非线性电路--微分方程数值解法

非线性电路中的微分方程解法

非线性电路理论及应用

周波 电路研-11 2011307080114

非线性电路中的微分方程解法

微分方程数值解法初值： 初值： 所谓初值问题， 所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始 点为已知的一类问题，一般形式为： 点为已知的一类问题，一般形式为：

y

(n)

= f ( x)或y

(n)

= f ( x, y′, y′′,L, y

( n 1)

)

我们先介绍 y′(x) = f (x, y(x)) 简单的一阶问题： 简单的一阶问题：

a≤x≤b

y(a) =y0

(8 1 )

只要f ( x, y )满足(李卜希兹)( Lipschitz条件) : f ( x, y ) f ( x, y ) ≤ L y y

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由常微分方程的理论可知：上述问题的解唯一存在。 的理论可知：上述问题的解唯一存在。 常微分方程求解求什么？应求一满足初值问题(8—1) 求解求什么？应求一满足初值问题( 的解函数y 如对下列微分方程： 的解函数y = y(x) ,如对下列微分方程：

第八章 序

y ′ = xy 2 dy dy 2 x2 = xy 2 2 = xdx = +c dx y 2 y (0) = 1 y yx =0

2 x2 1 4 x2 4 = 1 c = 2 = 2 = y= y 2 y 4 4 x2

《高等数学》中，微分方程求解，如对一阶微分方程： 高等数学》 微分方程求解，如对一阶微分方程： y′ =f(x,y)是求解解函数y = y(x) ,使满足上述方程。但能够 =f(x,y)是求解解函数 是求解解函数y 使满足上述方程。 求出准确的解析函数y(x)的微分方程是很少的 的微分方程是很少的， 高数》 求出准确的解析函数y(x)的微分方程是很少的，《高数》 中研究微分方程的求解， 分门别类讨论， 中研究微分方程的求解，是分门别类讨论，对不同类型的 微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程， 微分方程，求解方法不一样，因此，要求解微分方程，首 先必须认清类型。 先必须认清类型。

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微分方程 数值解法而常微分方程 初值问题的数值解法，是要寻求解函数 初值问题的数值解法， y(x) 在一系列点y(x 离散点) 在一系列点y(xi ) (离散点):

x0 < x1 < L < xn < L

上 y(xi )的近似值yi( i=1,2,…,n),并且还可由这些(xi,yi) 近似值y i=1,2,…,n),并且还可由这些( ),并且还可由这些(i=1,2,…,n)构造插值函数作为近似函数。上述离散点 i=1,2,…,n)构造插值函数作为近似函数。 相邻两点间的距离h 称为步长， 相邻两点间的距离hi=xi-1-xi 称为步长，若hi 都相等为一定 定步长， 变步长。 则称为定步长 否则为变步长 数h, 则称为定步长，否则为变步长。 a≤ x≤b y ′( x) = f ( x, y ( x)) 本章重点讨论如下 y (a ) = y0 一阶微分方程： 一阶微分方程： 在此基础上介绍一阶微分方程组与 高阶微分方程的数值解法。 高阶微分方程的数值解法。

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§

欧拉(Euler)法

以Euler法及其改进方法为例,说明 Eul

er法及其改进方法为例 法及其改进方法为例, 常微分方程初值问题数值解法的一般概 Euler法很简单 准确度也不高， 法很简单， 念，Euler法很简单，准确度也不高， 介绍此方法的目的， 介绍此方法的目的，是由于对它的分析 讨论能够比较清楚地显示出方法的一些 特点， 特点，而这些特点及基本方法反映了其 它方法的特点。 它方法的特点。Euler法用于求 Euler法用于求 解一阶微分方 程初值问题： 程初值问题： y ′( x) = f ( x, y ( x)) y (a) = y0 a≤ x≤b

