x +＝k ＝2×2，故24y x =.

决战高考

21.(2017湖南卷理)已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 o ，则双曲线C 的离心率为 .

【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是,(b c b 是虚

半轴长，c 是焦半距)，且一个内角是30?，即得

tan 30b c ?=，

所以c =，

所以a =，

离心率2c e a === 22.（2017年上海卷理）已知1F 、2F 是椭圆1:22

22=+b

y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若

F PF ?的面积为9，则b =____________. a 2－c 2＝9，故有b ＝3。

23.（2017的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且

a 2－c 2＝9，故有

b ＝3。

三、解答题

1.(2017年广东卷文)（本小题满分14分）

已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为

3,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx y x

)(R k

∈的圆心为点k A . (1)求椭圆G 的方程

(2)求21F F A k ?的面积

(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G?请说明理由.

【解析】（1）设椭圆G 的方程为：22

221x y a b

+= （0a b >>）半焦距为c; 则2122a c a

=???=?? , 解得6a c =???=??, 22236279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为：22

1369

x y +=. (2 )点K A 的坐标为(),2K -

1212112222

K A F F S F F =??=?=V （3）若0k ≥，由2260120215120k k ++--=+f 可知点（6，0）在圆k C 外，

若0k <，由22(6)0120215120k k -+---=-f 可知点（-6，0）在圆k C 外；

∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G.

2.（2017全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）

如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。

（I ）求r 得取值范围；

（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 坐标

分析：（I ）这一问学生易下手。将抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>的方程联立，消去2y ，整

决战高考

理得227160x x r -+-=．．．．．．．．．．．．．（＊）

抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（＊）

有两个不相等的正根即可.

易得,4)2

r ∈.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小

题是一个较好的切入点．

设四个交点的坐标分别为1(A x

、1(,B x

、2(,C x

、2(D x 。则由（I ）根据韦达定理有212127,16x x x x r +==-

，4)2

r ∈

则212112||||2S x x x x =??-=-

222121212[()4]((715)S x x x x x x r ∴=+-++=+-

t =，则22(72)(72)S t t =+- 下面求2S 的最大值。

方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的

主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

221(72)(72)(72)(72)(144)2

S t t t t t =+-=++- 3317272144128()()2323

t t t ++++-≤=? 当且仅当72144t t +=-，即76

t =

时取最大值。经检验此时4)2r ∈满足题意。方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。

下面来处理点P 的坐标。设点P 的坐标为：(,0)p P x

由A P C 、、

121p =

得76

p x t ===。以下略。

3.（2017浙江理）（本题满分15分）已知椭圆1C ：22

221(0)y x a b a b

+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．

（I ）求椭圆1C 的方程；（II ）设点P 在抛物线2C ：2()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处

的切线与1C 交于点,M N ．当线段AP 的中点与MN 的中

点的横坐标相等时，求h 的最小值．

解析：（I ）由题意得212,,121b a b b a

=?=??∴??=?=???所求的椭圆方程为2214y x +=，（II ）不妨设21122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为2x t y t ='=，直线MN 的方程为22y tx t h =-+，将上式代入椭圆1C 的方程中，得2224(2)40x tx t h +-+-=，即()22222414()()40t x t t h x t h +--+--=，因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有

4221162(2)40t h t h ???=-++-+>??，

设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232()22(1)

x x t t h x t +-==+，设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则412t x +=，由题意得34x x =，即有2(1)10t h t +++=，其中的

决战高考

22(1)40,1h h ?=+-≥∴≥或3h ≤-；

当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式4221162(2)40t h t h ???=-++-+>??不成立；因此1h ≥，当1

h =时代入方程2(1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式4221162(2)40t h t h ???=-++-+>??成立，因

此h 的最小值为1．

4.（2017浙江文）（本题满分15分）已知抛物线C ：22(0)x py p =>上一点(,4)A m 到其焦点的距离为174．（I ）求p 与m 的值；

（II ）设抛物线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ

的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线，求t 的最小值．解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：2

p y -=，根据抛物线定义点)4,(m A 到焦点的距离等于它到准线的距离，即41724=+p ，解得2

1=p ∴抛物线方程为：y x =2，将)4,(m A 代入抛物线方程，解得2±=m （Ⅱ）由题意知，过点),(2t t P 的直线PQ 斜率存在且不为0，设其为k 。

则)(:2

t x k t y l PQ -=-，当,,02k kt t x y +-== 则)0,(2k

kt t M +-。联立方程???=-=-y x t x k t y 22)(，整理得：0)(2=-+-t k t kx x 即：0)]()[(=---t k x t x ，解得,t x =或t k x -=

))(,(2t k t k Q --∴，而QP QN ⊥，∴直线NQ 斜率为k

)]([1)(:2t k x k t k y l NQ ---=--∴，联立方程??

