2019最新高中数学 第3章 统计案例 3.2 回归分析教学案 苏教版选

初高中精品文档

3.2 回归分析

1．线性回归模型 (1)随机误差

具有线性相关关系的两个变量的取值x、y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y＝a＋bx＋ε，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差．

(2)随机误差产生的主要原因

①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差．

(3)线性回归模型中a，b值的求法 y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型． a，b的估计值为a ∧，b ∧，则

－－

∑xy－nxy??b ∧＝

∑x－n（x） ???a ∧＝y－b ∧ －xi＝1nii2

2

ni＝1i(4)回归直线和线性回归方程

直线y_∧＝a_∧＋b_∧x称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a ∧称为回归截距，b ∧称为回归系数，y ∧称为回归值．

2．样本相关系数r及其性质

－－

∑xiyi－nxyi＝1n22n(1)r＝n22．

（∑xi－n（x））（∑yi－n（y））i＝1i＝1(2)r具有以下性质

①|r|≤1．

②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强． ③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱． 3．对相关系数r进行显著性检验的基本步骤

(1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系．

(2)如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n－2在教材附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)．

(3)计算样本相关系数r．

欢迎使用下载！

初高中精品文档

(4)作出统计推断：若|r|>r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|≤r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系．

1．在线性回归方程中，b既表示回归直线的斜率，又表示自变量x的取值增加一个单位时，函数值y的改变量．

2．通过回归方程y ∧＝a ∧＋b ∧x可求出相应变量的估计值．

3．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．

[例1] 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：

x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 若由数据可知，y对x呈现线性相关关系． (1)求线性回归方程；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

[思路点拨] 代入数值求线性回归方程，然后把x＝10代入，估计维修费用． [精解详析] (1)列表如下：

i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 x24 9 16 25 36 i 2经计算得：x＝4，y＝5，∑5,i＝1xi＝90，∑5,i＝1xiyi＝112.3，

a ∧＝y－b ∧·x＝0.08，

所以线性回归方程为y ∧＝a ∧＋b ∧x＝0.08＋1.23x. (2)当x＝10时，y ∧＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)，

欢迎使用下载！

初高中精品文档

即若估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元． [一点通] 线性回归分析的步骤：

(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；

22

(2)计算x，y，∑n,i＝1xi，∑n,i＝1yi，∑n,i＝1xiyi；

(3)代入公式求出y ∧＝b ∧x＋a ∧中参数b ∧，a ∧的值； (4)写出线性回归方程，并对实际问题作出估计．

1． 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：

x y 6 2 8 3 10 5 12 6

则y对x的线性回归方程为_________________________________________________． －6＋8＋10＋12－2＋3＋5＋6

解析：∵x＝＝9，y＝＝4，

44

故y对x的线性回归方程为y ∧＝0.7x－2.3.

答案：y ∧＝0.7x－2.3

2．某班5名学生的数学和物理成绩如表：

学生学科 数学成绩(x) 物理成绩(y) A 88 78 B 76 65 C 73 71 D 66 64 E 63 61 (1)画出散点图；

(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；

(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 解：(1)散点图如图．

1

(2)∵x＝× (88＋76＋73＋66＋63)＝73.2.

5

y＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.

5

15

i＝1

∑xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.

欢迎使用下载！

初高中精品文档

5

又∑xi＝88＋76＋73＋66＋63＝27 174. i＝1

222222

∴y对x的线性回归方程是y ∧＝0.625x＋22.05. (3)当x＝96时，y ∧＝0.625×96＋22.05≈82. 可以预测他的物理成绩是82.

[例2] 现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下：

学生号 1 120 84 2 108 64 3 117 84 4 104 68 5 103 69 6 110 68 7 104 69 8 105 46 9 99 57 10 108 71 x y 请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？ [思路点拨] 可先计算线性相关系数r的值，然后与r0.05比较，进而对x与y的相关性作出判断．

[精解详析] x＝＝68.

11

(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，y＝(84＋64＋…＋57＋71)1010

所以相关系数为

73 796－10×107.8×68

r＝ 22

（116 584－10×107.8）（47 384－10×68）≈0.751.