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b a Euler公 Euler公 对等距节点 x n = x 0 + nh ( n = 0 ,1, L , N ), h = N 式为： 式为： y = y + hf ( x , y ) n +1 n n n n = 1, 2 , L , N (8 2 ) y ( x0 ) = y 0 出发 ,…,x 由x0出发 x1,x2,…,xN,而利用此式可算出对应的 y1,y2,…,yN,式(8-2)称为差分方程(序列{yn}满足的方 ,…,y 称为差分方程 序列{ 差分方程( 程)。下面是Euler公式的推导 ： 下面是Euler公式的推导 一、从几何意义出发：y′=f (x,y)的解函数y=y (x) 在xoy平 从几何意义出发： 的解函数y=y y= xoy平 面上是一族解曲线， 而初值问题则是其中一条积分曲线， 面上是一族解曲线， 而初值问题则是其中一条积分曲线， 假定y 的曲线如图8 从给定的点P 出发， 假定y = y(x)的曲线如图8-1从给定的点P0(x0,y0) 出发，以 为切点，作切线，切线斜率为曲线y P0为切点，作切线，切线斜率为曲线y(x)的切线斜率 y′ =f (x0,y0),因此可 P1 P2 得切线：(点斜式) :(点斜式 得切线：(点斜式)

1.1 Euler法及其简单改进

y(x)

y = y0 + f ( x0 , y0)x x0 ) (

P0

x0 x1 x2

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切线与x = x1交于P1(x1,y1),在[x0,x1]上以切线 切线与x Euler公式的推导(续1) P 0 P 1 交于P 近似曲线， 近似曲线，y1 = y0 + f ( x0 , y 0 )( x1 x0 ) = y0 + hf ( x0 , y0 )

以y1近似y ( x1 ),当x = x1时，可求y1:

再以P1 ( x1 , y1 )为切点，以 f ( x1 , y1 )为斜率，可得切线： y = y1 + f ( x1 , y1 )( x x1 ) 与x = x2 相交于P2 ( x2 , y 2 )可得：y 2 = y1 + f ( x1 , y1 )( x2 x1 ) = y1 + hf ( x1 , y1 ) 而用P1 P2 近似曲线(在[ x1 , y1 ]上)

重复上述过程，即可求出在x0 , x1 ,L, x N ,L与所对应的微分方程 初值问题的y = y ( x)的y ( xi )(i = 1,2,..., N ,...)的近似值y0 , y1 , L, y N ,L一般地假定已求出 n , yn ), yn ≈ y( xn )可作直线: y = yn + f ( xn , yn )(x xn ) (x 与x = xn+1相交得: yn+1 = yn + f ( xn , yn )(xn+1 xn ) = yn + hf ( xn , yn )

几何意义：用折线近似解曲线y 几何意义：用折线近似解曲线y = y(x),折线不会偏离太 因为每项以f 斜率)修正。 远 ，因为每项以f (x, y)(斜率)修正。

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微分方程数值解法1欧

欧

:

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微分方程数值解法

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微分方程数值解法果 时间区间 为 均 则称 欧

其中K=1,2,3

………..

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非线性电路中的微分方程解法

微分方程数值解法果 时间区间 为 均 则称 欧其中K=1,2,3………..

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微分方程数值解法果 时间区间 为 均 则称 欧其中K=1,2,3………..

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微分方程数值解法果 时间区间 为 均 则称 欧其中K=1,2,3………..

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§2 龙格-库塔(Runge-kutta)方法龙格龙格-库塔方法的基本思想： y ( xn +1 ) y ( xn ) 我们从研究差商 开始,由微分中值定理 h y ( x n +1 ) y ( xn ) = y ′( xn + θh) (0 < θ < 1) h 于是由微分方程 y ′ = f ( x, y )得到解 y ( xn +1 ) = y ( x n ) + hf ( x n + θh, y ( xn + θh) ) (8 - 11)这里f ( xn + θh, y ( xn + θh))称作区间( x n , xn +1 )上的平均斜率 , 记作k *,即 : k * = f ( x n + θh, y ( xn + θh))

因此只要对平均斜率k 提供一种算法， 因此只要对平均斜率k*提供一种算法，由(8-11)式 11) 便相应地得到一种微分方程的数值计算公式。 便相应地得到一种微分方程的数值计算公式。(紧接下屏) 紧接下屏)

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用这个观点来研究欧拉公式与改进欧拉公式，可以发现 欧拉公式由于仅取x 一个点的斜率值f 欧拉公式由于仅取xn一个点的斜率值f (xn,yn)作为平均斜率 k* 的近似值，因此精度很低。而改进欧拉公式(8-10)却 的近似值，因此精度很低。而改进欧拉公式( 10) 是利用了x 两个点的斜率值k 是利用了xn与xn-1两个点的斜率值k1 = f (xn,yn)与 k2=f (xn+1,yn+hk1)取算术平均作为平均斜率k*的近似值。 取算术平均作为平均斜率k