???=---=--y x t k x k t k y 22)]([1)( 整理得：0)()(1122=----+t k t k k

x k x ，即：0]1)()[(2=+---+t k k t k x kx 0)](][1)([=--+-+t k x t k k kx ，解得：k

t k k x 1)(+--=，或t k x -= )]1)([,1)((22k t k k k t k k N +-+--∴，)1()1(1)(]1)([2222222

--+-=+--+--+-=∴k t k kt k k kt t k t k k k t k k K NM 而抛物线在点N 处切线斜率：k

t k k y k k t k k x 2)(21

)(---='=+--=切 MN 是抛物线的切线，k t k k k t k kt k 2)(2)

1()1(2222---=--+-∴，整理得02122=-++t tk k 0)21(422≥--=?t t ，解得32-≤t （舍去），或32≥t ，3

2min =∴t 5.（2017北京文）（本小题共14分）已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>

，右准线方程为x =。（Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值.

决战高考

【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得23a c

c a

?=????=??

，解得1,a c == ∴222

2b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212

y x -=. （Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，

由2

212

0y x x y m ?-

=???++=?

得22220x mx m ---=（判别式0?>）, ∴12000,22

x x

x m y x m m +===+=,

∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，

∴()2

225m m +=，∴1m =±.

6.（2017北京理）（本小题共14分）

已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>

3x =

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 是圆22:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得2a c

c a

?=????=??

，解得1,a c == ∴222

2b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212

y x -=. （Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆222x y +=上，

圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0

000

x y y x x y -=-

-，化简得002x x y y +=.

由2

012

y x x x y y ?-=???+=?及22002x y +=得()222

000344820x x x x x --+-=， ∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2

02x <<， ∴20340x -≠，且()()222

00016434820x x x ?=--->，

设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，

则2

121222

00482,3434

x x x x x x x x -+==--，

决战高考 ∵cos OA OB

AOB OA OB ?∠=?，且

()()121212*********OA OB x x y y x x x x x x y ?=+=+

--， ()21201201220

1422x x x x x x x x x ??=+-++??- ()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ??--??=+-+----????

22002200828203434

x x x x --==-=--. ∴ AOB ∠的大小为90?.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆222x y +=上，

圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000

x y y x x y -=--，化简得002x x y y +=.由2

0122y x x x y y ?-=???+=?及22002x y +=得 ()222000344820x x x x x --+-= ①

()2

22000348820x y y x x ---+= ②

∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且20

02x <<， ∴20

340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2200121222008228,3434

x x x x y y x x --==--， ∴12120OA OB x x y y ?=+=，∴ AOB ∠的大小为90?.

（∵220

02x y +=且000x y ≠，∴220002,02x y <<<<，从而当20340x -≠时，方程①和方程②的判别式均大于零）.

7.（2017江苏卷）（本题满分10分）

在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。

（1）求抛物线C 的标准方程；

（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；

（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME=2DM ，记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达

式。

【解析】 [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式

等基本知识，考查运算求解能力。满分

10分。

决战高考

8.(2017山东卷理)（本小题满分14分）

设椭圆E: 22

221x y a b

+=（a,b>0）过M （2

），

,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；

（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

解:（1）因为椭圆E: 22

221x y a b

+=（a,b>0）过M （2

），

,1)两点, 所以2222421611a b a b +=+=???????解得22118114

a b ?=????=??所以2284a b ?=?=?椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该

圆的切线方程为y kx m =+解方程组2218

4x y y kx m +==+?????得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,

则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>

122

212241228

12km x x k m x x k ?+=-??+?-?=?+?,222222

22212121212222

(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808

m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ?>?≥?,所以283m ≥,

即m ≥

或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,

y kx m =+

都满足3m ≥

或3m ≤-

,而当切线的斜率不存在时切线为3x =±与椭圆22

184x y +=的两个交点为(,33±或(33-±满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283

x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.

