2010年高考数学压轴题跟踪演练系列二

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阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列二

1. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) 解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,

∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,

∴ 当n ? a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ? n n – ( n + a)n. 2分

又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分

( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分 2. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=??1?x,x?[?1,0]，是否满足题设条件？

1?x,x?[0,1]?解： (1) 若u ,v ? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，

取u =

31?[–1，1]，v = ?[–1，1], 425| u – v | > | u – v |， 4则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：

10. 若u ,v ? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ? [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u?[–1，0]，v?[0，1]，则：

|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;

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阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 40 若u?[0，1]，v?[–1，0], 同理可证满足题设条件.

综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (1) 求证：| ac | ? 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t?R, t ? –1,

∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ? 0 ， ∵ c ? 0, ∴c2a2 ? 16 , ∴| ac | ? 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –

x(x ? –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? 0 ). x?11, x?1x1?x211–1 + = . x2?1x1?1(x2?1)(x1?1)法1. 设–1 < x1 < x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1–

∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,

∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x ? 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =

1> 0 得x ? –1, 2(x?1) ∴x > –1时，f ( x )单调递增.

（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ?

4 > 0 , |a|444|a| ∴f (| c | ) ? f () = =

4|a||a|?4?1|a||a|4|a|4f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1.

|a|?1|a|?4|a|?4|a|?4 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）

设定义在R上的函数f(x)?a0x?a1x?a2x?a3x?a4（其中ai∈R，i=0,1,2,3,4），当 x= －1时，f (x)取得极大值（1） 求f (x)的表达式；

（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间

4322，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． 3- 3 -

阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 ??2,2?上； ??42n?12(1?3n)f(x)?f(y)?. （3） 若xn?，求证：,y?(n?N)nnn+nn323解：（1）f(x)?13x?x.…………………………5分 3 （2）?0,0?,?2,?????2?2?0,0,?2,或???????.…………10分 3?3???4.……15分 3 （3）用导数求最值，可证得f(xn)?f(yn)?f(?1)?f(1)?5．（本小题满分13分）

x2y2??1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭设M是椭圆C:124圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．

解：设点的坐标M(x1,y1),N(x2,y2)(x1y1?0),E(x,y),

则P(?x1,y1),Q(?x1,?y1),T(x1,?y1),……1分

?x12???12 ?2x?2???12y12?1,????(1)4………………………………………………………3分 2y2?1.????(2)413 由（1）－（2）可得kMN?kQN??.………………………………6分 又MN⊥MQ，kMN?kMQ??1,kMN??x1y,所以kQN?1. y13x1 直线QN的方程为y?y1x(x?x1)?y1，又直线PT的方程为y??1x.……10分 3x1y1 从而得x?11x1,y??y1.所以x1?2x,y1??2y. 22x2?y2?1(xy?0),此即为所求的轨迹方程.………………13分 代入（1）可得36．（本小题满分12分）

过抛物线x?4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA?PB?0. （1）求点P的轨迹方程；

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阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 （2）已知点F（0，1），是否存在实数?使得FA?FB??(FP)2?0？若存在，求出?的值，若不存在，请说明理由.

2x12x2解法（一）：（1）设A(x1,),B(x2,),(x1?x2)

44由x2?4y,得：y?'x 2?kPA?x1x,kPB?2 22?PA?PB?0,?PA?PB,?x1x2??4………………………………3分

x12x1x1xx12?(x?x1)即y??直线PA的方程是：y? ① 42242x2xx2? ② 同理，直线PB的方程是：y?24x1?x2?x??2由①②得：?(x1,x2?R) x1x2?y???1,4?∴点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分

2x?xx12x2?1),FB?(x2,?1),P(12,?1) （2）由（1）得：FA?(x1,244FP?(x1?x2,?2),x1x2??4 222x12x2x12?x2FA?FB?x1x2?(?1)(?1)??2? …………………………10分

4442(x1?x2)2x12?x2(FP)??4??2

442所以FA?FB?(FP)2?0

故存在?=1使得FA?FB??(FP)2?0…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且PA?PB?0, ∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA?PB, 设PA的直线方程是y?kx?m(k,m?R,k?0)

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阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 由??y?kx?m2x?4kx?4m?0 得：2?x?4y???16k2?16m?0即m??k2…………………………3分

即直线PA的方程是：y?kx?k2 同理可得直线PB的方程是：y??11x?2 kk1?y?kx?k2???x?k??R由? 11得：?ky??x????y??1kk2?故点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分 （2）由（1）得：A(2k,k),B(?2211,2),P(k?,?1) kkk21FA?(2k,k2?1),FB?(?,2?1)

kk1FP?(k?,?2)

k11FA?FB??4?(k2?1)(2?1)??2?(k2?2)………………………………10分

kk11(FP)2?(?k)2?4?2?(k2?2)

kk故存在?=1使得FA?FB??(FP)2?0…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）

设函数f(x)?1?x?lnx在[1,??)上是增函数. ax1a?ba?b?ln?. a?bbb（1） 求正实数a的取值范围； （2） 设b?0,a?1，求证：解：（1）f(x)?'ax?1?0对x?[1,??)恒成立， 2ax?a?又

1对x?[1,??)恒成立 x1?1 ?a?1为所求.…………………………4分 xa?ba?b?1， （2）取x?，?a?1,b?0,?bb1?x?lnx在[1,??)上是增函数， 一方面，由（1）知f(x)?axa?b?f()?f(1)?0

b

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阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 a?bb?lna?b?0 ?a?bba?ba?b1?即ln……………………………………8分 ba?b1?另一方面，设函数G(x)?x?lnx(x?1)