龙格-库塔方法的基本思想 用这个观点来研究欧拉公式与改进欧拉公式，可以发现 用这个观点来研究欧拉公式与改进欧拉公式，

1 k* ≈ (k1 + k 2

2

)

其中k 是通过已知信息y 其中k2是通过已知信息yn利 用欧拉公式求得的。 用欧拉公式求得的。

改进欧拉公式比欧拉公式精度高的原因，也就在于确 定平均斜率时，多取了一个点的斜率值。因此它启发我们，如果设法在[xi,xi+1]上 定平均斜率时，多取了一个点的斜率值。因此它启发我们，如果设法在[ 多预报几个点的斜率值，然后将它们 加权平均作为k*的近似值，则有可能构造出更高精度的计 加权平均作为k*的近似值，则有可能构造出更高精度的计 算公式，这是龙格-库塔方法的基本思想。 算公式，这是龙格-库塔方法的基本思想。

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二阶龙格-库塔公式 y n +1 = y n + h (c1k1 + c 2 k k1 = f ( x n , y n ) k 2 = f ( x n + l , y n + lhk 1 )2

) (8 - 12)

公式( 12)中含有三个待定参数c 公式(8-12)中含有三个待定参数c1,c2和l,我们希望适 当选取这些参数值，使得公式( 12)具有二阶精度， 当选取这些参数值，使得公式(8-12)具有二阶精度，亦 即使： 即使： 3 y ( x n +1 ) y n +1 = O(h ) 现在仍假定y 是准确的，

现在仍假定yn=y(xn),即yn是准确的，将y(xn+1)与yn+1 都在x 处作泰勒展开： 都在xi处作泰勒展开：

h ′(xn ) + y′′(xn ) + O(h3 ) (8-13) y(xn+1) = y(xn ) + hy 2

2

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由： k =2

k1 = = f (x

f (xn, yn + l n

n

) = y ′( x1

二阶龙格-库塔公式n

) f (xn, y ) f (xn, y )] + O ( h2

, y

n

+ lhk

)n

f (xn, yn

) + lh [ f x ( x n , yn

) +2

y

n

n

)

= y ′( x

) + lh y ′′ ( x

) + O (h

)

代入( 12) 代入(8-12)式，得：

y n + 1 = y ( x n ) + h ( c 1 + c 2 ) y ′ ( x n ) + c 2 lh 2 y ′′ ( x n ) + O ( h 3 )

(8 - 14)

比较( 13) 14)两式，要使公式具有二阶精度， 比较(8-13)与(8-14)两式，要使公式具有二阶精度， 只有满足下列条件： c c 1

+ c l =

2

= 1 (8 - 15)

2

1 2

这里一共有三个待定参数，但只需满足两个条件，因此有一个自由度，于是满足条 这里一共有三个待定参数，但只需满足两个条件，因此有一个自由度， 15)的参数不止一组，而是一族，相应的公式( 12)也有一族， 件(8-15)的参数不止一组，而是一族，相应的公式(8-12)也有一族，这些公式统称为 二阶龙格-库塔公式，简称二阶 二阶龙格-库塔公式，简称二阶R-K公式 二阶R

。

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二阶龙格-库塔公式特别，当l=1即xn+l=xn+1时， 特别， =1即 n+1 c1=c2=1/2,二阶R-K公式就 =1/2,二阶R 是改进欧拉公式。 yn +1 = yn + hk2 如果取l=1/2, =0,c =1, 如果取l=1/2,则c1=0,c2=1, k = f ( x , y ) 1 n n 这时二阶R 这时二阶R-K公式称为变形 h 的欧拉公式，其形式见左边： k 2 = f x 1 , yn + k1 其形式见左边： n+ 2

(8 - 16)

2

从表面上看， 从表面上看，变形的欧拉公式仅含一个斜率值 k2,但k2是通过k1计算出来的，因此每完成一步， 通过k 计算出来的，因此每完成一步， 仍然需要两次计算函数f 的值， 仍然需要两次计算函数f 的值，工作量和改进欧拉 公式相同。 公式相同。

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