因为122

212241228

12km x x k m x x k ?+=-??+?-?=?+?

, 所以2222221212

12222

24288(84)

()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--?=+++,

||AB ===

==, ①当0k ≠时||AB = 因为2

21448k

k ++≥所以22110184

4k k

<≤++, 所以2232321[1]1213344k k

<+≤++, ||

AB <≤

k =”=”.

②

当0k =时,||AB =

③ 当AB 的斜率不存在时,

两个交点为

或

(,所以此时||AB =综上, |AB |||AB ≤: ||AB ∈ 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.

9. (2017山东卷文)（本小题满分14分）设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E.

（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）已知4

1=m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知41=m ,设直线l 与圆C:222x y R +=(1

决战高考

时,|A 1B 1|取得最大值?并求最大值.

解:（1）因为a b ⊥,(,1)a mx y =+,(,1)b x y =-,

所以2210a b mx y ?=+-=, 即221mx y +=.

当m=0时,方程表示两直线,方程为1±=y ;

当1m =时, 方程表示的是圆

当0>m 且1≠m 时,方程表示的是椭圆;

当0

(2).当41=m 时, 轨迹E 的方程为2214x y +=,设圆心在原点的圆的一条切线为y kx t =+,解方程组2

214

y kx t x y ++==?????得224()4x kx t ++=,即222(14)8440k x ktx t +++-=,

要使切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,

则使△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+>,

即22410k t -+>,即2241t k <+, 且122212281444

14kt x x k t x x k ?+=-??+?-?=?+? 222222

212121212222(44)84()()()141414k t k t t k y y kx t kx t k x x kt x x t t k k k --=++=+++=-+=+++, 要使OA OB ⊥, 需使12120x x y y +=,即222222224445440141414t t k t k k k k

----+==+++, 所以225440t k --=, 即22544t k =+且2241t k <+, 即2244205k k +<+恒成立. 所以又因为直线y kx t =+为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为r =,222224(1)45115k t r k k +===++, 所求的圆为2245x y +=. 当切线的斜率不存在时,切线为552±=x ,与2214x y +=交于点)552,552(±或)55

2,552(±-也满足OA OB

⊥. 综上, 存在圆心在原点的圆2245

x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥. (3)当4

1=m 时,轨迹E 的方程为2214x y +=,设直线l 的方程为y kx t =+,因为直线l 与圆C:222x y R +=(1

）知R =, 即222(1)t R k =+ ①, 因为l 与轨迹E 只有一个公共点B 1,

由（2）知2214

y kx t x y ++==?????得224()4x kx t ++=, 即222(14)8440k x ktx t +++-=有唯一解

则△=2222226416(14)(1)16(41)0k t k t k t -+-=-+=, 即22410k t -+=, ② 由①②得2

2223414R t R R k R ?=??-?-?=??-, 此时A,B 重合为B 1(x 1,y 1)点,

决战高考由122212281444

14kt x x k t x x k ?+=-??+?-?=?+?

中21x x =,所以,222122441616143t R x k R --==+, B 1(x 1,y 1)点在椭圆上,所以22211214143R y x R -=-=,所以22211124||5OB x y R

=+=-, 在直角三角形OA 1B 1中,2222211112244||||||55()A B OB OA R R R R =-=--=-+因为2244R R

+≥当且仅

当(1,2)R =时取等号,所以211||541A B ≤-=,即

当(1,2)R =时|A 1B 1|取得最大值,最大值为1.

【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.

10.（2017江苏卷）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C

截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。

(1)设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=

由垂径定理，得：圆心1C 到直线l

的距离1d ==，

1,= 化简得：272470,0,,24k k k or k +===- 求直线l 的方程为：0y =或7(4)24

y x =--，即0y =或724280x y +-= (2) 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：

1(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：110,0kx y n km x y n m k k

-+-=--++= 因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等。

41|5|n m --++=

化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或

关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=????--=??m-n+8=0或m+n-5=0

解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22

-。