由检验水平0.05及n－2＝8， 在附录2中查得r0.05＝0.632， 因为0.751>0.632，

由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系． [一点通] 利用相关系数r进行判断相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据

欢迎使用下载！

初高中精品文档

较大，需要借助计算器，但计算时应该特别细心，避免出现计算错误．

3．对于回归分析，有下列叙述： (1)在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能自由变量惟一确定． (2)线性相关系数可以是正的或是负的．

2

(3)回归分析中，如果r＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关． (4)样本相关系数r∈(－∞，＋∞)． 判断其说法是否正确． 解：由回归模型及其性质易知(1)，(2)，(3)是正确的．相关系数的取值范围应为|r|≤1，所以(4)是错误的．

4．一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x(转/秒) 每小时生产有缺点的零件数y(件) 对变量y与x进行线性相关性检验．

－－

解：由题中数据可得x＝12.5，y＝8.25，∑xiyi＝438， －－22

4x y＝412.5，∑xi＝660，∑yi＝291，所以

4

4

4

16 11 14 9 12 8 8 5 （660－625）×（291－272.25）25.5＝≈0.995.

656.25

由检验水平0.05及n－2＝2在教材附录表2中查得r0.05＝0.950，因为r>r0.05，所以y与x具有线性相关关系．

对两个相关变量进行线性回归分析时，首先判断两个变量是否线性相关，可以通过散点图和相关系数判断，然后再求线性回归方程，对问题进行预测，否则求出的回归方程无意义，预测也无价值．

＝

438－412.5

欢迎使用下载！

初高中精品文档

课下能力提升(十九)

一、填空题

1．下列命题中正确的是________(填所有正确命题的序号)． ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与圆的半径具有相关关系；

③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的； ⑤两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．

解析：显然①是错误的；而②中，圆的周长与圆的半径的关系为C＝2πR，是一种确定性的函数关系．

答案：③④⑤

2．已知x，y的取值如下表： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y ∧＝0.95x＋a ∧，则a ∧＝________．

－－－－

解析：∵x＝2，y＝4.5.又回归直线恒过定点(x，y)，代入得a ∧＝2.6. 答案：2.6 3．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y ∧＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为________．

解析：y ∧＝0.849×172－85.712＝60.316. 答案：60.316 kg 4．有下列关系：

①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；

④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系．

其中有相关关系的是____________．(填序号) 解析：由相关关系定义分析． 答案：①③④

5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x(万元) 销售额y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 根据上表可得线性回归方程y＝b ∧x＋a ∧中的b ∧为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元．

解析：样本中心点是(3.5，42)，

欢迎使用下载！

初高中精品文档

答案：65.5 二、解答题

6．下面是水稻产量与施肥量的一组观测数据： 施肥量 水稻产量 15 320 20 330 25 360 30 410 35 460 40 470 45 480 (1)将上述数据制成散点图；

(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？ 解：(1)散点图如下：

(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．

7．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为

价格x 需求量y 1 1.4 12 2 1.6 10 3 1.8 7 4 2 5 5 2.2 3

2

已知∑5,i＝1xiyi＝62，∑5,i＝1xi＝16.6. (1)画出散点图；

(2)求出y对x的线性回归方程；

(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t) 解：(1)散点图如下图所示：

11

(2)因为x＝×9＝1.8，y＝×37＝7.4，

55

欢迎使用下载！

初高中精品文档

8．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩：

数学(x) 物理(y) 88 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明； (2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议．

－12－17＋17－8＋8＋12－

解：(1)∵x＝100＋＝100；

7－

y＝100＋

2数学

－6－9＋8－4＋4＋1＋6

＝100；

7

2物理

∴σ＝

2

994

＝142，σ7

2

＝

250， 7

从而σ数学>σ物理，∴物理成绩更稳定．

(2)由于x与y之间具有线性相关关系，因为

7

7

2

∑xiyi＝70 497，∑xi＝70 994， 所以根据回归系数公式得到

当y＝115时，x＝130，即该生物理

成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分． 建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.

欢迎使用下载！

初高中精品文档

欢迎使用下载！

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/b6g7.html