G'(x)?1?1x?1??0(?x?1) xx∴G(x)在(1,??)上是增函数且在x?x0处连续，又G(1)?1?0 ∴当x?1时，G(x)?G(1)?0

a?ba?b?ln bb1a?ba?b?ln?.………………………………………………14分 综上所述，

a?bbb∴x?lnx 即8．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90?，

yAB、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，

!ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、

xD两点．

(1) 求双曲线E的方程；

(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线EBODC????????N相交于不同于双曲线顶点的两点M、，且MP??PN，问在x轴上是否存在定点G，使

?????????????BC?(GM??GN)？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

x2y2解：(1) 设双曲线E的方程为2?2?1(a?0,b?0)，

ab则B(?c,0),D(a,0),C(c,0)．

由BD?3DC，得c?a?3(c?a)，即c?2a． ?|AB|?|AC|?16a,?∴?|AB|?|AC|?12?4a, ?|AB|?|AC|?2a.?222yABODCx （3分）

解之得a?1，∴c?2,b?3．

y2∴双曲线E的方程为x??1．

32（5分）

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阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 ?????????????(2) 设在x轴上存在定点G(t,0)，使BC?(GM??GN)．

y设直线l的方程为x?m?ky，M(x1,y1),N(x2,y2)． ????????由MP??PN，得y1??y2?0． y即???1

y2BGO ① （6分）

CPNx????∵BC?(4,0)，

M?????????GM??GN?(x1?t??x2??t,y1??y2)， ?????????????∴BC?(GM??GN)?x1?t??(x2?t)． 即ky1?m?t??(ky2?m?t)． ② 把①代入②，得

2ky1y2?(m?t)(y1?y2)?0

2（8分）

③ （9分）

y2把x?m?ky代入x??1并整理得

3(3k2?1)y2?6kmy?3(m2?1)?0

其中3k2?1?0且??0，即k2?1且3k2?m2?1． 3

（10分）

?6km3(m2?1) y1?y2?2． ,yy1?23k?13k2?1代入③，得

6k(m2?1)6km(m?t) ??0，

3k2?13k2?1化简得 kmt?k． 当t?1时，上式恒成立． m

（12分）

?????????????1因此，在x轴上存在定点G(,0)，使BC?(GM??GN)．

m9．(本小题满分14分)

已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan（p为大于1

2n1?C1na1?Cna2???Cnan的常数），记f(n)?．

2nSn(1) 求an；

(2) 试比较f(n?1)与

p?1f(n)的大小（n?N*）； 2p- 8 -

阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 2n?1p?1??p?1???1??（n?N*）． ??，p?1?2p?????(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)解：(1) ∵(1?p)Sn?p?pan，

①

②

∴(1?p)Sn?1?p?pan?1． ②－①，得

(1?p)an?1??pan?1?pan，

即an?1?pan．

（3分）

在①中令n?1，可得a1?p．

∴?an?是首项为a1?p，公比为p的等比数列，an?pn． p(1?pn)p(pn?1)?(2) 由(1)可得Sn?．

1?pp?12n122nnnn1?C1na1?Cna2???Cnan?1?pCn?pCn???Cnp?(1?p)?(p?1)．

（4分）

2n1?C1p?1(p?1)nna1?Cna2???Cnan??∴f(n)?，

p2n(pn?1)2nSn （5分）

p?1(p?1)n?1?f(n?1)?． p2n?1(pn?1?1)p?1p?1(p?1)n?1f(n)??而，且p?1， 2pp2n?1(pn?1?p)∴pn?1?1?pn?1?p?0，p?1?0． ∴f(n?1)?

p?1f(n)，（n?N*）． 2p （8分）

(3) 由(2)知 f(1)?p?1p?1f(n)，，f(n?1)?（n?N*）．

2p2pp?1p?12p?1n?1p?1nf(n?1)?()f(n?2)???()f(1)?()． 2p2p2p2p22n?1∴当n…2时，f(n)??p?1?p?1?p?1?∴f(1)?f(2)???f(2n?1)?????????2p?2p??2p?2n?1p?1??p?1????1????， p?1?2p?????

（10分）

（当且仅当n?1时取等号）．

另一方面，当n…2，k?1,2,?,2n?1时， p?1?(p?1)k(p?1)2n?k?f(k)?f(2n?k)????

p?2k(pk?1)22n?k(p2n?k?1)?- 9 -

阳光家教网 www.ygjj.com 高考数学学习资料 p?1(p?1)k(p?1)2n?k …?2kk?p2(p?1)22n?k(p2n?k?1)p?12(p?1)n??p2np?12(p?1)n??p2n1 k2n?k(p?1)(p?1)1．

p?p?p2n?k?12nk∵pk?p2n?k…2pn，∴p2n?pk?p2n?k?1?p2n?2pn?1?(pn?1)2．

p?12(p?1)n??2f(n)，∴f(k)?f(2n?k)…（当且仅当k?n时取等号）．（13分） p2n(pn?1)∴?k?12n?12n?112n?1f(k)??[f(k)?f(2n?k)]…?f(n)?(2n?1)f(n)．（当且仅当n?1时取等号）．

2k?1k?1综上所述，(2n?1)f(n)剟?f(k)k?12n?12n?1p?1??p?1???1??（n?N*）．（14分） ??，p?1?2p?????

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